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1、充分条件和必要条件一、充分条件与必要条件（一）、推断符号“”的含义：一般地,如果“若,则”为真, 即如果成立，那么一定成立,记作:“”;如果“若,则”为假, 即如果成立，那么不一定成立,记作:“”.用推断符号“和”写出下列命题：若，则；若，则；（二）充分条件与必要条件1、一般地，如果，那么称是的充分条件；同时称是的必要条件,与是否推出没有任何关系。理解：若是的充分条件或是的充要条件，则说明由可以推出2、如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？由上述定义知“”表示有必有，所以是的充分条件，这点容易理解但同时说是的必要条件是为什么呢？是的必要条件说明没有就没有,是成立的必不可少的条件,
2、但有未必一定有. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的它符合上述的“若p则q”为真（即）的形式“有之必成立，无之未必不成立”必要性：必要就是必须，必不可少它满足上述的“若非 则非”为真（即）的形式“有之未必成立，无之必不成立”（三）、命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：（1）充分必要条件（充要条件），即 且；（2）充分不必要条件，即且；称为：是的充分不必要条件或是必要不充分条件（3）必要不充分条件，即 ，且称是必要不充分条件或是充分不必要条件（4）既不充分又不必要条件，即且（能推的就是充分，不能推的就是必要）（四）充分、必要条件 的四种情形原命题
3、逆命题与的关系结论真真，但是的充分不必要条件；是的必要不充分条件假真但 是的必要不充分条件；是的充分不必要条件真真且即与互为充要条件假假且是的既不充分也不必要条件；是的既不充分也不必要条件（五）、充分、必要条件的判断1、定义法：（1）、分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；（2）找推式：判断及是否成立；（3）、下结论：根据推式及定义下结论。2、等价法：将命题转化为另一个等价的更便于判断的例题。3、逆否法若，则是的必要条件，是的充分条件；若且，则是的必要不充分条件；若，则与互为充要条件；若，则即不是的充分条件，也不是的必要条件。4、集合法：用集合法判断时，要尽可能用图示法、数轴、直角坐标平
4、面等几何方法，图形形象、直观，能简化解题过程，降低思维难度。5、递推法：由于逻辑联系符号具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系。（四）、从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件设若AB，则p是q的充分条件，若，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.三、充要条件的证明1、充要条件的证明思路根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明；（1）
5、、 充分性:把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出（）、 必要性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出2、充要条件的证明分充分性的证明和很必要性的证明两个步骤，在证明时要注意两种叙述方式的区别：（1）、是充要条件，则由证的是充分性，由证的必要性。（2）、的充要条件是，则由证的是必要性，由证的是充分性。规律方法一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即qp；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q为该步中要证明的“结论”，即pq.3、例题讲解1、已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0.(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx
6、|5x8的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的一个必要不充分条件.2、是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.3、已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.4、已知p：2，q：x22x1m20(m0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.5、已知实数p：x24x120，q：(xm)(xm1)0.(1)若m=2，那么p是q的什么条件；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.6、已知条件：，条
7、件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.7、已知命题关于的方程有实数根，命题（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.8、求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.9、设x，yR，求证：|xy|x|y|成立的充要条件是xy0.10、求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.11、求证：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.12、已知Mx|(xa)21，Nx|x25x24a和条件q：2x23x10，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.15、已知都是非零实数，且，求证：的充要条件
8、是.16、求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是17、求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.18、已知，求证：的充要条件是19、求证：关于的方程有一个根为的充要条件是20、已知的三边为、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.21、命题；命题（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值22、已知非空集合，集合，命题命题（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）当实数为何值时，是的充要条件解析与答案1、已知集合Mx|x5，Px|(xa)(x8)0.(1)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的充要
9、条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MPx|5x8的一个充分不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为MPx|5x8的一个必要不充分条件.解由MPx|5x8知，a8.(1)MPx|5x8的充要条件是3a5.(2)MPx|5x8的充分不必要条件，显然，a在3,5中任取一个值都可以.(3)若a5，显然MP5，3)(5,8是MPx|5x8的必要不充分条件.故a3时为必要不充分条件.(1)、充分不必要的证明2、是否存在实数p，使4xp0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由.解由x2x20解得x2或x2或x1.由4xp0，得B.当BA时，即1，即p4，此时x0，当p4时，4xp0
10、的充分条件.规律方法(1)设集合Ax|x满足p，Bx|x满足q，则pq可得AB；qp可得BA；若p是q的充分不必要条件，则AB.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.3、已知p：x28x200，q：x22x1a20.若p是q的充分不必要条件，求正实数a的取值范围.解设p对应的集合为A，q对应的集合为B.解不等式x28x200，得Ax|x10或x2.解不等式x22x1a20，得Bx|x1a或x1a，a0.依题意知pq，q/p，说明AB.于是有(说明：“1a10”与“1a2”中等号不能同时取到)解得0a3.正实数a的取值范围是0a3.4、已
11、知p：2，q：x22x1m20(m0)，且p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解由题意知p：2212132x10.q：x22x1m20x(1m)x(1m)0.(*)p是q的充分不必要条件，不等式2的解集是x22x1m20(m0)的解集的真子集.m0，不等式(*)的解集为x|1mx1m，且1m2与1m10不同时成立.m9.实数m的取值范围是9，).5、已知实数p：x24x120，q：(xm)(xm1)0.(1)若m=2，那么p是q的什么条件；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.解：实数p：x24x120，解得：2x6，q：(xm)(xm1)0，解得：mxm+1，令A=2，
12、6，B=m，m+1，（1）若m=2，则B=2，3，那么p是q的必要不充分条件；（2）若q是p的充分不必要条件，即，则，解得：2m5(等号不同时成立)，m2，5.（2）、必要不充分的证明6、已知条件：，条件：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：，即或，是的必要不充分条件，即.7、已知命题关于的方程有实数根，命题（1）若是真命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.解：（1）命题：关于的方程没有实数根，是真命题，满足，即，解得.故实数的取值范围是.（2） 由（1）可得当命题是真命题时，实数的取值范围是，是的必要不充分条件，是的真子集，即或，解得或.故实数的取值
13、范围是.（3）充要的证明8、求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.解： 证明充分性：(由ac0推证方程有一正根和一负根)ac0.方程一定有两不等实根，设为x1，x2，则x1x20，方程的两根异号即方程ax2bxc0有一正根和一负根必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac0)方程ax2bxc0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x20，即ac0，综上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0两种情况，当xy0时，不妨设x0，得|xy|y|，|x|y|y|，等式成立当xy0，即x0，y0或x0，y0，y0时，|xy|xy，
14、|x|y|xy，等式成立当x0，y0时，|xy|(xy)，|x|y|xy(xy)，等式成立总之，当xy0时，|xy|x|y|成立必要性：若|xy|x|y|且x，yR，得|xy|2(|x|y|)2，即x22xyy2x2y22|x|y|，|xy|xy，xy0.综上可知，“xy0”是“等式|xy|x|y|成立”的充要条件10、求证：方程x2(2k1)xk20的两个根均大于1的充要条件是k2.证明必要性：若方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根，不妨设两个根为x1，x2，则即解得k2.充分性：当k0.设方程x2(2k1)xk20的两个根为x1，x2，则(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k2
15、2k11k(k2)0.又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10，x110，x210.x11，x21.综上可知，方程x2(2k1)xk20有两个大于1的根的充要条件为k2.11、求证：一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.证明充分性：如果b0，那么f(x)kx.因为f(x)k(x)kx，所以f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数.必要性：因为f(x)kxb(k0)是奇函数，所以f(x)f(x)对任意x均成立，即k(x)b(kxb)，所以b0.综上，一次函数f(x)kxb(k0)是奇函数的充要条件是b0.12、已知Mx|(xa)21，Nx|x25x240，若M是N
16、的充分条件，求a的取值范围.解由(xa)21得x22ax(a1)(a1)0，a1xa1.又由x25x240得3x0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围解p：2x10. q：x22x1m20x(1m)x(1m)0 (m0)1mx1m (m0)因为q是p的充分不必要条件，即x|1mx1mx|2x10，故有或，解得m3.又m0，所以实数m的取值范围为m|0a和条件q：2x23x10，求使p是q的充分不必要条件的最小正整数a.解依题意a0.由条件p：|x1|a 得x1a，x1a.由条件q：2x23x10，得x1. 要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有或
17、解得a. 令a1，则p：x2，此时必有x1.即pq，反之不成立a1.15、已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是.解：（1）必要性：由，得，即，又由，得，所以.（2）充分性：由及，得，即.综上所述，的充要条件是16、求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是解：充分性：，方程有实根，设的两根为，由韦达定理知：，、同号，又，同为负根；必要性：的两个实根，均为负，且，所以命题得证17、求证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.解： (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac0.(2)充分性：由ac0及x1x20(x1，x2为方程的两根)所以方程
18、ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.18、已知，求证：的充要条件是解：（1）证明必要性：因为，所以所以（2）证明充分性：因为，即，又，所以且因为，所以，即综上可得当时，的充要条件是19、求证：关于的方程有一个根为的充要条件是解：充分性：，代入方程得，即关于的方程有一个根为；必要性：方程有一个根为，满足方程，即故关于的方程有一个根为的充要条件是20、已知的三边为、，求证：二次方程与有一个公共根的充要条件是.解：必要性：设方程与的公共的公共根为，则，两式相加得，解得，（舍）.将代入，得
19、，整理得，所以，；充分性：当时，则，于是，该方程有两根，.同理，该方程亦有两根，.显然，两方程有公共根，故方程与有公共根的充要条件为.21、命题；命题（1）若时，在上恒成立，求实数a的取值范围；（2）若p是q的充分必要条件，求出实数a，b的值解：（1）若在上恒成立，则，所以有，所以实数的范围为；（2）或，根据条件的解集是，即方程的二根为2和3，根据韦达定理有，所以，。22、已知非空集合，集合，命题命题（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）当实数为何值时，是的充要条件解：（1）解不等式，即，解得，则.由于是的充分不必要条件，则，当时，即当或时，不合题意；当时，即当或时，则，解得，又当，不合乎题意.所以；当时，即当时，则，此时.综上所述，实数的取值范围是；（2）由于是的充要条件，则，所以，和是方程的两根，由韦达定理得，解得.学科网（北京）股份有限公司