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1、2数 列 的 应 用 与数列有关的应用题大致有三类：与数列有关的应用题大致有三类：一一是有关等差数列的应用题；是有关等差数列的应用题；二二是有关等比数列的应用题；是有关等比数列的应用题；三三是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题是有关递推数列中可化为等差、等比数列的问题. .9例例3.3.某林场原有木材量为某林场原有木材量为a a，木材以每年，木材以每年25%25%的增长率生长，而每年冬天要砍伐的的增长率生长，而每年冬天要砍伐的木材量为木材量为x x，为了实现，为了实现经过经过2020年达到木材年达到木材存有量翻两翻存有量翻两翻，求每年砍伐量，求每年砍伐量x x的最大值的最大值. .（设（
2、设1.251.252020=86.74=86.74） 分析分析 木材的增长率是一个等比数列的问题，木材的增长率是一个等比数列的问题，翻几翻问题也是等比数列问题，原来翻几翻问题也是等比数列问题，原来a a，翻一，翻一翻翻2a2a，翻两翻，翻两翻4a4a，依次类推，依次类推. .xaxa45%)251 (第一年末木材存有量为)451 ()45(45)45(2xaxxa第二年末木材存有量为解解xxa45)451 ()45(2：第三年末木材存有量为)45(451 )45(23xa10)45()45()45(1 )45(20192120 xa年末木材存有量为第xxa4)45(4)45(2020axxa4
3、474.86474.8674.86)45(20且依题意ax24. 0解之得.24. 0a值为答：每年的砍伐量最大451)45(1 1)45(2020 xa11例例4.4.顾客从商场购买一台售价为顾客从商场购买一台售价为1.251.25万元的电脑，万元的电脑，采用采用分期付款分期付款的方法，先付款的方法，先付款( (也称也称首付首付)0.25)0.25万元，万元，余款以后再付，但要支付余款以后再付，但要支付利息利息. .如果按月利率如果按月利率1%,1%,每每月利息按月利息按复利复利计算计算( (即每月利息记入下月即每月利息记入下月本金本金) )（1 1）试分别计算）试分别计算1 1个月后、个月
4、后、2 2个月后、个月后、3 3个月后个月后一年后顾客欠商场一年后顾客欠商场本利和本利和 . .（2 2）余额也采用分期付款的方法，）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同，购买后要求每期付款数额相同，购买后第第1 1个月月底第个月月底第1 1次付款，再过次付款，再过1 1个个月第月第2 2次付款次付款购买后一年第购买后一年第1212次付清次付清. .那么每期应付款多少元？那么每期应付款多少元？12（1 1）试分别计算）试分别计算1 1个月后、个月后、2 2个月后、个月后、3 3个月后个月后一年后顾客欠商场一年后顾客欠商场本利和本利和 . . 解解 1 1个月后欠商场本利和：个月后欠商
5、场本利和：1+11+11%=11%=1(1+1%)=1.01(1+1%)=1.01万元万元, ,2 2个月后欠商场本利和个月后欠商场本利和:1.01:1.01(1+1%)=1.02(1+1%)=1.02万元万元, ,3 3个月后欠商场本利和个月后欠商场本利和:1:11.011.013 3=1.03=1.03万元万元, ,一年后欠商场本利和一年后欠商场本利和:1:11.011.011212=1.13=1.13万元万元. .13（2 2）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款）余额也采用分期付款的方法，要求每期付款数额相同数额相同，购买后第，购买后第1 1个月月底第个月月底第1 1次付款，再过次付
6、款，再过1 1个月第个月第2 2次付款次付款购买后一年第购买后一年第1212次次付清付清. .那么每那么每期应付款多少元？期应付款多少元？主要思路：主要思路：思路思路1 1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. .思路思路2 2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑：从货款与还款随时间不断增值方面考虑. .思路思路3 3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑：各期还款额等价到货款初的角度来考虑. .14思路思路1 1：逐月计算欠款情况，最后欠款数为零逐月计算欠款情况，最后欠款数为零. . 解法解法111 1个月后欠个月后欠 11（1+1%1+1%）-x=1.01-x
7、-x=1.01-x2 2个月后欠个月后欠 （1.01-x1.01-x） 1.01-x=1.01 1.01-x=1.012 2-1.01x-x-1.01x-x3 3个月后欠（个月后欠（1.011.012 2-1.01x-x-1.01x-x） 1.01-x 1.01-x =1.01 =1.013 3-1.01-1.012 2x-1.01x-xx-1.01x-x1212个月后欠个月后欠1.011.011212-1.01-1.011111x-1.01x-1.011010 x-1.01x-xx-1.01x-x设每月付款设每月付款x x元，元，15由1.0112-1.0111x-1.0110 x-1.01
8、x-x=0得x + 1.01x +1.0110 x + 1.0111x = 1.0112121201. 101. 11)01. 11 (1x即087. 013. 001. 013. 1101. 101. 001. 11212x答：每月还答：每月还870元元.16思路思路2 2：从货款与还款随时间不断增值方面考虑从货款与还款随时间不断增值方面考虑. . 解法解法22商品购买商品购买1 1年后货款全部付清时年后货款全部付清时货款增值为货款增值为1 11.011.011212万元万元. .设每期付款额为设每期付款额为x x万元万元第第1212期付款期付款x x万元时万元时, ,没有增值没有增值, ,
9、还是还是x x万元，万元，第第1111期付款期付款x x万元万元, ,经过经过1 1个月增值为个月增值为x1.01x1.01万万元，元，第第1010期付款期付款x x万元万元, ,经过经过2 2月增值为月增值为x1.01x1.012 2万元，万元，第第1 1期付款期付款x x万元万元, ,经过经过1111月增值为月增值为x1.01x1.011111万元万元. .17由x + 1.01x + 1.0110 x + 1.0111x = 1.0112121201. 101. 11)01. 11 (1x得.087. 013. 001. 013. 1101. 101. 001. 11212万元x答：每月
10、还答：每月还870870元元. .18思路思路3 3：各期还款额等价到货款初的角度来考虑各期还款额等价到货款初的角度来考虑. . 解法解法33 货款初为货款初为1 1万元万元. .设每期付款设每期付款x x元元, ,则则第第1 1期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值万元，01. 1x第第2 2期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值万元，201. 1x第第3 3期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值万元，301. 1x第第1212期所付的期所付的x x元元, ,在货款初只值在货款初只值.01. 112万元x19101. 101. 101.
11、101. 11232xxxx则以下同解法一以下同解法一.20例例5 5（19961996年全国高考试题）某地现有耕地年全国高考试题）某地现有耕地1000010000公顷，公顷，规划规划1010年后粮食单产比现在增加年后粮食单产比现在增加22%22%，人均粮食占有，人均粮食占有量比现在提高量比现在提高10%10%，如果人口年增长率为，如果人口年增长率为1%1%，那么耕，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1 1公顷，公顷，设设1.011.011010=1.1045=1.1045） 分析分析 这是一个实际应用问题这是一个实际应用问题. .由于考虑的
12、是人口平均由于考虑的是人口平均增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，增长率，因此每年年底的人口总数组成一个等比数列，而每年年底的耕地数组成一个等差数列而每年年底的耕地数组成一个等差数列. .设该地区现有人口为设该地区现有人口为P P，那么，那么1010年后人口为年后人口为PP（1+1%1+1%）1010. .设耕地每年至多只能减少设耕地每年至多只能减少x x公顷，那么公顷，那么1010年后耕地面积年后耕地面积为（为（10000-10 x10000-10 x）公顷）公顷. .设现在粮食单产为设现在粮食单产为M M吨吨/ /公顷，那么公顷，那么1010年后粮食单产为年后粮食单产为M M（
13、1+22%1+22%）吨）吨/ /公顷公顷. .解解21,104PM 现在人均粮食占有量为,%)11 ()1010(%)221 (10104PxM年后人均粮食占有量为%)101 (10%)11 ()1010(%)221 (4104PMPxM依题意列不等式：,110001045. 1)1010(22. 14x即. 1 . 41221104511103x. 4x答：按规划耕地平均每年至多只能减少答：按规划耕地平均每年至多只能减少4 4公顷公顷. .22思考题：思考题：）述操作？（，至少要进行多少次上小于今需得到的溶液浓度不多少？次操作后溶液的浓度是第继续下去，问：克，进行搅拌，如此的溶液再向溶液中
14、注入浓度为后，克，倒出溶液的的溶液已知一容器装有浓度为rqpqnapar%)2() 1 (4%41%. 1232. 2. 环境问题严重危害人民群众身心健康，也直环境问题严重危害人民群众身心健康，也直接影响着北京举办接影响着北京举办20082008年奥运会年奥运会.2000.2000年我国北方年我国北方地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化地区发生的多起沙尘暴，主要是由于土地沙漠化引起的引起的. .据调查，沙漠化土地面积每年以据调查，沙漠化土地面积每年以4%4%的速度的速度递增递增. .北京市以北地区北京市以北地区19951995年底年底有沙漠化土地面积有沙漠化土地面积2520025200亩
15、亩，计划从，计划从19961996年年起每年在沙漠上种植相同起每年在沙漠上种植相同面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在面积的树木，以改造沙漠为森林，计划在20072007年年年底年底前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树前完成对沙漠的改造任务，问每年至少植树多少亩？多少亩？(1.04(1.041212=1.601)=1.601)思考题：思考题：24第一题提示：第一题提示：.)43()%(% 1)43()43()43(%41%)43() 1 (121nnnnrppprn次之后溶液的浓度为：.1),1,(.log2.log1.log%,)43()%(%)2(434343次操作则至少要进行为自然数，
16、其中当次操作；，则至少要进行为自然数当解得由mmmmrpqpmmrpqprpqpnqrppn25第二题提示：第二题提示：9696年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为:(25200-x) 1.04;:(25200-x) 1.04;9797年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为: : (25200-x) 1.04-x 1.04 (25200-x) 1.04-x 1.04 =252001.04 =252001.042 2-x(1.04-x(1.042 2+1.04);+1.04);20072007年底沙漠化土地面积为年底沙漠化土地面积为: : 252001.04 252001.041212-x
17、(1.04-x(1.041212+1.04+1.041111+1.04).+1.04).答案：每年至少植树答案：每年至少植树25822582亩亩. .263.3.银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利. .现现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款一次性贷款1010万元，第一年可获利万元，第一年可获利1 1万元，以后万元，以后每年比上一年增加每年比上一年增加30%30%的利润；乙方案每年贷款的利润；乙方案每年贷款1 1万元，第
18、一年可获利万元，第一年可获利1 1万元，以后每年比上一年万元，以后每年比上一年增加增加5 5千元千元. .两种方案使用期限都是两种方案使用期限都是1010年，到期一年，到期一次性还本付息次性还本付息. .若银行贷款利息均按年利息若银行贷款利息均按年利息10%10%计计算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千算，试比较两种方案的优劣（计算时，精确到千元，并取元，并取1.11.110102.594,1.32.594,1.3101013.7913.79）思考题：思考题：27第三题提示：第三题提示：.63.4213 . 113 . 1%)301 (%)301 (110109年共获利甲方案.7 .16
19、%)101 (1063.4210万元：扣除贷款本息净收益为, 5 .322)5 . 51 (10)5 . 191 (5 . 1110年共获利乙方案,94.1511 . 111 . 1%)101 (%)101 (1109为到期时，银行贷款本息净收益32.5-15.94=16.6万元所以甲方案优于乙方案.28小结：（小结：（1）.等差数列、等比数列等差数列、等比数列是日常经济生活中的重要数学模是日常经济生活中的重要数学模型型;（2）.银行存款的计息方式银行存款的计息方式;（3）.银行的储蓄业务种类银行的储蓄业务种类;（4）.零存整取储蓄模型零存整取储蓄模型;（5）.定期自定期自动转存模型；（动转存模型；（6）.教育储蓄模型教育储蓄模型.作业：作业： 习题习题14第第1、2题题五、教后反思：五、教后反思：