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1、1 复数【知识梳理】一、复数的基本概念1、虚数单位的性质i叫做虚数单位，并规定：i可与实数进行四则运算；12i；这样方程12x就有解了，解为ix或ix2、复数的概念（1）定义： 形如bia(a，bR)的数叫做复数， 其中i叫做虚数单位， a 叫做，b 叫做。全体复数所成的集合C叫做复数集。复数通常用字母z表示，即biaz(a，bR)对于复数的定义要注意以下几点：biaz(a，bR)被称为复数的代数形式，其中bi表示b与虚数单位i相乘复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式（2）分类：满足条件 (a，b 为实数 )复数的分类abi 为实数 ? b0abi 为虚数 ? b0abi 为纯虚数 ?
2、a0 且 b0例题： 当实数m为何值时，复数immmm)3()65(2是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等),(,Rdcbadbcadicbia也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚部分别相等注意： 只有两个复数全是实数，才可以比较大小，否则无法比较大小例题：已知0)4()3(ixyx求yx,的值三、共轭复数bia与dic共轭),(,Rdcbadbcabiaz的共轭复数记作biaz_，且22_bazz四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。名师资料总结 - -
3、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2 2、复数的几何意义复数biaz与复平面内的点),(baZ及平面向量),(baOZ),(Rba是一一对应关系 （复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量）相等的向量表示同一个复数例题：（1）当实数m为何值时，复平面内表示复数immmmz)145()158(22的点位于第三象限；位于直线xy上（2）复平面内)6,2(AB，已知ABCD/，求CD对应的复数3、复数的模：
4、向量OZ的模叫做复数biaz的模，记作z或bia，表示点),(ba到原点的距离，即z22babia，zz若biaz1，dicz2， 则21zz表示),(ba到),(dc的距离，即2221)()(dbcazz例题： 已知iz2，求iz 1的值五、复数的运算（1）运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dRidbcadicbiazz)()(21iadbcbdacdicbiazz)()()()(212221)()()()()()()(dciadbcbdacdicdicdicbiadicbiazz（2）几何意义： 复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出的平行四边形OZ1ZZ2
5、可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZOZ1OZ2，Z1Z2OZ2OZ1.六、常用结论（1）i，12i，ii3，14i求ni，只需将n除以 4 看余数是几就是i的几次例题：675i（2）ii2)1(2，ii2)1 (2（3）1)2321(3i，1)2321(3i名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程 x2x10 没有解 .()(2)复数 za
6、bi(a，bR)中，虚部为bi.()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(4)原点是实轴与虚轴的交点.()(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()【考点自测】1.(2015安徽 )设 i 是虚数单位，则复数(1i)(12i) 等于()A.3 3i B.13i C.3i D.1i2.(2015课标全国 )已知复数z满足 (z1)i1i，则 z等于 ()A.2i B. 2i C.2i D.2i3.在复平面内，复数65i，23i 对应的点分别为A，B.若 C 为线段 AB 的中点，则点C 对应的复数是 ()A.4 8i B.8 2i
7、 C.24i D.4i4.已知 a，bR，i 是虚数单位 .若 ai2bi，则 (abi)2等于 ()A.3 4i B.3 4i C.43i D.43i5.已知 (12i) z 43i，则 z_.【题型分析】题型一复数的概念例 1(1)设 i 是虚数单位 .若复数 za103i(aR)是纯虚数，则a 的值为 ()A.3 B.1 C.1 D.3(2)已知 aR，复数 z12ai，z212i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为 ()A.1 B.i C.25D.0(3)若 z1(m2m1)(m2m4)i( mR)，z232i，则“ m1”是“ z1z2”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充
8、分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件引申探究1.对本例 (1)中的复数z，若|z|10，求 a 的值 .2.在本例 (2)中，若z1z2为实数，则a_.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4 思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式 )组即可 .(2)解题时一定要先看复数是否为a
9、bi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部.(1)若复数 z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数x 的值为 ()A.1 B.0 C.1 D.1 或 1(2)(2014浙江 )已知 i 是虚数单位， a，bR，则“ ab1”是“ (abi)22i”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件题型二复数的运算命题点 1复数的乘法运算例 2(1)(2015 湖北 )i 为虚数单位， i607的共轭复数为 ()A.i B.i C.1 D.1(2)(2015北京 )复数 i(2 i)等于 ()A.1 2i B.12i C. 12i D.12i命题点 2复数的除法运
10、算例 3(1)(2015 湖南 )已知1i2z1i(i 为虚数单位 )，则复数 z等于 ()A.1 i B.1i C.1i D.1i(2)(1i1i)623i32i_.命题点 3复数的运算与复数概念的综合问题例 4(1)(2015 天津 )i 是虚数单位，若复数(12i)( ai)是纯虚数，则实数a 的值为 _.(2)(2014江苏 )已知复数 z(52i)2(i 为虚数单位 )，则 z的实部为 _.命题点 4复数的综合运算例 5(1)(2014 安徽 )设 i 是虚数单位，z 表示复数 z 的共轭复数 .若 z1i，则zii z 等于 ()A.2 B.2i C.2 D.2i(2)若复数 z满
11、足 (34i)z|43i|，则 z 的虚部为 ()A.4 B.45C.4 D.45名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5 思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法 .复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法 .除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算
12、与复数概念的综合题，先利用复数的运算法则化简，一般化为 abi(a， bR)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除， 后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2015 山东 )若复数 z 满足z1ii，其中 i 为虚数单位，则z 等于 ()A.1 i B.1i C.1i D.1i(2)1i1i2 016_.(3)23i12 3i21i2 016_.题型三复数的几何意义例 6(1)(2014 重
13、庆 )实部为 2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)ABC 的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，若复数 z 满足 |zz1|zz2|zz3|，则 z 对应的点为 ABC 的()A.内心B.垂心C.重心D. 外心思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A 表示复数 z，则图中表示z 的共轭复数的点是()A.AB.B C.CD.D(2)已知 z 是复数， z2i、z2i均为实数 (i 为虚数单位
14、 )，且复数 (zai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围 .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6 【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例已知 x，y 为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求 x，y.思维点拨(1)x，y 为共轭复数，可用复数的基本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法
15、.(2)本题求解的关键是先把x、y 用复数的基本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法 .(3)本题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2.复数 zabi(a，bR)是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数zabi(a，bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则，其方向是应注意的问题
16、，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比较大小.3.注意复数的虚部是指在abi(a，bR)中的实数 b，即虚部是一个实数.【巩固练习】1.(2015福建 )若(1 i)(23i) abi(a，bR，i 是虚数单位 )，则 a，b 的值分别等于()A.3， 2 B.3,2C.3， 3 D.1,42.设 z11ii，则 |z|等于 ()A.12B.22C.32D.23.(2015课标全国 )若 a 为实数，且 (2ai)(a2i) 4i，则 a 等于 ()A.1 B.0 C.1 D.24.若 i 为虚
17、数单位，图中复平面内点Z 表示复数 z，则表示复数z1i的点是 ()A.EB.FC.GD.H名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 7 5.(2014江西 ) z 是 z 的共轭复数，若z z 2，(z z )i2(i 为虚数单位 )，则 z 等于 ()A.1 i B.1i C. 1i D.1i6.(2015江苏 )设复数 z 满足 z234i(i 是虚数单位 )，则 z的模为 _.7.若3bi1iabi(a，b 为实数
18、， i 为虚数单位 )，则 ab_.8.复数 (3i)m(2i)对应的点在第三象限内，则实数m 的取值范围是 _.9.计算： (1)1 i 2ii3；(2)12i23 1i2i； (3)1i1i21i1i2；(4)13i3i2.10.复数 z13a5(10a2)i，z221a(2a5)i，若 z1z2是实数，求实数a 的值 .【能力提升】11.复数 z1，z2满足 z1m(4m2)i，z22cos ( 3sin )i(m， ， R)，并且 z1z2，则 的取值范围是 ()A.1,1B.916，1C. 916，7D.916，712.设 f(n)1i1in1i1in(nN*)，则集合 f(n) 中
19、元素的个数为()A.1 B.2 C.3 D.无数个13.已知复数zxyi，且 |z2|3，则yx的最大值为 _.14.设 a R， 若复数 za1i1i2在复平面内对应的点在直线xy0 上， 则 a 的值为 _.15.若 12i 是关于 x 的实系数方程x2bxc0 的一个复数根，则b_，c_.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 8 【巩固练习参考答案】1A. 2.B. 3.B. 4.D. 5.D. 6.5. 7.3
20、. 8.m23.9.解(1) 1i2ii33ii 13i.(2)12i23 1 i2i34i33i2ii2ii 2i51525i.(3)1i1i21i1i21i2i1i2i1i21i2 1.(4)13i3i23ii3i2i3ii3i41434i.10.解z1z23a5(a210)i21a(2a5)i3a521a(a210)(2a5)ia13a5 a1(a22a15)i. z1z2是实数， a22a150，解得 a 5 或 a3.又(a5)(a1)0，a5 且 a1，故 a3.11.解析由复数相等的充要条件可得m2cos ，4m2 3sin ，化简得44cos2 3sin ，由此可得 4cos2
21、 3sin 4 4(1sin2 ) 3sin 44sin2 3sin 4 sin 382916，因为 sin 1,1，所以 4sin2 3sin 916，7 . 答案C12.解析f(n)1 i1 in1i1inin(i)n，f(1)0，f(2) 2，f(3)0，f(4)2，f(5)0， 集合中共有3 个元素 . 答案C13.解析 |z2|x22y23， (x2)2y23.由图可知yxmax313.14.解析 za 1i21i2a12a12i，依题意得a12a120，a0.15.解析实系数一元二次方程x2bxc0 的一个虚根为12i，其共轭复数12i 也是方程的根 .由根与系数的关系知，12i 12i b，12i12i c，b 2，c3.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -