2022年微积分入门.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 序中国战国时代（公元前7 世纪）,我国的庄周所著的庄子一书的“ 天下篇” 中,记有“ 一尺之棰,日取其半,万世不竭”,即老庄哲学中全部的无限可分性和极限思想； 公元前 4 世纪墨经中有了有穷、 无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念；这是朴实的、也是很典型的极限概念；而极限理论便是微分学的基础；古希腊时期（公元前3 世纪）,阿基米德用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率愈来愈好的近似值, 也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积；这是穷尽法的古典例子之一,可以说是积分思想的起源；17 世纪,很多闻

2、名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题 作了大量的争论工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建树的理论；为 微积分的创立做出了奉献；17 世纪下半叶,在前人工作的基础上,英国大科学家牛顿和德国数学家莱 布尼茨分别在自己的国度里独自争论和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十 分初步的工作；19 世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行了认 真争论,建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为了微积分的坚决基础；才使微积分进一步的进绽开来；1874 年,德国数

3、学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数,即构 造了一条没有切线的连续曲线, 这与直观概念是冲突的； 它使人们熟识到极限概 念、连续性、 可微性和收敛性对实数系的依靠比人们想象的要深奥得多；外尔斯特拉斯最终完成了对实数系更深刻的性质的懂得,出,脱离了知觉懂得和几何直观；使得数学分析完全由实数系导人类对自然的熟识永久不会止步,微积分这门学科在现代也始终在进展着,人类熟识微积分的水平在不断深化；微积分学 Calculus, 拉丁语意为用来计数的小石头 是争论极限、微分学、积分学和无穷级数的一个数学分支,并成为了现代高校训练的重要组成部分；历史上,微积分曾经指无穷小的运算；更本质的讲, 微积分学

4、是一门争论变化的科学,正如几何学是争论空间的科学一样；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着；因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来加以描述了；由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术进展的需要, 一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学； 微积分学这门学科在数学 进展中的位置是特别重要的, 可以说它是继欧氏几何后, 全部数学中的最大的一 个制造；微积分学在科学、 经济学和工程学领域被广泛的应用,来解决那些仅依靠代 数学

5、不能有效解决的问题； 微积分学在代数学、 三角学和解析几何学的基础上建 立起来,并包括微分学、积分学两大分支；微分学包括求导数的运算,是一套关 于变化率的理论； 它使得函数、 速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的 符号进行争论；积分学,包括求积分的运算,为定义和运算面积、体积等供应一 套通用的方法； 微积分学基本定理指出, 微分和积分互为逆运算, 这也是两种理 论被统一成微积分学的缘由；我们可以以两者中任意一者为起点来争论微积分 学,但是在教学中,微分学一般会先被引入；在更深的数学领域中,微积分学通 常被称为分析学,并被定义为争论函数的科学；在高二上学期的数学学习过程中,我们熟识了导数和

6、定积分, 并开头了对其应用的懂得和练习； 其实,早在高中物理开头不久后的学习中,我们就接触到了 微积分的原型微元法；同当年的科学家一样,我们也因物理上的应用需要,开头了对微积分学的熟识之旅；借着这次争论性学习的契机, 我们就明白一下微积分学的进展历史,熟识数 学争论对社会进展的重要意义,本着“ 以史为镜”的态度明白其中波折而好玩的 进展历程；并由此拓展自己的学问面,增加自己对微积分学习的爱好；作为理科生,探究过程中的我们也能结合所学历史学问、辩证分析的方法,培育自身人文素养, 增强自身的综合素养, 为高中阶段的历史学习画上圆满的句 号；我们也对微积分在生活中就一些简洁实际应用的一些争论来提高自

7、己在以 微积分的思想方法解决问题的才能；明白在哪些情形,哪些领域会用到微积分；进一步加深对微积分的熟识；另一方面, 在进行小组争论、 共同争论的时候, 通过组员的积极参与和组员间的合作, 我们可以通过共同探究增强自己的责任感,增进相互之间的友情, 提高自身的实践探究才能, 学会将理论学问和动手实践才能结合来解决现实生活中 的问题,以此提高自身的综合素养；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微积分的主要内容及其他争论函数,从量的方面争论事物运动变化是微积分的基本方法；这种方法叫做数学分析；原来从广义上说, 数学分析包括

