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1、学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数315 专 题 6 同 构 式 下 的 函 数 体 系秒杀秘籍：第一讲 关于同构式下的“亲戚函数”陈永清老师对同构式的评价及总结：同构解题，观察第一同构新天地，单调大舞台. 明确提示要同构，五脏俱全立同构，无中生有再同构，放缩有方可同构！秒 1 中我们介绍了同构“母函数”以及同构的一些技巧，在这里我们继续欣赏同构对称之美，领略同构波澜壮阔之势 . 同构式下我们分为两条主线1顺反同构：顺即为平移拉伸后的同构函数，反即为乘除导致的凹凸反转同构函数.2同位同构：加减同构是指在同构的过程中“ 加减配凑 ” ，从而完成同构；局部同构是指在同构过程中，我们可以将函数
2、的某两个或者多个部分构造出同构式，再构造同构体系中的亲戚函数即可；差一同构是指指对跨阶以及指数幂和对数真数差1，我们往往可考虑用同构秒杀之.关于xexxf的亲戚函数如图 1：根据求导后可知：xexxf在区间1,，在区间, 1，efxf11min图 1 图 2 图 3 图 4 考点 1 平移和拉伸得到的同构函数如图 2：1111xefexeexxx，即将xf向右平移1 个单位，再将纵坐标扩大为原来的e倍，故可得xexy1在区间0,，在区间,0，当0 x时，1miny如图 3：222222xfeexeexxx，即将xf向右平移2 个单位， 再将纵坐标扩大为原来的2e倍，故可得xexy2在区间1 ,
3、，在区间, 1，当1x时，eymin如图 4：111111xfeexeexxx，即将xf向左平移1 个单位，再将纵坐标缩小为原来的e1倍，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2min1ey考点 2 乘除导致凹凸反转同构函数图 5 图 6 图 7 图 8 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数316 如图 5：xfexexyxx，即将xf关于原点对称后得到xexy，
4、故可得xexy在区间1 ,，在区间, 1，当1x时，ey1max如图 6：11111)1(xfeexeexyxx，即将xf关于原点对称后，向右移一个单位，再将纵坐标缩小e1倍，得到xexy1，故可得xexy1在区间2,，在区间,2，当2x时，2max1ey如图 7：110 xxeyxxx efx，属于分式函数， 将xf1关于原点对称后得到，故可得xeyx在区间1 ,0，在区间, 1，当1x时，eymin如图 8：111110111xxeyxxexee fx，属于分式函数，将xf1关于原点对称后，左移一个单位， 再将纵坐标缩小e1倍，故可得1xeyx在区间0, 1，在区间,0，当0 x时，1mi
5、ny考点 3 顺反同构函数图 9 图 10 图 11 图 12 如图9：xfxexxxlnlnlnln，当1,ln x，即ex1,0，当, 1ln x，即,1ex，ey1min如 图10：xfxxxxlnlnln11， 实 现 了 凹 凸 反 转 ， 原 来 最 小 值 反 转 后 变 成 了 最 大 值 ， 当1,ln x，即, ex，当, 1ln x，即ex, 0，ey1max如图 11：exefexexexxlnln1ln，当1,ln ex，即, 1x，当, 1ln ex，即1 ,0 x，1maxy如图12：2222ln21ln21lnxfxxxx，当1,ln2x，即,ex，当,1ln2
6、x，即ex,0，ey21max【例 1】 （2019?凌源市一模 ）若函数2( )xf xeax在区间 (0,) 上有两个极值点1x ，212(0)xxx，则实数a的取值范围是（）A2ea,B aeC a e,D2ea【例 2】（2019?广州一模 ） 已知函数| |2( )xf xeax ， 对任意10 x，20 x，都有2121()()()0 xxf xf x，则实数a的取值范围是（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - -
7、 - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数317 A2,(eB (,2eC 0,2eD ,02e【例 3】 （2019?荆州期末 ）函数1( )lnxf xxx的单调增区间为（）A (,1)B (0,1)C (0, )eD (1,)【例 4】 （2019?广州期末 ）函数2( )f xxlnxmx 有两个极值点，则实数m的取值范围是（）A1(0,)2B (,0)C (0,1)D (0,)【例 5】 （2019?深圳月考 ）已知函数( )lnxf xkxx在区间14e ，e 上有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为（）A14 e，1)2eB1(4 e，1)2eC21e，14 eD21e
8、，1e【例6】 （ 2019?陕西一模 ）已知函数( )()xef xk lnxxx，若1x是函数( )f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（）A,(eB(, )eC(,)eD), e【例 7】 （2019?保山一模） 若函数lnxfxeaxx 有两个极值点，则a的取值范围是（）A (,)eB (, 2 )eC ( ,)eD (2 ,)e【注意】 关于xxyln与xxyln均可以成为模型函数，也可以作为模板来进行同构，本专题之所以这样设计是让读者思考这一系列函数的同构效用，达到举一反三的目的。例题中我们会以xxyln为模板进行求最值讨论 .常用的几个以( )xfxx e= ?为母函数的
