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1、第1讲函数的图象与性质考情分析1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、分段函数、函数的性质及函数的图象等，主要考查求函数的定义域、求分段函数的函数值或分段函数中求参数问题及函数图象的识别，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题考点一函数的概念与表示核心提炼1复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为m，n，则在f(g(x)中，由mg(x)n解得x的范围即为f(g(x)的定义域(2)若f(g(x)的定义域为m，n，则由mxn得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域2分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义
2、域的并集，值域等于各段函数值域的并集例1(1)已知函数f(x)，则函数的定义域为()A(，1) B(，1)C(，1)(1,0) D(，1)(1,1)答案D解析令12x0，即2x1，即x0.f(x)的定义域为(，0)函数中，有解得xf(1a)，则实数a的取值范围是_答案(2，1)(0，)解析当a1,1a(1a)22a，化简得a23a20，解得2a1，又a0时，1a1，(1a)22a(1a)，化简得a2a20，解得aR，又a0，a(0，)，综上，实数a的取值范围是(2，1)(0，)规律方法(1)形如f(g(x)的函数求值时，应遵循先内后外的原则(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件
3、准确地找出利用哪一段求解跟踪演练1(1)已知函数f(x)则f(f(2 022)等于()A B. C. D.答案B解析f(2 022)sinsin ，f(f(2 022)f.(2)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的xD，存在yD，使得f(x)f(y)成立，则称函数f(x)为“H函数”下列为“H函数”的是_(填序号)ysin xcos x；yln xex；y2x；yx22x.答案解析由题意，得“H函数”的值域关于原点对称中，ysin xcos xsin 2x，其值域关于原点对称，故是“H函数”；中，函数yln xex的值域为R，故是“H函数”；中，因为y2x0，故不是“H函数”；中，yx22
4、x(x1)211，其值域不关于原点对称，故不是“H函数”考点二函数的图象核心提炼1作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换2利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点例2(1)(2021德州模拟)函数f(x)在，的图象大致为()答案C解析f(x)f(x)，f(x)是奇函数，故A错误；f()1，故B，D错误(2)若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()答案C解析要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后再向左平移一个单位长度
5、得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知C正确规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题求解两个函数图象在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图象，再观察跟踪演练2(1)(2021太原模拟)函数f(x)sin x的图象大致是()答案A解析f(x)sin(x)sin(x) sin(x)sin xsin xf(x)，所以函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，排除C，D；当x2时
6、，f(2)sin 20，排除D；由x0时，f(x)0，排除B.考点三函数的性质核心提炼1函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数f(x)f(x)f(|x|)；f(x)是奇函数f(x)f(x)(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数奇函数是偶函数)2函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法3函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa)或f(x2a)f(x)，则函数yf(x)的周期为2|a|.4函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(ax)2bf(ax)，则函数yf(x)的图象关于点(a，b)对称(2)若函数f(x)满足关
7、系式f(ax)f(bx)，则函数yf(x)的图象关于直线x对称考向1单调性与奇偶性例3(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，) B3，10,1C1,01，) D1,01,3答案D解析因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的
8、x的取值范围是1,01,3考向2奇偶性、周期性与对称性例4已知yf(x1)是定义在R上的奇函数，且f(x3)f(1x)，则下列结论不正确的是()Af(x)的周期为4Bf(x)的图象关于点(1,0)对称Cf(2 021)0Df(x3)为偶函数答案D解析yf(x1)为奇函数，yf(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；又f(x3)f(1x)，f(x)的图象关于直线x2对称，由f(x)的图象关于点(1,0)对称及直线x2对称，可知f(x)的周期为4，故A正确；f(2 021)f(50541)f(1)0，故C正确；T4，f(x3)f(x1)，f(x3)为奇函数，故D不正确二级结论(1)若f(xa)
9、f(x)，其中f(x)0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线xa和xb对称，则f(x)的周期为2|ab|.(3)若f(x)的图象关于点(a,0)和直线xb对称，则f(x)的周期为4|ab|.跟踪演练3(1)(2021驻马店质检)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x0,2时，f(x)x2，则f(2 021)f(2 022)等于()A5 B3 C3 D5答案A解析f(x4)f(x)，f(x)的周期为8，f(2 021)f(5)f(1)1，f(2 022)f(6)f(2)4，f(2 021)f(2 022)5.(2)(2020全国)关于函数f(x)
10、sin x有如下四个命题：f(x)的图象关于y轴对称；f(x)的图象关于原点对称；f(x)的图象关于直线x对称；f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是_答案解析f(x)sin x的定义域为x|xk，kZ，f(x)sin(x)sin xf(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称，故错误，正确fcos x，fcos x，ff，f(x)的图象关于直线x对称，故正确当x时，f(x)1，所以函数f(x)的定义域为(1，)2(2021兰州模拟)下列函数中，在(0，)上单调递增且图象关于坐标原点对称的是()Af(x)x Bf(x)2x1Cf(x)log2|x| Df(x)x3答案D解析选项B为非奇非偶函
11、数，选项C为偶函数，排除B，C，对于A，函数f(x)x在(0，)上先减后增，不符合题意，故选D.3(2021赣州模拟)已知函数f(x)则f(2 021)等于()A1 B2 Clog26 D3答案A解析由题意知f(2 021)f(2 018)f(2)f(1)log2111.4函数f(x)的部分图象大致是()答案D解析函数的定义域为x|x0，故排除A；f(x)f(x)，故函数为奇函数，排除B，当x时，cos 2x0，故当x时，f(x)0，排除C，故选D.5(2021全国乙卷)设函数f(x)，则下列函数中为奇函数的是()Af(x1)1 Bf(x1)1Cf(x1)1 Df(x1)1答案B解析方法一因为
12、f(x)，所以f(x1)，f(x1).对于A，F(x)f(x1)11，定义域关于原点对称，但不满足F(x)F(x)；对于B，G(x)f(x1)11，定义域关于原点对称，且满足G(x)G(x)；对于C，f(x1)11，定义域不关于原点对称；对于D，f(x1)11，定义域不关于原点对称方法二f(x)1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数yf(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为yf(x1)1.6(2021银川模拟)已知f(x)是定义在R上的满足f(x)f(x)的函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x0,1时，f(x)22x，则f(0)f(1)f
13、(2)f(2 021)的值为()A2 B1 C0 D1答案D解析f(x)f(x)，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，f(x2)f(x)f(x)f(x4)f(x2)f(x)，f(x)的周期为4，由函数解析式及性质易知，f(0)1，f(1)0，f(2)1，f(3)0，f(0)f(1)f(2)f(2 021)505f(0)f(1)f(2)f(3)f(2 020)f(2 021)0f(0)f(1)1.7(2021鹰潭模拟)设函数f(x)则满足f(x2)f(3x)的x的取值范围是()Ax1 Bx1C2x1 D0xf(3x)时，由函数f(x)的图象可知或解得2x0时，f(x)x22x3，则下列结论正确
14、的个数是()|f(x)|2；当x0时，f(x)x22x3；直线x1是f(x)图象的一条对称轴；f(x)在(，1)上单调递增A1 B2 C3 D4答案C解析当x0，所以f(x)(x)22x3f(x)，所以f(x)x22x3，所以f(x)作出f(x)的图象如图所示由图象可知f(x)(，22，)，所以|f(x)|2，故正确；当x0时，f(x)x22x3，故正确；由图象可知直线x1显然不是f(x)的对称轴，故错误；由图象可知f(x)在(，1)上单调递增，故正确9设函数f(x)若函数存在最大值，则实数a的取值范围是()Aa1 Ba1Ca Da答案C解析显然当xa时，f(x)a，无最大值，当xa时，f(x
15、)，存在最大值，f(x)，当x0，f(x)单调递增，当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以当x1时，f(x)取得极大值也是最大值f(1)，因此f(x)要有最大值，必须满足所以a.10(2020全国)设函数f(x)ln|2x1|ln|2x1|，则f(x)()A是偶函数，且在上单调递增B是奇函数，且在上单调递减C是偶函数，且在上单调递增D是奇函数，且在上单调递减答案D解析f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定义域为.又f(x)ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|ln|2x1|f(x)，f(x)为奇函数，故排除A，C.当x时，f(x)ln(2x1)ln(12x)lnlnln，y1在上单
16、调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减11已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在区间1,2上是减函数，令aln 3，bln 2，cln 2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为()Af(b)f(c)f(a) Bf(a)f(c)f(b)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)0，解得0xe，令g(x)e，所以由函数g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减知，0acb1，所以f(a)f(c)2f，则称函数f(x)具有H性质则下列函数中具有H性质的是()f(x)x；f(x)ln x；f(x)x2(x0)；f(x)tan x.A BC D答案D解
17、析若对定义域内任意的x1，x2(x1x2)，有f(x1)f(x2)2f，则点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的中点在点的上方，如图.根据函数f(x)x，f(x)ln x，f(x)x2(x0)，f(x)tan x的图象可知，函数f(x)x，f(x)x2(x0)，f(x)tan x具有H性质，函数f(x)ln x不具有H性质，故选D.二、填空题13有以下两个条件：定义域不是R；偶函数写出一个同时满足以上条件的函数f(x)_.答案(答案不唯一)14(2021哈尔滨模拟)已知f(x)tan x(exex)6，f(t)8，则f(t)_.答案4解析f(x)6tan x(exex)，f(x)6ta
18、n(x)exe(x)tan x(exex)f(x)6，即f(x)6为奇函数，f(t)6f(t)6，故f(t)12f(t)1284.15已知函数f(x)ex2sin x，若f(a2)f(2a)0，则实数a的取值范围是_答案解析f(x)的定义域为R，又f(x)ex2sin xf(x)，f(x)为奇函数，又f(x)ex2cos x22cos x22cos x0，函数f(x)在R上单调递增，又不等式f(a2)f(2a)0可化为f(2a)f(a2)f(a2)，2aa2，解得a，实数a的取值范围是.16(2021武冈模拟)函数f(x)的定义域为D，对D内的任意x1，x2，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)，则称f(x)为非减函数已知f(x)是定义域为0,1的非减函数，且满足：对任意x0,1，f(1x)f(x)2.对任意x，f(x)4x.则ff的值为_答案2解析根据题意知，对任意x0,1，f(1x)f(x)2，则函数f(x)的图象在x0,1上关于对称，令x可得f1，又因为对任意x，f(x)4x，所以f1，又因为f1且f(x)是定义域为0,1的非减函数，所以当x时，必有f(x)1，又由于函数f(x)的图象关于对称，所以x时，也有f(x)1，ff112.学科网（北京）股份有限公司