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1、立身以立学为先，立学以读书为本第八章 向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a或ABa(,)xyzxyza ia ja kaaa,xxyyzzaprj a aprj a aprj a模向量a的模记作aa222xyzaaa和差cabcabcab,xxyyzzab abab单位向量0a，则aaeaae222(,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与, ,x y z轴的夹角分别为， ，则方向余弦分别为cos ，cos ，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosae(，cos ，cos )222cos1+coscos点乘（数量积）co
2、sbaba，为向量a与b的夹角zzyyxxbabababa叉乘（向量积）bacsinbac为向量a与b的夹角向量c与a，b都垂直zyxzyxbbbaaakjiba定理与公式垂直0aba b0 xxyyzzaba ba ba b平行/0abab/yzxxyzaaaabbbb交角余弦两向量夹角余弦babacos222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb投影向量a在非零向量b上的投影cos()ba bprj aaa bb222xxyyzzbxyza ba ba bprj abbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
3、 1 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本平面直线法向量,nA B C点),(0000zyxM方向向量, ,Tm n p点),(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000三点式1112121213131310 xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzabc两点式000101010 xxyyzzxxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面
4、平行212121CCBBAA线线平行212121ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离),(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDdABC面面夹角线线夹角线面夹角,1111CBAn,2222CBAn,1111pnms,2222pnms,pnms,CBAn222222212121212121|cosCBACBACCBBAA222222212121212121cospnmpnmppnnmm222222sinpnmCBACpBnAm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
5、结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本空间曲线：( )( )( )xtytzt，)(t切向量)(,)(,)(000tttT切“ 线” 方程：)()()(000000tzztyytxx法平 “ 面” 方程：0)()()()()(000000zztyytxxt( )( )yxzx切向量)(,)(,1(xxT切“ 线” 方程：)()(100000 xzzxyyxx法平 “ 面” 方程：0)()()()(00000zzxyyxxx空间曲面：0),(zyxF法向量000000000(,),(,),(,) )xyznFxyzFxyzFxyz切平 “ 面” 方程：
6、000000000000(,)()(,)()(,)()0 xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“ 线“ 方程：),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz0000(,) ,(,) , 1 )xynfxyfxy或0000(,),(,) ,1)xynfxyfxy切平 “ 面” 方程：0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法“ 线“ 方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页立身以立
7、学为先，立学以读书为本第十章 重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质量质 量 = 面 密 度面积（1）利用直角坐标系X型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y型dcyyDdxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(P141例 1、例 3 （2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧 ,直线段)；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()xy, 为实数)21( )()(cos ,sin)(cos ,sin)Dfdddfd0202P147例 5 （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇
8、偶性当 D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）110( ,)(,)( ,)2( ,)( ,)(,)( ,)Dfx yxfx yfx yIfx y dxdy fx yxfx yf x yDD对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141例 2 应用该性质更方便计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数关于坐标变量易分离3 确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙4 确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域5 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 4 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本三重积分dvzyxfI),(空间立体物的质量质 量 =密 度面积(1) 利用直角坐标截面法投影法投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),(ddd),(P159例 1 P160例 2 （2）利用柱面坐标cossinxryrzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围 :1积分区域 表面用柱面坐标表示时方程简单； 如 旋转体2被积函数 用柱面坐标表示时变量易分离 .如2222()()f xyf xz21()( )( , , )ddd(cos ,sin, ) dbrarf
10、 x y zVzfzP161例 3 （3）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzrdvrdrd d2sin适用范围 :1积分域 表面用球面坐标表示时方程简单 ;如，球体，锥体. 2被积函数 用球面坐标表示时变量易分离 . 如，222()fxyz222111( , )2( , )dd( sin cos , sin sin ,cos )sin dIfP16510-(1) （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本第十二章级数精选学
11、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页立身以立学为先，立学以读书为本无穷级数常数项级数傅立叶级数幂级数一般项级数正项级数用收敛定义，nnslim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质1若级数收敛 ,各项同乘同一常数仍收敛2两个收敛级数的和差仍收敛注：一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注：收敛级数去括号后未必收敛. 5（必要条件）如果级数收敛则0lim0nnu莱
12、布尼茨判别法若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则nu也收敛；若nu发散，则nv也发散 .比较判别法比较判别法的极限形式nu和nv都 是 正 项 级 数 ， 且lvunnnlim， 则 1 若l0,nu与nv同敛或同散;2 若0l,nv收敛,nu也收敛； 3 如果l，nv发散，nu也发散。比值判别法根值判别法nu是正项级数，nnnuu1lim,nnnulim,则1时收敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.收敛性和函数展成幂级数nnnxa0,nnnaa1lim,1,0;,0;0 ,.RRR缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs
13、的性质1在收敛域I上连续 ; 2在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导 ; 3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变 , 收敛域可能变化 ).直接展开 : 泰勒级数间接展开 : 六个常用展开式11( 11)1nnxxx11 ()!xnnexxn22TTl10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxfdxxfa)(10nxdxxfancos)(1nxdxxfbnsin)(1收敛定理x是连续点 , 收敛于)(xf;x是间断点 , 收敛于)()(21xfxf周期延拓)(xf为奇函数，正弦级数，奇延拓；)(xf为偶函数，余弦级数、偶延拓. 交错级数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页