9、 “ 亲戚函数 ” ！1.111ln1lnlnlnlnxxyxxexfxx2.1ln11111lnln1lnlnxxyxfxexxx3.11xxeyxx efx4.xxxxyx ex efxe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数318 秒杀秘籍：第二讲同构式下的常见“同构体系”考点 1顺反同构【例 8】 （2019 ?南康月考 ）已知函数( )f xxlnx ，( )fx 为
10、( )f x 的导函数（1）令2( )( )g xfxax ，试讨论函数( )g x 的单调区间；（2）证明：2( )2xf xe【例 9】 （2019 ?长春二模 ）已知函数( )1()xf xebxbR （1）讨论( )f x 的单调性；（2）若方程( )f xlnx 有两个实数根，求实数b 的取值范围考点 2加减同构【例 10】 （2019?广州越秀 ）已知函数ln1fxxx，1xg xex（1）求函数fx 的单调区间；（2）若 g xkfx 对0 ,x恒成立，求实数k的取值范围【例 11】 （2019?聊城期末） 已知函数1ln(2)xfxaxbeaxa （,a b为常数）（1）当0a
11、时，讨论函数fx 在区间 (1,) 上的单调性；（2）若2b，若对任意的1,x，0fx恒成立，求实数a 的取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数319 考点 3局部同构【例 12】 （2019?广东四校 ）已知函数ln0 xfxxea xxx. （1）当 ae 时，求函数fx 的单调区间；（2）讨论函数fx 的零点个数 . 【例 13】 （2019?清远期末 ）已
12、知函数ln,xefxa xxaRx. （1）当 ae时，求 fx 的最小值；（2）若 fx 有两个零点，求参数a 的取值范围 . 【例 14】 （2019?东城月考 ）已知函数1ln1xfxx eg xkxk x，（1）求 fx 的单调区间；（2）设 h xfxg x ，其中0k，若0h x恒成立，求k的取值范围 . 【例 15】 （2019?全国模拟 ）已知函数2axfxx e. （1）讨论函数fx 的单调性；（2）已知函数2lng xfxxax ，且函数 g x 的最小值恰好为1，求 a 的最小值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -
13、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数320 【例 16】 （2019?云南调研 ）已知函数xfxxe ，lng xaxx ，aR. （1）已知00T xy，为函数 fx ， g x 的公共点，且函数fx ， g x 在点T处的切线方程相同，求a ；（2）若 fxg x 在 1,上恒成立，求a 的取值范围 . 【例 17】 （2018?石家庄模拟 ）已知函数lnfxxaxx aR . （1）讨论函数的单调性；（2）若函数lnfxxaxx aR 存在极大值，且极大值
14、为1，证明2xfxex . 考点 4差一同构【例 18】 （2019?宜春月考 ）已知函数1xfxemx，其中 e是自然对数的底数. （1）若 me，求函数fx 的极值；（2）若关于 x 的不等式ln10fxx在 0+，上恒成立，求实数m 的取值范围 . 【例 19】 （2019?惠州月考 ）已知函数xfxeae xb的图像与曲线2yx 在1x处相切 . （1）求实数 a 、b的值；（2）证明：当0 x时，ln1fxxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共
15、12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数321 【例 20】 （2019?衡水金卷 ）已知lnfxxaxa （1）若212F xfxx ，求 Fx 的单调区间；（2）若1xg xefx 的最小值为M，求证1M【例 21】 （2019?佛山二模 ）已知函数ln1cosxfxexaxx，其中aR. （1）若1a，证明：fx 是定义域上的增函数；（2）是否存在a，使得fx 在0 x处取得极小值？说明理由. 五零点问题同构【例 22】已知0 x 是方程222ln0 xx ex+=的实根，则关于实数0 x 的判断正确的是A0ln 2x 3B01xeC002l
16、n0 xx+=D002ln0 xex+=【例 23】若关于x的方程33klnxx 只有一个实数解，则k 的取值范围是【例 24】已知方程2lnlnlnxxaaax=-有 3 个实根，则实数a 的取值范围是【例 25】已知方程22lnlnlnxaxxax=+有 3 个实根，则实数a 的取值范围是【例 26】 已知函数2lnxfxx xa， 关于 x 的方程 fxa 有四个不同的实根， 则实数 a取值范围是（）A()e(0 ， 1)1，B1e（0， ）C1e（，1）D （0，1）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精
