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1、. . 填空题（每题 2 分，共 20 分）A1、记三事件为 A，B，C. 则用 A，B，C 及其运算关系可将事件，“ A，B，C 中只有一个发生”表示为 . A3 、 已 知P(A)=0.3， P （ B ） 0.5 ， 当A ， B相 互 独 立 时 ，0 650 5P( AB )_ ._,P( B | A )_ ._。A4、一袋中有 9 个红球 1 个白球，现有 10 名同学依次从袋中摸出一球（不放回） ，则第 6位同学摸出白球的概率为1/10 。A5、若随机变量 X 在区间( , )a b上服从均匀分布，则对acb以及任意的正数0e，必有概率P cxcee,cebbabc,cebbaA
2、6、设 X 服从正态分布2( ,)N，则23XYN ( 3-2 , 42 ) . A7、设1128363XBEXDXn, p ),n_, p_（且 ，则A8、袋中装有 5 只球，编号为 1，2，3，4，5，在袋中同时取出3 只，以 X 表示取出 3 只球中的最大号码。则X 的数学期望)(XE4.5 。A9、设随机变量(,)X Y的分布律为X Y 1 2 3 1 0.12 0.10 0.28 2 0.18 0 0.12 3 0 0.15 0.05 则条件概率2|3YXP2/5 . A10 、设121,XX来自正态总体)1,0(N, 2129285241iiiiiiXXXY,当常数 k = ABC
3、ABCABC名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 1/4 时， kY 服从2分布。A 二、计算题（每小题10 分，共 70 分）A1、三台机器因故障要人看管的概率分别为0.1，0.2，0.15，求：（1）没有一台机器要看管的概率（2）至少有一台机器不要看管的概率（3）至多一台机器要看管的概率解：以 Aj表示“第j 台机器需要人看管”，j=1，2，3，则: P( A1 ) = 0.1 , P( A2 ) = 0
4、.2 , P( A3 ) = 0.15 , 由各台机器间的相互独立性可得12312310 90 8 0850 612P A A AP AP AP A.1231232110 1 0 20 150 997P AAAP A A A.12312312312312312312312330 1 0 80 850 90 2 0 850 9 0 8 0 150 90 8 0 850 0680 1530 1080 6120 941P A A AA A AA A AA A AP A A AP A A AP A A AP A A A.A2、甲袋中有 n 只白球、m 只红球；乙袋中有 N 只白球、M 只红球。今从甲袋
5、任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？解：以 W甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”，W乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”，则所求概率为P WP W WR WP W WP R W乙甲乙甲乙甲乙甲乙P WP WWP RP WR甲乙甲甲乙甲11111111111nmNNn mNMnmNMCCCCCCCC111n NmNnm NnnmNMnmNM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - -
6、 - - - - - . . A3、设随机变量 X 的概率密度为cos ,|( )2 0 ,Axxf x其它, 试求（ 1）常数 A; (2) 分布函数( )F x; (3) 概率 0 4PX。解： （1） 由归一性可得：2212fx dxAcos xdxA ，从而12A2222222xxxxfx dx,x.Fxfx dxfx dx,xfx dx,x021122212,xsin x,x,x401230424.PXcos xdxA4、 （1）已知 X 的分布律为X-1 0 1 2 3 P121613112131计算)21(2XD。 （5 分）解：222421244D(X)DXEXEX115225
7、23544164（2） 、设)1 ,0( NX，求2XY的概率密度 .（5 分）解：Y 的密度函数为：210200ye,yf ( y )y,y名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . A5、设(,)X Y的概率密度为000 , (),( , )xyexyfx y其它. (1) 试求分布函数),(yxF；(2) 求概率( , )Px yG 其中区域 G 由X轴, Y轴以及直线1yx所围成 . 解: 000010 x
8、y( xy )xyedxdy,x, y.Fx, yfx, y dxdy,其他11000 xyee,x, y,其他2G.P ( x, y )Gfx, y dxdy1110012x( xy )edy dxeA6、设二维随机变量(,)X Y的概率密度为(1), 01( , )0,kxyxf x y其它,求常数 k 及边缘概率密度 .并讨论随机变量YX,的相互独立性。解：由归一性知：0111( ,)yxfx y dxdykx dxdy100116xkdxx dyk6k( ,)Xfxfx y dy061010 xx dyx，其他61010 xxx，其他( ,)Yfyfx y dx161010yx dxy
9、，其他231010-，其他yy显然( ,)XYfx yfxfy ，故 X 与 Y 不相互独立。A7、设总体 X 的概率密度为1, 01( )0,xxfx其它, 其中0为未知参数 . 若nXX,1是来自母体的简单子样，试求的矩估计与极大似然估计 . 解： （1） 令1101XEXxxdx解得的矩估计为2?1XX（2）似然函数11211nnniiiiLxx对数似然函数1lnln1ln2niinLx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - -
10、 - - - . . 令121ln1ln022niiLnx解得的极大似然估计为221?lnniinxA 三、证明题（每题5 分，共 10 分）A 1、12,XX为来自总体X 的样本，证明当1ab时，12aXbX为总体均值()E X的无偏估计。证明：设总体均值()E X= ，由于12,XX为来自总体 X 的样本，因此12E XE X而12aXbX为总体均值()E X的无偏估计，故应该有1212E aXbXaE XbE Xab从而1abA 2、设,X Y是相互独立的随机变量，它们分别服从参数为21,的泊松分布，证明ZXY服从参数为21的泊松分布。证明：由题知12,XPYP，即1212,!mnPXm
11、eP Ynemn令 ZXY，且由,X Y的相互独立性可得：P ZkP XYk0,kmPXi Yki12120!ikikieeiki12120!kikiieekkiki12120 1, ,.!kekk即ZXY服从参数为21的泊松分布B 一、填空（每小题2 分，共 10 分）B1. 若随机变量的概率分布为，则_。B2. 设随机变量，且，则_。B3. 设随机变量,则_。B4. 设随机变量，则_。B5. 若随机变量的概率分布为则_。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共
12、24 页 - - - - - - - - - . . B 二、单项选择 (每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共 20 分) B1. 设与分别是两个随机变量的分布函数，为使是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（） 。(A) (B) (C) (D) B2. 设随机变量的概率密度为，则（） 。(A) (B) (C) (D) B3.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) B4.下列函数为随机变量分布密度的是( )。(A) (B) (C) (D) B5. 设随机变量的概率密度为，则的概率密度为（） 。(A) (
13、B) (C) (D) B6. 设服从二项分布，则（） 。(A) (B) (C) (D) B7. 设，则（） 。(A) (B) (C) (D) B8设随机变量的分布密度为, 则（） 。(A) 2 (B) 1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . (C) 1/2 (D) 4 B9对随机变量来说，如果，则可断定不服从（） 。(A) 二项分布(B) 指数分布(C) 正态分布(D) 泊松分布B10设为服从正态分布的随机
14、变量，则( )。(A) 9 (B) 6 (C) 4 (D) -3 B 三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）B1. 盒内有 12 个乒乓球，其中 9 个是新球， 3 个是旧球。采取不放回抽取，每次取一个，直到取到新球为止。求抽取次数的概率分布。B2. 车间中有 6 名工人在各自独立的工作， 已知每个人在 1 小时内有 12 分钟需用小吊车。求（1）在同一时刻需用小吊车人数的最可能值是多少？（2）若车间中仅有 2 台小吊车，则因小吊车不够而耽误工作的概率是多少？B3. 某种电子元件的寿命是随机变量，其概率密度为求（1）常数；（2）若将 3 个这种元件串联在一条线路上，试计算该线路使用15
15、0 小时后仍能正常工作的概率。B4. 某种电池的寿命（单位：小时）是一个随机变量，且。求（1）这样的电池寿命在250 小时以上的概率；（2），使电池寿命在内的概率不小于 0.9。B5. 设随机变量。求概率密度。B6. 若随机变量服从泊松分布，即，且知。求。B7. 设随机变量的概率密度为。求和。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . B8. 一汽车沿一街道行使， 需要通过三个均没有红绿灯信号灯的路口，每个信号灯为
16、红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，求红或绿两种信号灯显示的时间相等。以表示该汽车未遇红灯而连续通过的路口数。求（1）的概率分布；（2）。B 四、证明题（共6 分）设随机变量服从参数为 2 的指数分布。证明：在区间上，服从均匀分布。试卷二参考答案一、填空1. 6 由概率分布的性质有即，得。2. ，则3. 0.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 4. 5. 0.25 由题设，可设即0 1 0.5 0.5
17、则二、单项选择1. () 由分布函数的性质，知则，经验证只有满足，选2. () 由概率密度的性质，有3. () 由概率密度的性质，有4. () 由密度函数的性质，有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 5. () 是单减函数，其反函数为，求导数得由公式，的密度为6. () 由已知服从二项分布，则又由方差的性质知 ,7. () 于是8. (A) 由正态分布密度的定义 ,有9. (D) 如果时,只能选择泊松分布
18、. 10. (D) X 为服从正态分布 N (-1, 2),EX = -1 E(2X - 1) = -3 三、计算与应用题1. 解：设为抽取的次数只有个旧球 ,所以的可能取值为：由古典概型，有则1 2 3 4 2. 解：设表 示同 一 时 刻 需 用 小 吊车 的 人 数 ， 则是 一 随 机 变 量， 由 题 意 有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . ，于是（1）的最可能值为，即概率达到最大的（2）3.
19、 解：（1）由可得（2）串联线路正常工作的充要条件是每个元件都能正常工作，而这里三个元件的工作是相互独立的，因此，若用表示“线路正常工作”，则而故4. 解：（1）（查正态分布表）（2）由题意名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 即查表得。5. 解: 对应的函 数单调增加，其反函数为，求导数得，又由题设知故由公式知：6. 解: ，则而由题设知即可得故查泊松分布表得，7. 解: 由数学期望的定义知 ,而故8.
20、解: （1）的可能取值为且由题意 ,可得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 即0 1 2 3 （2）由离散型随机变量函数的数学期望，有四、证明题证明：由已知则又由得连续，单调，存在反函数且当时，则故即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - -
21、- - - . . 试卷三C 一、填空（请将正确答案直接填在横线上。每小题2 分，共 10 分）C1. 设二维随机变量的联合分布律为，则_，_. C2. 设随机变量和相互独立，其概率分布分别为，则_. C3. 若随机变量与相互独立，且，则服从_分布. C4. 已知与相互独立同分布，且则_. C5. 设随机变量的数学期望为、方差，则由切比雪夫不等式有_. C 二、单项选择 (在每题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题 2 分，共 20 分) C1. 若 二 维 随 机 变 量的 联 合 概 率 密 度 为，则系数（）. (A) (B) (C) (D) C2. 设两
22、个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和， 则下列结名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 论正确的是（）. (A) (B) (C) (D) C3. 设随机向量 (X , Y)的联合分布密度为, 则（）. (A) (X , Y) 服从指数分布(B) X 与 Y不独立(C) X 与 Y 相互独立(D) cov(X , Y) 0 C4. 设随机变量相互独立且都服从区间 0,1上的均匀分布，则下列随机变量中服从均匀
23、分布的有（）. (A) (B) (C) (D) C5. 设随机变量与随机变量相互独立且同分布 , 且, 则下列各式中成立的是（）. (A) (B) (C) (D) C6设随机变量的期望与方差都存在 , 则下列各式中成立的是（）. (A) (B) (C) (D) C7. 若随机变量是的线性函数，且随机变量存在数学期望与方差，则与的相关系数（）. (A) (B) (C) (D) C8. 设是二维随机变量，则随机变量与不相关的充要条件是（）. (A) (B) (C) (D) C9. 设是个 相 互 独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 ，则对于，有（）. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载
24、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . (A) (B) (C) (D) C10. 设,为独立同分布随机变量序列，且Xi( i = 1,2, )服从参数为的指数分布，正态分布N ( 0, 1 ) 的密度函数为, 则（）. C 三、计算与应用题（每小题8 分，共 64 分）C1. 将 2 个球随机地放入3 个盒子，设表示第一个盒子内放入的球数，表示有球的盒子个数 . 求二维随机变量的联合概率分布 . C2. 设二维随机变量的联合概率密度为（1）确定的值；
25、（2）求. C3. 设的联合密度为（1）求边缘密度和；（2）判断与是否相互独立 . C4. 设的联合密度为求的概率密度 . C5. 设，且与相互独立 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 求（1）的联合概率密度；（2）；（3）. C6. 设的联合概率密度为求及. C7. 对敌人阵地进行 100 次炮击。每次炮击命中目标的炮弹的数学期望是4， 标准差是 1.5. 求 100 次炮击中有 380 至 420
26、 课炮弹命中目标的概率 . C8. 抽样检查产品质量时，如果发现次品数多于10 个，则认为这批产品不能接受. 问应检查多少个产品才能使次品率为10% 的这批产品不被接受的概率达0.9. C 四、证明题（共 6 分）C 设随机变量的数学期望存在，证明随机变量与任一常数的协方差是零 . 试卷三参考解答一、填空1. 由联合分布律的性质及联合分布与边缘分布的关系得2. 3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 相
27、互独立的正态变量之和仍服从正态分布且，4. 5. 二、单项选择1. (B) 由即选择(B).2. (B) 由题设可知，故将标准化得选择(B).3. (C) 选择(C).4. (C) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 随机变量相互独立且都服从区间 0,1上的均匀分布 , 则选择(C).5. (A) 选择(A).6. (A) 由期望的性质知选择(A).7. (D) 选择(D).8. (B) 与不相关的充要条
28、件是即则选择(B).9. (C) 选择(C).10. (A) Xi( i = 1,2, )服从参数为的指数分布，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 故选择(A).三、计算与应用题1. 解显然的可能取值为；的可能取值为注意到将个球随机的放入个盒子共有种放法 ,则有即的联合分布律为2. 解（1）由概率密度的性质有名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
29、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 可得（2）设，则3. 解（1）即即，（2）当时故随机变量与不相互独立 . 4. 解先求的分布函数显然，随机变量的取值不会为负，因此当时，当时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 故的概率密度为5. 解（1）与相互独立的联合密度为（2）（3）6. 解名师资料总结 - - -精品
30、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 于是由对称性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 24 页 - - - - - - - - - . . 故. 7. 解设表示第次炮击命中目标的炮弹数，由题设，有，则次炮击命中目标的炮弹数，因相互独立，同分布，则由中心极限定理知近似服从正态分布于是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 24 页 - - - - - - - - -