8、微积分、 函数论等很多分支学科, 但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来,数学分析成了微积分的同义词, 一提数学分析就知道是指微积分；微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学；微分学的主要内容包括： 极限理论、导数、微分 等；积分学的主要内容包括： 定积分、不定积分 等；微积分是与科学应用联系着进展起来的；程对第谷浩渺的天文观测数据进行了分析运算,最初,牛顿应用微积分学及微分方 得到了万有引力定律, 并进一步导出了开普勒行星运动三定律； 此后,微积分学成了推动近代数学进展强大的引 擎,同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中

9、的进展；并在这些学科中有越来越广泛的应用,特殊是运算机的显现更有助于这些应用的不断进展；微积分主要有三大类分支：极限、微分学、积分学；微积分的基本理论说明 了微分和积分是互逆运算； 牛顿和莱布尼茨发觉了这个定理以后才引起了其他学 者对于微积分学的狂热的争论； 这个发觉使我们在微分和积分之间相互转换；这个基本理论也供应了一个用代数运算很多积分问题的方法,该方法并不真正进行极限运算而是通过发觉不定积分；该理论也可以解决一些微分方程的问题,解决未知数的积分；微分问题在科学领域无处不在；微积分的基本概念仍包括函数、无穷序列、 无穷级数和连续等, 运算方法主要有符号运算技巧,该技巧与初等代数和数学归纳法

10、紧密相连；微积分被延长到微分方程、向量分析、变分法、复分析、时域微分和微分拓 扑等领域；微积分的现代版本是实分析；极限微积分中最重要的概念是“ 极限”是一种极限；微商（即导数）是一种极限；定积分也从牛顿实际使用它到制定出周密的定义,数学家们奋斗了 200 多年；现在使用的定义是维斯特拉斯于 19 世纪中叶给出的；数列极限就是当一个有次序的数列往前延长时,假如存在一个有限数 （非无名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 限大的数）,使这个数列可以无限地接近这个数,这个数就是这个数列的极限；数列极限的表示方法是：lim nx

11、 nLnx1L = 0；就是说 n其中 L 就是极限的值；例如当2n 时,它的极限为越大 越往前延长 ,这个值越趋近于0；导数我们知道在运动学中, 平均速度等于通过的距离除以所花费的时间,同样在一小段间隔的时间内,除上其走过的一小段距离,等于这一小段时间内的速度,但当这一小段间隔的时间趋于零时,这时的速度为瞬时速度, 无法依据通常的除法运算,这时的速度为时间的导数；得用求导的方法运算；也就是说,一个函数 的自变量趋近某一极限时,其因变量的增量与自变量的增量之商的极限即为导 数；在速度问题上,距离是时间的因变量,随时间变化而变化,当时间趋于某一 极限时,距离增量除以时间增量的极限即为距离对时间的

12、导数；导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率；微分学微分学主要争论的是在函数自变量变化时如何确定函数值的瞬时变化率 或 微分 ；换言之,运算导数的方法就叫微分学；微分学的另一个运算方法是牛顿 法,该算法又叫应用几何法, 主要通过函数曲线的切线来查找点斜率；费马常被 称作“ 微分学的鼻祖”；积分学积分学是微分学的逆运算, 即从导数推算出原函数； 又分为定积分与不定积 分；一个一元函数的定积分可以定义为无穷多小矩形的面积和,约等于函数曲线 下包含的实际面积； 依据以上熟识, 我们可以用积分来运算平面上一条曲线所包含的面积、球体或圆锥体的表面积或体积等；于微分方程的解；而不定积分,用途较少,

13、主要用名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微积分的符号微分学中的符号“dx”、“ dy” 等,系由莱布尼茨第一使用；其中的d 源自拉丁语中“ 差” （Differentia）的第一个字母；积分符号“ ” 亦由莱布尼茨所创,它是拉丁语“ 总和” （Summa）的第一个字母 s 的伸长 和 有相同的意义 ；微积分学的应用微积分学的进展与应用几乎影响了现代生活的全部领域；它与大部分科学分 支,特殊是物理学,关系亲密,而经济学亦常常会用到微积分学；几乎全部现代 技术,如建筑、航空等都以微积分学作为基本数学工具；微积分学课程在

14、高校理、工科教学中,微积分是“ 高等数学” 的主要内容之一；其教学法 由学科创立一开头就受到人们重视；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微积分的基本介绍微积分学基本定理指出, 求不定积分与求导函数互为逆运算,把上下限代入 不定积分即得到积分值, 而微分就是导数值与自变量增量的乘积,这也是两种理 论被统一成微积分学的缘由；我们可以以两者中任意一者为起点来争论微积分 学,但是在教学中,微分学一般会先被引入；微积分学是微分学和积分学的总称；它是一种数学思想,“ 无限细分” 就是 微分,“ 无限求和” 就是积分；十七世纪后

15、半叶,牛顿和莱布尼茨完成了很多数 学家都参与过预备的工作, 分别独立地建立了微积分学； 他们建立微积分的动身 点是直观的无穷小量,但是理论基础是不坚固的；由于“ 无限” 的概念是无法用已经拥有的代数公式进行演算,所以,直到十九世纪, 柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论,康托尔等建立了严格的实数理论,这门学科才得以严密化；学习微积分学,首要的一步就是要懂得到,“ 极限” 引入的必要性：由于,代数是人们已经熟识的概念,但是,代数无法处理“ 无限” 的概念；所以,必需 要利用代数处理代表无限的量,这时就细心构造了“ 极限” 的概念；在“ 极限”的定义中, 我们可以知道, 这个概念绕过了用一个数除以0

16、的麻烦, 相反引入了一个过程任意小量；就是说,除的数不是零,所以有意义,同时,这个小量可以 取任意小, 只要满意在德尔塔区间, 都小于该任意小量, 我们就说他的极限为该数你可以认为这是投机取巧,但是,他的有用性证明, 这样的定义仍算比较完善,给出了正确推论的可能性；这个概念是成功的；微积分是与实际应用联系着进展起来的,它在天文学、 力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、 社会科学及应用科学等多个分支中,有越来越广泛的应用；特殊是运算机的创造更有助于这些应用的不断进展；客观世界的一切事物,小至粒子,大至宇宙,始终都在运动和变化着；因此在数学中引入了变量的概念后,就有可能把运动现象用数学来

17、加以描述了；由于函数概念的产生和运用的加深,也由于科学技术进展的需要, 一门新的数学分支就继解析几何之后产生了,这就是微积分学； 微积分学这门学科在数学进展中的位置是特别重要的, 可以说它是继欧氏几何后, 全部数学中的最大的一个制造；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - Differential and Integral Calculus 数学中的基础分支；内容主要包括函数、极限、微分学、积分学及其应用；函数是微积分争论的基本对象, 极限是微积分的基本概念, 微分和积分是特定过程特定形式的极限； 17 世纪后半叶,英国

18、数学家I.牛顿和德国数学家G.W.莱布尼兹,总结和进展了几百年间前人的工作,观的无穷小量,因此尚缺乏严密的理论基础；斯把微积分建立在极限理论的基础上；加之建立了微积分, 但他们的动身点是直 19 世纪 A.L. 柯西和 K.魏尔斯特拉 19 世纪后半叶实数理论的建立,又使极限理论有了严格的理论基础,从而使微积分的基础和思想方法日臻完善；极限的思想方法可追溯到古代,3 世纪,中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积,求出圆周率 的近似值 3.141024,并指出：“ 割之弥细, 所失弥少,割之又割,以至不行割,就与圆合体而无所失矣”；刘徽对面积的深刻熟识和他的割圆术方法

19、,正是极限思想的详细表达；数列极限是函数极限的基础,一个数列 an 假如当 n 无限增大时, an与某一实数无限接近,就称之为收敛数列,a 为数列的极限,记作例如,数列的极限为0；微分学的基本概念是导数； 导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念；牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启示,期望用数学工具来刻画这一事实；导数作为一个数学工具无论在理论上仍是实际应用中,都起着基础而重要的作用；例如在求极大、微小值问题中的应用；积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分；主要内容包括积分的性质、运算,以及在理论和实际中的应用； 不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的；假如对每一xI ,

20、有 fx F （x）,就称 Fx为 fx 的一个原函数, fx 的全体原函数叫做不定积分,记为,因此,假如 Fx是 fx 的一个原函数,就 Fx C,其中 C 为任意常数；定积分概念的产生来源于运算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题；解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域a,b进行划分后,构造一个特殊形式的和式, 它的极限就是所要求的量； 详细地说, 设 fx 为定义在 a,b上的函数,任意分划区间 a,b:ax0x1 xnb,记, ,任取 xi xi,假如有一实数 I,有下式成立： ,就称 I 为 fx 在a,b上的定积分,记为 Ifxdx ；