17、心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数322 达 标 训 练1 （2019?武汉期末 ）已知函数lnxfxxxa e （ e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是（）A1(0, )eB1(,e)eC1(,)eD (, )e2 （ 2018?荆州期末 ）函数1( )lnxf xxx的单调增区间为（）A (,1)B (0,1)C (0, )eD (1,)3 （ 2018?沈阳期末 ）函数2( )xef xx在 (,)m 上单调递减，则实数m的最大值为（）A12B0C12D14已知0 x
18、 是方程222ln0 xx ex+=的实根，则关于实数0 x 的判断正确的是（）A0ln 2x 3B01xeC002ln0 xx+=D002ln0 xex+=5已知 ln0mbamem，且0ab恒成立，则实数m 的取值范围为（）A1+e ，B12+e，C 1e，D1ee，6设0k，若存在正实数x，使得不等式2log20kxxk 成立，则 k 的最大值为7设实数0，若对任意的(0,)x，不等式202xlnxe 恒成立，则的最小值为8已知函数ln133fxmxx，若不等式3xfxmxe 在0 ,x上恒成立，则实数m 的取值范围是9 （2019?眉山模拟 ）已知函数( )21xf xaex有两个零点
19、，则a的取值范围是10 （2019?南充模拟 ）已知函数( )()fxaxlnx ，xe， 0) ，其中e为自然对数的底数（1）当1a时，证明：()1( )2lnxf xx（2）是否存在实数a，使( )f x 的最小值为3，如果存在，求出a的值；如果不存在，请说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数323 11 （2019?厦门一模 ）已知函数( )()(1)f xxa
20、ln xax （1）若2a，求( )f x 的单调区间；（2）若2a,，10 x，求证：( )2 (1)xf xxe12 （2019?长春二模 ）已知函数( )1()xf xebxbR （1）讨论( )f x 的单调性；（2）若方程( )f xlnx 有两个实数根，求实数b 的取值范围13 （2019?唐山一模 ）已知函数( )lnxf xaxx， aR （1）若( )0f x ，求a的取值范围；（2）若( )yf x 的图象与ya相切，求a的值14 （2019?辽阳一模 ）已知函数( )f xxlnx （1）若函数2( )1( )f xg xxx，求( )g x 的极值；（2）证明：2( )
21、1xf xex （参考数据：20.69ln， 1 31.10n，324.48e，27.39)e名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数324 15 （2018?房山期末 ）已知函数( )lnxf xx（1）求函数( )f x 的单调区间；（2）设实数 k 使得1( )2kf xx 对(0,)x恒成立，求k 的取值范围16 （2018?德州期末 ）已知函数( )()xf xxea
22、xlnx （1）当2a时，求函数( )f x 的极小值；（2）若( )0f x在1x，) 恒成立，求实数a的取值范围17 （2019?东莞一模 ）已知函数( )()xf xxea lnxx （1）若ae，求( )f x 的单调区间；（2）当0a时，记( )f x 的最小值为m，求证：1m,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数325 18. （2019?济南期末 ）设2xfx
23、xeax ，2ln1eg xxxxa. （1）讨论函数g( )x 的单调性；（2）当0a时，设0h xfxag x恒成立，求a的取值范围19 （2019?新疆模拟 ）已知函数( )()xef xa lnxxx（1）当0a时，求( )yf x 在2x处的切线方程；（2）当0a时，求( )f x 的最小值20 （2019?肇庆三模 ）已知函数( ),()lnxaf xaRx，2( )2xg xe（1）求( )f x 的单调区间；（2）若( )( )f xg x,在 (0,) 上成立，求a的取值范围名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -
24、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 学习数学领悟数学秒杀数学第 五 章导 数326 21 （2019?龙岩期中 ）已知函数( )()f xaxlnx aR （1）讨论( )f x 的单调性；（2）当1a时，不等式1( )xxef xm 对于任意(0,)x恒成立，求实数m的取值范围22 （2019?拉萨二模 ）已知函数( )xf xxeaxalnx （1）若ae，求( )f x 的单调区间；（2）若( ) 1f x ，求a的取值范围23 （2019?辽宁一模 ）已知函数1( )f xlnxaxx（1）若 1是函数( )f x 的一个极值点，求实数a的值；（2）讨论函数( )f x 的单调性；（3）在（ 1）的条件下证明：1( )1xf xxexx,欢迎大家指正！名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -