2022年圆与相似证明 .pdf
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1、1 1、如图, AB是圆 O的直径,点C、D在圆 O上,且 AD平分 CAB.过点 D作 AC的垂线,与AC的延长线相交于 E,与 AB的延长线相交于点F. (1) 求证: EF与圆 O相切; (2) 若 AB=6,AD=4 2,求 EF的长。角平分线、平行线、弧中点、等腰三角形、垂径定理,角平分线性质;(旋转相似,ADE ABD ,或者通过 DG AB ,求出 DE,法一、平行线型相似,ODF AEF ,法二、外部母子型,BDF DAF ,法三、平移缩放相似,OD与 BC交于点 G ,BD=CD , OGB AEF )2、如图, AB是 O的直径,点C在 O上, CAB的平分线交 O于点 D
2、 ,过点 D作 AC的垂线交AC的延长线于点E ,连接 BC交 AD于点 F (1)猜想 ED与 O的位置关系,并证明你的猜想;(2)若 AB=6 ,AD=5 ,求 AF的长(法一,内部母子型;法二连接OD得到矩形, OBD中面积法求解CE)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页,共 26 页 - - - - - - - - - 2 3、如图, AB为 O的直径,点C是 O上一点, AD平分 CAB交 O于点 D,过点 D作 DE AC于点 E (1求证:(1)DE是
3、 O的切线;(2)若 AC=3 ,DE=2 ,求 AD的长)( DCE AED ,求出 CE, CDA= CBA , EDC= EAD )4、如图, AB是 O的直径, C为 O上一点, AD CD , (点 D在 O外) AC平分 BAD (1)求证: CD是 O的切线;(2)若 DC 、AB的延长线相交于点E,且 DE=12 ,AD=9 ,求 BE的长(3)若 O的半径为4, E=30,求 AC长(求出 AE ,平行线型相似,ECO EDA 。第三问计算可得E=EAC=30 , AC=CE )5、 如图, 已知 AB是 O的直径,直线 l 与 O相切于点 C, 过点 A作直线 l 的垂线,
4、垂足为点D , 连接 AC (1)求证: AC平分 DAB ; (2)若 AD=3 ,AC=2 3,求直径AB的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页,共 26 页 - - - - - - - - - 3 (法一、旋转相似ADC ACB ,法二,计算得DAC= CAB=30 , RTACB求出 AB )6、如图, AB是 O的直径, AC是弦, BAC的平分线AD交 O于点 D,DE是 O的切线,交AC的延长线于点 E求证:(1)DE AC ; (2)若 AE=4,
5、ED=2 ,求 O的半径(旋转相似,ADE ABD ,法二,作OFCA ,垂径定理。 )7、如图, AB是 O的直径,点C是 O上一点, BAC的平分线AD交 O于点 D,过点 D垂直于 AC的直线交 AC的延长线于点E (1)求证: DE是 O的切线;(2)如果 AD=5 ,AE=4 ,求 AC长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页,共 26 页 - - - - - - - - - 4 ( 连接 BC ,垂径定理,矩形得BC=2DE ,旋转相似求出AB ,得出 A
6、C 。简单方法,作OF CA ,垂径定理。 ) 8、 如图,AB为 O的直径,AC为 O的弦,AD平分 BAC , 交 O于点 D, DE CA , 交 AC的延长线于点E (1)求证:直线DE是 O的切线;(1)若 AE=8 , O的半径为5,求 DE的长(法一、作OF CA ,垂径定理。法二、连接BC 、OD 。法三旋转相似,求AD 。 )9、如图, AB是 O的直径,点C为 O上一点, OF BC于点 F,交 O于点 E,AE与 BC交于点 H,点 D为OE的延长线上一点,且ODB= AEC (1)求证: BD是 O的切线;(2)求证: CE2=EH?EA;(3)若 O的半径为5,sin
7、A= 3/5 ,求 BH的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页,共 26 页 - - - - - - - - - 5 (垂径定理,母子型相似,连接BE , BEH AEB ,第 46 题简单很多)10、如图 1, ABC内接于 O,I 为 ABC的内心,延长AI 分别交 O、BC于 D、E两点。(1)求证: DI=DB; (2)如图 2,连接 OI,若 OIAD,AD=8 ,AC=7,求线段 AB的长。(旋转相似,8 字形, AEC ABD BED )11、如图,
8、 AB是 O的直径, BC是 O的切线,连接AC交O于点 D ,E为弧 AD 上一点,连结AE ,BE,BE交 AC于点 F,且AE2=EF?EB (1)求证: CB=CF ; (2)若点 E到弦 AD的距离为 1,cos C=3/5求 O的半径( AEF BEA , EFA= EAB= FBC 。易证 E为弧中点,连接OE交 AC于 G ,cosC=sin CAB)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页,共 26 页 - - - - - - - - - 6 12、如
9、图,已知ABC ,以边 BC为直径的 O与边 AB交于点 D,点 E为?BD的中点, AF为 ABC的角平分线,且 AF EC.(1)求证: AC与 O相切;(2)若 AC=6 ,BC=8 ,求 EC的长. AOHFEDCB(三线合一,第一问方法比较多,比如EBH= ECB ,或者 ECB= ECD或者 ECB= OEC ;第二问法一,内部母子型,EHB EBC ;法二,笨方法,连接CD ,面积法求出CD ,射影定理图形求出AD、DH 、CH 、BH ,再求 EH )13、如图,已知BC是以 AB为直径的的切线,且BC=AB ,连接 OC交 O于点 D,延长 AD交 BC于点 E,F为 BE上
10、一点,且DF=FB (1)求证: DF是 O的切线;(2)若 BE=2 ,求 O的半径(切线证明,连接OF全等或者连BD等腰均可。直角三角形斜边中线等于斜边一半,三角函数值,倒A型相似, CDF CBO )14、 如图: AB 是 O的直径,BC是 O的切线,OC与 O相交于点 D, 连接 AD并延长,与 BC相交于点 E (1)若 BC= 3 , CD=1 ,求 O的半径;(2)取 BE的中点 F,连接 DF,求证: DF是 O的切线(3)过 D点作 DG BC于 G ,DG与 OE相交于点 M ,求证: DM=GM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
11、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页,共 26 页 - - - - - - - - - 7 (勾股定理。连接BD ,DF斜边中线。平行线型相似,DM :AO=GM :BO )15、如图, AB是O 的直径,点C为O 上一点, AE和过点 C的切线互相垂直,垂足为E,AE交O 于点D,直线 EC交 AB的延长线于点P, 连接 AC , BC ,PB PC 12. (1)求证: AC平分 BAD ;(2)探究线段PB ,AB之间的数量关系,并说明理由;(3)若 AD 3,求 ABC的面积 . (外部母子型,AB=3PB ,AC=2BC 。OH
12、AD , PCO PEA ,求出半径。 )16、如图, AB是半圆 O的直径, C是 AB延长线上一点,CD与半圆 O相切于点 D,连接 AD ,BD (1)求证: BAD= BDC ; (2)若 sin BDC= 5 /5 ,BC=2,求 O的半径名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页,共 26 页 - - - - - - - - - 8 ( 外部母子型相似) 17、如图,AB是 O的直径, AC是弦, BAC的平分线AD交 O于点 D,DE AC ,交 AC的延长
13、线于点EOE交 AD于点 F ()求证: DE是 O的切线;()若 AE: AB = 4 :5 ,求 AF:DF 的值(X型相似)18、如图,已AB为 O直径, AC是 O的弦, BAC的平分线AD交 O于 D,过点 D作 DE AC交 AC的延长线于点E ,OE交 AD于点 F,cosBAC= 3/5 (1)求证: DE是 O的切线;(2)若 AF=8,求 DF的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页,共 26 页 - - - - - - - - - 9 (OD
14、、BC相交于点G ,OG中位线,根据比例求DG=CE ,X型相似)19、如图, 已知 AB是O的直径, C是 O上一点, BAC的平分线交 O于点 D,交 O的切线 BE于点 E,过点 D作 DF AC ,交 AC的延长线于点F(1)求证: DF是 O的切线;(2)若 DF=3 ,DE=2 求 BE:AD 值;求 FAB的度数(射影定理相似和旋转相似,BDE ABE,ADF AEB ,根据比例,算出BE、AD 即可)20、如图, AB为 O的直径, C为圆上一点, AD平分 BAC交 O于点 D,DE AC交 AC的延长线于点E,过 B作 FB AB交 AD的延长线于点F(1)求证: DE是
15、O的切线;(2)若 DE=4 , O的半径为 5,求 AC和 BF的长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页,共 26 页 - - - - - - - - - 10 (法一、 连接 BC 、OD ,垂径定理 BC=2DE ,求 AC 、CE 。 法二, 作 OH AC ,垂径定理。 法三,作 DP AB ,DP=DE ,求出 AP ,平行线型相似求BF )21、如图, AB为 O的直径, CE是 O的切线,且AE CE ,垂足为 E,BC的延长线交AE的延长线于点D(
16、1)求证: DAC= BAC ; (2)若 CE=2DE ,AD=10 ,AC=4 5 ,求 DE的长(勾股定理)22、如图, AB为 O的直径, C为 O上一点,连AC 、BC ,E为 O上一点,且BE=CE ,点 F 在 BE上,CFAB于 D。 (1)求证: CB=CF ; (2)若 CF=2 ,EF=3 ,求 BD的长。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页,共 26 页 - - - - - - - - - 11 ( BCE BFC ,设 BF=X ,BE
17、:CF=BC :BF,求出 BF ;求 BD法 1,勾股定理法, BC2-CD2=BF2-DF2 ;法 2,面积法,做CG FB )23、如图, AB 是 O的直径, BC AB ,连结 OC ,弦 AD OC ,直线 CD交 BA的延长线于点E(1)求证:直线CD是 O的切线;(2)若 DE=2BC ,求 AD :OC的值(3)若 DE=2BC ,EA=4 ,求 O的半径( COD COB 。BC=CD ,平行线型相似。 )24、如图, AB是 O的直径,点D是上的一点,且 BDE CBE ,BD与 AE交于点 F(1) 求证: BC是 O的切线; (2) 若 BD平分 ABE ,求证: D
18、E2 DF DB;(3) 在 (2) 的条件下,延长ED ,BA交于点 P,若 PA AO ,DE 2,求 PD的长和 O的半径名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页,共 26 页 - - - - - - - - - 12 (弦切角定理,角平分线=平行线型相似、外部母子型、燕尾型相似。PDO PEB , PDB PAE ,或者 PDA POD ,从割线出发的母子型是到圆心构成三角形)25、如图,在ABC中, BC=AC ,以 BC为直径的 O与边 AB相交于点D ,
19、DEAC ,垂足为点E (1)判断 DE与 O的位置关系,并证明你的结论;(2)若 DE的长为 22 ,cosB= 1/3 ,求 O的半径(CD三线合一,角平分线有平行,求出AD ,三角函数求AC即可,或者ACD射影定理相似)26、如图, Rt ABC中, A=90 ,以AB为直径的 O交 BC于点 D ,点 E在 O上, CE=CA ,AB ,CE的延长线交于点F. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页,共 26 页 - - - - - - - - - 13 (
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