21、当 fx 0 时,定积分的几何意义是表示由 xa,xb,y0 和 yfx 所围曲边形的面积；定积分除了可求平面图形的面积外,在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“ 微元求和”；联系微分学和积分学的基本公式是：如fx 在a,b上连续, Fx是 fx 的原函数,就 fxdx FbFa；通常称之为牛顿 -莱布尼兹公式；因此,运算定积分实际上就是求原函数,也即求不定积分；但即使fx 为初等函数,运算不定积分的问题也不能完全得到解决, 所以要考虑定积分的近似运算, 常用的方法有梯 形法和抛物线法；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - -

22、 - - - 微积分学的建立从微积分成为一门学科来说, 是在十七世纪, 但是,微分和积分的思想在古 代就已经产生了；公元前三世纪, 古希腊的阿基米德在争论解决抛物弓形的面积、球和球冠面 积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中,就隐含着近代积分学的思想；作 为微分学基础的极限理论来说, 早在古代以有比较清晰的论述； 比如我国的庄周 所著的庄子一书的“ 天下篇” 中,记有“ 一尺之棰,日取其半,万世不竭”；三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“ 割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于 不行割,就与圆周和体而无所失矣； ” 这些都是朴实的、 也是很典型的极限概念；到了十七世纪, 有很多科学问题需要解决,

23、 这些问题也就成了促使微积分产生的因素； 归结起来, 大约有四种主要类型的问题：第一类是争论运动的时候直接显现的, 也就是求即时速度的问题； 其次类问题是求曲线的切线的问题；第三类问题是求函数的最大值和最小值问题；第四类问题是求曲线长、 曲线围成的面积、曲面围成的体积、 物体的重心、 一个体积相当大的物体作用于另一物体上的 引力；十七世纪的很多闻名的数学家、 天文学家、物理学家都为解决上述几类问题 作了大量的争论工作,如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒； 意大利的卡瓦列利等人都提出很多很有建树的理论；为 微积分的创立做出了奉献；十七世纪下半叶, 在前人工作的

24、基础上, 英国大科学家牛顿和德国数学家莱 布尼茨分别在自己的国度里独自争论和完成了微积分的创立工作,虽然这只是十 分初步的工作； 他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起,一个 是切线问题（微分学的中心问题） ,一个是求积问题 积分学的中心问题 ；牛顿和莱布尼茨建立微积分的动身点是直观的无穷小量,因此这门学科早期 也称为无穷小分析, 这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源；牛顿争论 微积分着重于从运动学来考虑,莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的；牛顿在 1671 年写了流数法和无穷级数 ,这本书直到 1736 年才出版,它 在这本书里指出,变量是由点、线、面的连续运动产生的,否定了

25、以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合；他把连续变量叫做流淌量, 把这些流淌量的导数叫做流数； 牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径, 求给定时刻的速度（微分法） ；已知运动的速度求给定时间内经过的路程 积分法 ；德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684 年,他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献, 这篇文章有一个很长而且很奇怪的名字一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的神奇类型的计算；就是这样一篇说理也颇模糊的文章,却有划时代的意义；它已含有现代的名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 41 页精选学习资料 - -

26、- - - - - - - 微分符号和基本微分法就；1686 年,莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献；他是历史上最宏大的符号学者之一, 他所创设的微积分符号, 远远优于牛顿的符号,这对微积分的进展有极大的影响； 现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布 尼茨细心选用的；微积分学的创立, 极大地推动了数学的进展, 过去很多初等数学束手无策的 问题,运用微积分,往往迎刃而解,显示出微积分学的特殊威力；前面已经提到, 一门科学的创立决不是某一个人的业绩,他必定是经过多少 人的努力后,在积存了大量成果的基础上,最终由某个人或几个人总结完成的；微积分也是这样；不幸的是,由于人们在观赏微积分的雄伟功效之余,

27、在提出谁是这门学科的创立者的时候, 竟然引起了一场悍然大波, 造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立； 英国数学在一个时期里闭关锁国,囿于民族偏见, 过于拘泥在牛顿的“ 流数术” 中停步不前,因而数学进展整整落后了一百年；其实,牛顿和莱布尼茨分别是自己独立争论,成的；比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早在大体上相近的时间里先后完 10 年左右,但是正式公开发表微积分这一理论,莱布尼茨却要比牛顿发表早三年；他们的争论各有特长,也都各有短处；那时候,由于民族偏见,关于创造优先权的争辩竟从 1699 年始 连续了一百多年；应当指出,这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经受一段时间一样,牛

28、顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的；他们在无穷和无穷小量这个问题上,其说不一,特别模糊；牛顿的无穷小量,有时候是零,有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说；学危机的产生；这些基础方面的缺陷, 最终导致了其次次数直到 19 世纪初,法国科学学院的科学家以柯西为首,对微积分的理论进行 了仔细争论, 建立了极限理论, 后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严 格化,使极限理论成为了微积分的坚决基础；才使微积分进一步的进绽开来；任何新兴的、 具有无量前途的科学成就都吸引着广大的科学工作者；在微积 分的历史上也闪耀着这样的一些明星： 瑞士的雅科布 贝努利和他的兄弟约翰贝 努利、欧拉、法国

29、的拉格朗日、柯西 欧氏几何也好, 上古和中世纪的代数学也好,都是一种常量数学, 微积分才是真正的变量数学, 是数学中的大革命； 微积分是高等数学的主要分支,不只是局限在解决力学中的变速问题, 它驰骋在近代和现代科学技术园地里,建立了数不清的丰功伟绩；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 微积分历史积分的起源很早, 古希腊时期就有求特殊图形面积的争论；用的是穷尽的方法；阿基米德（ Archimedes）用内接正多边形的周长来穷尽圆周长,而求得圆周率愈来愈好的近似值, 也用一连串的三角形来填充抛物线的图形,以求得其面积；这

30、些都是穷尽法的古典例子；文艺复兴之后,基于实际的需要及理论的探讨, 积分技巧有了进一步的进展；譬如为了航海的便利,杰拉杜斯 麦卡托（Gerardus Mercator）创造了所谓的麦氏投影法,使得地图上的直线就是航海时保持定向的斜驶线；17 世纪的前半,是微积分学的酝酿时期；的确划分微积分学这门学科是在 17 世纪由戈特弗里德 威廉 莱布尼茨和艾萨克 牛顿几乎同时创立的,对此 学界曾有极大的争辩,两人曾为争夺微积分的创造权诉诸皇家学会仲裁；在他们创立微积分以前, 人们把微分和积分视为独立的学科；之使用就是莱布尼茨所创；而微积分之名与其符号虽说微积分是莱布尼茨和牛顿创造的,但是指的是他们两人使微

31、积分观念成 熟,澄清微、积分之间的关系,使运算系统化,并且把微积分大规模使用到几何 与物理上；在他们之前,微积分是萌芽时期,观念在摸索中,运算是个别的,应 用也是个别的；在牛顿、莱布尼茨以前,对微分、积分最有奉献的大致要算皮埃尔 德 费 马了,惋惜他未能体会两者之间的亲密关系；而牛顿的老师伊萨克 巴罗（I. Barrow, 16301677）虽然知道两者之间有互逆的关系,但他不能体会此种关系 的意义,其缘由之一就是求导数仍没有一套有系统的运算方法；古希腊平面几何的成功,予西方数学特别深远的影响,一般认为, 唯有几何的论证方法才是严格的,才是真正的数学, 代数也不过是帮助的工具而已；直到笛卡儿及

32、费马提倡以代数的方法争论几何的问题； 这种态度才渐有转变； 可是一方面几何思维方式深植人心,而另一方面代数方法仍旧未臻成熟,实数系统迟迟未能建立, 所以很多数学家仍旧固守几何阵营而不能有有效的运算方法,如巴娄就是； 牛顿虽然背叛了他老师的纯几何观点,进展了有效的微分方法,可是他的方法迟迟未敢进展；虽然他用了微积分的技巧, 由万有引力及运动定律动身说明白他的宇宙体系,但因可怕当时人的批判,在他1687 年的巨著自然哲学的数学原理中,却把微积分的痕迹抹去,而仍以古典的几何论证方式论述；微积分实际被很多人不断地完善,也离不开巴罗、笛卡尔、费马、惠更斯和 沃利斯的奉献；牛顿、莱布尼茨虽然把微积分系统化

33、,但它仍是不严格的； 可是微积分被成名师归纳总结 功地用来解决很多问题, 却使十八世纪的数学家偏向其应用性,而少致力于其严第 10 页,共 41 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 格性；当时,微积分学的进展幸而把握在几个特别优越的数学家,如欧拉（L. Euler, 17071783）、拉格朗日（ J.U. Lagrange, 17361813）、拉普拉斯（ P.S. de Laplace, 17491827）、达朗贝尔（ J.de R. dAlembert, 17171783）及白努利（ D. Bernoulli, 17001782）世家等人的手里；

34、争论的问题由自然现象而来, 所以能以自然现象的数据来验合微积分的很多推论；使微积分学不因基础不稳而将之错误；在这些众数学家的手中, 微积分学的范畴很快地超过现在高校初阶段所授的微积分课程,而迈向更高深的解析学；进呈现代微积分理论的一个动力是为明白决“ 切线问题”,另一个是“ 面积 问题” ；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18 世纪的分析学驱动 18 世纪的微积分学不断向前进展的动力是物理学的需要,物理问题的表达一般都是用微分方程的形式；18 世纪被称为数学史上的英雄世纪；他们把微积分应用于天文学、力学、光学、

35、热学等各个领域,并获得了丰硕的成果；在 数学本身又进展出了多元微分学、多重积分学、微分方程、无穷级数的理论、变 分法,大大地扩展了数学争论的范畴；其中最闻名的要数最速降线问题：即最快下降的曲线的问题； 这个曾经的难题用变分法的理论可以轻而易举的解决；微积分创造优先权大争辩历史上,微积分是由两位科学家, 牛顿和莱布尼茨几乎同时发觉的；在创立微积分方面, 莱布尼茨与牛顿功绩相当； 这两位数学家在微积分学领域中的杰出奉献概括起来就是： 他们总结出处理各种有关问题的一般方法,熟识到求积问题与切线问题互逆的特点, 并揭示出微分学与积分学之间的本质联系；他们都各自建立了微积分学基本定理, 他们给出微积分的

36、概念、 法就、公式和符号理论为以后的微积分学的进一步进展奠定了坚实而重要的基础；门独立学科的微积分学；总之,他们创立了作为一微积分这种数学分析方法正式产生以后,由于解决了很多以往靠初等数学无法作答的实际问题, 所以逐步引起科学家和社会人士的重视；同时,也带来了关于“ 谁先建立微积分”问题的争辩； 从牛顿和莱布尼茨仍在世时就开头显现这种争辩,英国和欧洲大陆各国不少科学家都卷入这场旷日长久的、尖锐而复杂的论战；这场论战连续了 100 多年的时间；就制造与发表的岁月比较, 牛顿制造微积分基本定理比莱布尼茨更早；前者奠基于 16651667 年,后者就是 16721676 年,但莱布尼茨比牛顿更早发表

37、微积分的成果；故创造微积分的荣誉应属于他们两人；名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 中国古代数学中微积分的萌芽微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念； 求积的无限小方法； 积分与微分的互逆关系；最终一步是由牛顿、莱布尼兹完成的；前两阶段的工作,欧洲的大批数学家始终追溯到古希腊的阿基米德都作出了各自的奉献；对于这方面的工作,古代中国毫不逊色于西方, 微积分思想在古代中国早有萌芽,甚至是古希腊数学不能比拟的； 公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元前 4 世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、

38、无穷大（最大无外）的定义和极限、瞬时等概念；刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积,求得 圆周率约等于 3 .1416,他的极限思想和无穷小方法,是世界古代极限思想 的深刻表达；微积分思想虽然可追溯古希腊,但它的概念和法就却是 16 世纪下半叶,开 普勒、卡瓦列利等求积的不行重量思想和方法基础上产生和进展起来的；而这些思想和方法从刘徽对圆锥、 圆台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球 体积的方法中都可找到；北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“ 隙积术”、“ 会圆术” 和“ 棋局都数术” 开创了对高阶等差级数求和的争论；南宋大数学家秦九韶于1274 年撰写了划时代巨著数书九章

39、十八卷,创文明遐迩的“ 大衍求一术” 增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解,比西方早 500 多年；特殊是 13 世纪 40 岁月到 14 世纪初,在主要领域都达到了中国古代数学的 高峰,显现了现通称贾宪三角形的“ 开方作法本源图” 和增乘开方法、“ 正负开 方术” 、“ 大衍求一术” 、“ 大衍总数术” （一次同余式组解法） 、“ 垛积术” （高阶等 差级数求和）、“ 招差术” （高次差内差法）、“ 天元术” （数字高次方程一般解法） 、“ 四元术” （四元高次方程组解法） 、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、运算技 术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要位置的杰出成果,中国古代数学有了

40、微积分前两阶段的杰出工作,其中很多都是微积分得以创立的关键；中国已具 备了 17 世纪创造微积分前夕的全部内在条件,已经接近了微积分的大门；惋惜中国元朝以后, 八股取士制造成了学术上的大倒退,封建统治的文化专制和盲目排外致使包括数学在内的科学日渐衰落,在微积分创立的最关键一步落伍了；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次次数学危机及微积分规律上的严格化微积分产生之后,数学迎来了一次空前富强的时期；对 18 世纪的数学产生 了重要而深远的影响； 但是牛顿和莱布尼茨的微积分都缺乏清晰的、严谨的规律 基础,这在初创时期

41、是不行防止的；科学上的庞大需要战胜了规律上的顾忌；他 们需要做的事情太多了, 他们急于去攫取新的成果； 基本问题只好先放一放； 正 如达朗贝尔所说的：“ 向前进, 你就会产生信心！” 数学史的进展一再证明自由创 造总是领先于形式化和规律基础；于是在微积分的进展过程中, 显现了这样的局面： 一方面是微积分创立之后 立刻在科学技术上获得应用, 从而快速地进展； 另一方面是微积分学的理论在当 时是不严密的, 显现了越来越多的悖论和谬论； 数学的进展又遇到了深刻的令人 担心的危机； 例如,有时把无穷小量看作不为零的有限量而从等式两端消去,而 有时却又令无穷小量为零而忽视不计； 由于这些冲突,引起了数学

42、界的极大争辩；如当时爱尔兰主教、唯心主义哲学家贝克莱嘲笑“ 无穷小量” 是“ 已死的幽灵”；贝克莱对牛顿导数的定义进行了批判；当时牛顿对导数的定义为：当 x 增长为 x+o 时, x 的立方（记为 x3）成为（ x+o）的立方（记为 x+o）3；即 x3+3 x2o+ 3x o2+ o3；x 与 x3 的增量分别为 o 和 3 x2o+ 3x o2+ o3；这两个增量与 x 的增量的比分别为 1 和 3 x2+ 3x o+ o2 ,然后让增量消逝,就 它们的最终比为 1 与 3 x2；我们知道这个结果是正确的,但是推导过程的确存在着明显的偷换假设的错误： 在论证的前一部分假设o 是不为 0 的

43、,而在论证的后一部分又被取为 0；那么 o 究竟是不是 0 呢？这就是闻名的贝克莱悖论；这种 微积分的基础所引发的危机在数学史上称为其次次数学危机,而这次危机的引发 与牛顿有直接关系；历史要求给微积分以严格的基础；第一个为补救其次次数学危机提出真正有见地的看法的是达朗贝尔；他在 1754 年指出,必需用牢靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论；但是他本 人未能供应这样的理论； 最早使微积分严格化的是拉格朗日；为了防止使用无穷 小推理和当时仍不明确的极限概念, 拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒展 开式的基础上；但是,这样一来,考虑的函数范畴太窄了,而且不用极限概念也 无法争论无穷级数的收敛问

44、题, 所以,拉格朗日的以幂级数为工具的代数方法也 未能解决微积分的奠基问题；到了 19 世纪,显现了一批杰出的数学家,他们积极为微积分的奠基工作而努力,其中包括了捷克的哲学家B.Bolzano.曾著有无穷的悖论 ,明确地提出了级数收敛的概念,并对极限、连续和变量有了较深化的明白；分析学的奠基人,法国数学家柯西在18211823 年间出版的分析教程名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 41 页精选学习资料 - - - - - - - - - 和无穷小运算讲义 是数学史上划时代的著作； 在那里他给出了数学分析一系列的基本概念和精确定义；对分析基础做更深一步的懂得的要求发生在1874 年；那时的德国数学家外尔斯特拉斯构造了一个没有导数的连续函数,即构造了一条没