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1、北师版九年级上册第二章一元二次方程北师版九年级上册第二章一元二次方程康乐明德学校 胡春燕一元二次方程一元二次方程解法解法根的判别式：根的判别式：应用应用实际应用实际应用思想方法思想方法转化思想；整体思想转化思想；整体思想;24bac 直接开平方法直接开平方法配方法配方法公式法公式法因式分解法因式分解法2()0 x ab b222022bbxbxxc c2402bbacxa ()()0 xa xb知识结构知识结构定义：只含有一个未知数定义：只含有一个未知数 未知数的最高未知数的最高次数是二次整式方程二次项系数不为零次数是二次整式方程二次项系数不为零 若（若（m+2）x 2 +（m-2） x -2
2、=0是关于是关于x的一元二的一元二次方程则次方程则m 。例例1 下列方程中是关于下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）的一元二次方程的是（）A、 B、C、 D、0122xx02cbxax1)2)(1(xx052322yxyx一元二次方程的定义一元二次方程的定义【变式训练变式训练】221(1)50aaaxx【变式训练变式训练】例例2：已知方程：已知方程 是关于是关于x的一的一元二次方程，则元二次方程，则m 1223mxx 共同记一记共同记一记2. 2. 配方法配方法关键：方程的两边同加上一次项系数一半的平方关键：方程的两边同加上一次项系数一半的平方注意：如果二次项系数不是注意：如果二次项系数不
3、是1的要先把二次项系数转化为的要先把二次项系数转化为1 共同记一记共同记一记2. 2. 配方法配方法3. 3. 公式法公式法基本步骤：基本步骤：1. 把方程化成一元二次方程的一般形式把方程化成一元二次方程的一般形式2. 写出方程各项的系数写出方程各项的系数3. 计算出计算出b2-4ac的值，看的值，看b2-4ac的值与的值与0的关系，若的关系，若b2-4ac0，则此方程没有实数根，则此方程没有实数根 。4. 当当b2-4ac0时，时， 代入求根公式代入求根公式 计算出方程的值计算出方程的值 4402acaca22（-bbx=b） 共同记一记共同记一记2. 2. 配方法配方法3. 3. 公式法公
4、式法4. 4. 因式分解法因式分解法 利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解 例例3、下列方程应选用哪种方法、下列方程应选用哪种方法 (1) x(1) x2 2=0=0626x xx (2)(2)2310 xx 213x 2320 xx224xx(3)(4)(5)(6)三三.判别式判别式1.1.一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)根的情况：根的情况：(1)(1)当当0 0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；(2)(2)当当=0=0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；(3)
5、(3)当当0 0时，方程无实数根时，方程无实数根. .2.2.根据根的情况，也可以逆推出根据根的情况，也可以逆推出的情况，这方面的情况，这方面的知识主要用来求取值范围等问题的知识主要用来求取值范围等问题. . 共同记一记共同记一记 认真做一做认真做一做（1）有两个相等实根；（2）有两个不等实根；（6）有实根；（4）无实数根；（5）只有一个实数根；（3）有两个实数根。2123 0mxm x m m-10且且=0m-10且且00或者或者m-1=00且且m-10m-1=00且且m-10例例5.当当m为何值时，关于为何值时，关于x 的一的一元二次方程元二次方程 有两个相等的实根，此时这两有两个相等的实
6、根，此时这两个实数根是多少？个实数根是多少？21402xxm 认真想一想认真想一想5 、 如果关于如果关于x的一元二次的一元二次 方程方程 (a-1)x +ax+1=0的一个整数根的一个整数根恰好是关于恰好是关于x的方程的方程(m2+m)x2+3mx-3=0的一个根，的一个根， 试求试求a和和m的值。的值。a2+a6.用配方法证明：用配方法证明：关于关于x的方程的方程（m -12m +37）x +3mx+1=0，无，无论论m取何值，此方程都是一元二次方取何值，此方程都是一元二次方程程四：根与系数关系：如果方程四：根与系数关系：如果方程ax2+bx+c=0（a0）的两根分别为的两根分别为x1、x
7、2，则则abxxacxx21211、用配方法解方程、用配方法解方程2x +4x +1 =0，配方后得到的方程，配方后得到的方程是是 。2、一元二次方程、一元二次方程ax +bx +c =0，若若x=1是它的一个根，则是它的一个根，则a+b+c= ，若若a -b+c=0，则方程必有一根为，则方程必有一根为 。3、maamm是同类项，则与若9445925、方程、方程2 x -mx-m =0有一个根为有一个根为 1,则则m= ，另一个，另一个根为根为 。4.已知方程已知方程:5x2+kx-6=0的一个根是的一个根是2,则则k=_它的另一个根它的另一个根_.传染问题、传染问题、百分率问题、百分率问题、
8、营销问题、营销问题、面积问题面积问题四四.实际问题实际问题三、常见实际问题运用举例：（一） 变化率的题目 方法提示：增长率问题：设基数为增长率问题：设基数为a，平均增长率为，平均增长率为x，则一次增长后的值为则一次增长后的值为 ，二次增长后的值为，二次增长后的值为 降低率问题：若基数为降低率问题：若基数为a，平均降低率为，平均降低率为x，则一次降低后的值为，二次降低后的值为则一次降低后的值为，二次降低后的值为 巩固练习1、政府近几年下大力气降低药品价格、政府近几年下大力气降低药品价格,希望使广大人民群众希望使广大人民群众看得起病吃得起药看得起病吃得起药,某种针剂的单价由某种针剂的单价由100元
9、经过两次降价元经过两次降价,降降至至64元元,设平均每次下降的百分率为设平均每次下降的百分率为x，则可列方程，则可列方程（ ）.2、某商厦二月份的销售额为、某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了万元，三月份销售额下降了20%,该商厦赶快改进经营措施该商厦赶快改进经营措施,销售额开始稳步上升销售额开始稳步上升,五月份五月份销售额达到了销售额达到了135.2万元万元,设四、五月份的平均增长率为设四、五月份的平均增长率为x，则，则可列方程（可列方程（ ） a(1+x)a(1+x)2a(1-x)a(1-x)2100(1-X)=642100(1-20%)(1+x)=135.22拓展提高：拓
10、展提高：某超市某超市1月份的营业额为月份的营业额为200万元，万元，第一季度营业额为第一季度营业额为1000万元，若万元，若平均每月增长率相同，求该增长率。平均每月增长率相同，求该增长率。200+200(1+x)+200(1+x)=10002利利润润问问题题 某水果批发商场经销一种高档水果某水果批发商场经销一种高档水果, ,如果每千克如果每千克盈利盈利1010元元, ,每天可售出每天可售出500500千克千克, ,经市场调查发现经市场调查发现, ,在在进价不变的情况下进价不变的情况下, ,若每千克涨价若每千克涨价1 1元元, ,日销售量将日销售量将减少减少2020千克千克, ,现该商场要保证每
11、天盈利现该商场要保证每天盈利60006000元元, ,同时同时又让顾客得到实惠又让顾客得到实惠, ,那么每千克应涨价多少元那么每千克应涨价多少元? ?每千克的盈利每千克的盈利每天的销售量每天的销售量=每天的盈利每天的盈利解解: :设每千克应涨价设每千克应涨价x x元元. .由题意得由题意得: : (10+x)(500-20 x)=6000 (10+x)(500-20 x)=6000解得解得: x: x1 1=5,x=5,x2 2=10=10因为为了使顾客得到实惠因为为了使顾客得到实惠, ,所以所以x=5x=5答答: :每千克应涨价每千克应涨价5 5元元. .(10+x)(10+x)元元(500
12、-20 x)(500-20 x)千克千克60006000元元（二）几何问题（二）几何问题 方法提示：1)主要集中在几何图形的主要集中在几何图形的面积面积问题问题, 这类问题的这类问题的面积公式面积公式是等量关系是等量关系, 如果图形不规则应如果图形不规则应割割或或补补成规则图形成规则图形,找出各部分面积之间的关系找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出再运用规则图形的面积公式列出方程方程; 2)与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角与直角三角形有关的问题：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是边的平方和等于斜边的平方是 这类问题的等量关系，即用勾这类问题的等量关系，即用勾股
13、定理列方程。股定理列方程。巩固练习： 如图，一块长方形铁板，长是宽如图，一块长方形铁板，长是宽的的2倍，如果在倍，如果在4个角上截去边长为个角上截去边长为5cm的小正方形，的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是的盒子，盒子的容积是3000cm，求，求铁板的长和宽。铁板的长和宽。 面面积积问问题题 某中学有一块长为某中学有一块长为a a米米, ,宽为宽为b b米的矩形场地米的矩形场地, ,计计划在该场地上修筑宽是划在该场地上修筑宽是2 2米的两条互相垂直的道路米的两条互相垂直的道路, ,余下的四块矩形场地建成草坪余下的四块矩形场地建成草坪
14、. .(1)(1)如下图如下图, ,分别写出每条道路的面积分别写出每条道路的面积, ,用含用含a,ba,b的代的代数式表示数式表示; ;(2)(2)已知已知a:ba:b=2:1,=2:1,并且四块草坪的面积和为并且四块草坪的面积和为312312平方平方米米, ,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米? ?ab解解:(1):(1)横条道路的面积为横条道路的面积为2a2a平方米平方米, , 竖条道路的面积为竖条道路的面积为2b2b平方米平方米. .面面积积问问题题 某中学有一块长为某中学有一块长为a a米米, ,宽为宽为b b米的矩形场地米的矩形场地, ,计计划在
15、该场地上修筑宽是划在该场地上修筑宽是2 2米的两条互相垂直的道路米的两条互相垂直的道路, ,余下的四块矩形场地建成草坪余下的四块矩形场地建成草坪. .(1)(1)如下图如下图, ,分别写出每条道路的面积分别写出每条道路的面积, ,用含用含a,ba,b的代的代数式表示数式表示; ;(2)(2)已知已知a:ba:b=2:1,=2:1,并且四块草坪的面积和为并且四块草坪的面积和为312312平方平方米米, ,请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米? ?ab解解:(1):(1)横条道路的面积为横条道路的面积为2a2a平方米平方米, , 竖条道路的面积为竖条道路的面积为
16、2b2b平方米平方米. .(2)(2)设设b=xb=x米米, ,则则a=2xa=2x米米由题意得由题意得: : (x-2)(2x-2)=312 (x-2)(2x-2)=312解得解得: x: x1 1=14,x=14,x2 2=-11(=-11(不合不合, ,舍去舍去) )答答: :此矩形的长与宽各为此矩形的长与宽各为2828米米,14,14米米. .拓展提高：拓展提高： 在宽为在宽为20m, 长为长为32m的矩形地面上修的矩形地面上修筑同样宽的道路筑同样宽的道路,余下的部分种上草坪余下的部分种上草坪,要使草坪的面积为要使草坪的面积为540,求两种方案下的道求两种方案下的道路的宽分别为多少？路
17、的宽分别为多少？(32-2x)(20-x)=540(32-x)(20-x)=540w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w (1) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到180m2吗吗?w (2) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到200m2吗吗?w (3) 鸡场的面积能达到鸡场的面积能达到250m2吗吗?w 如果能如果能,请给出设计方案请给出设计方案;如果不能如果不能,请说明理由请说明理由.25m180m2w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的
18、养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w解解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm, 根据题意得根据题意得.180240 xx. 0360402xx即.10220;1022021xx240 x25mx180m2得解这个方程 ,.,2525204020102201舍去不合题意x.10220,180:2mm这时鸡场的长为鸡场的面积能达到答w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长
19、40m.w解解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为设养鸡场垂直于墙的一边为xm,w根据题意得根据题意得.180240 xx. 090202xx即.1010;101021xxx25m40-2x180m2得解这个方程,.,2510220240,10102舍去不合题意长时当xx.1010,180:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.200240 xx. 0100202xx即.1021 xxx25m40-2x200m2得解这个方程,
20、.10,200:2mm这时鸡场的宽为鸡场的面积能达到答w解解:(1)设养鸡场垂直于墙的一边为设养鸡场垂直于墙的一边为xm,根据题意得根据题意得w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.解解:(3)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm, 根据题意得根据题意得.250240 xx. 0500402xx即.这个方程无解240 x25mx250m2220100.x 负数是没有平方根的.250:2m鸡场的面积不能达到答240500 xx 2404005004
21、00 xx 这里要特别注意:在列一元二次方在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求是否符合实际问题的要求 列一元二次方程解应用题的步骤与列一元二次方程解应用题的步骤与 列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、设、列、解、检、答即审、设、列、解、检、答小结小结w 2. 某农场要建一个长方形的养鸡场某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙鸡场的一边靠墙(墙长墙长25m),另外三边用木栏围成另外三边用木栏围成,木栏长木栏长40m.w 解解:(2)解解:(1)设养鸡场的靠墙的一边长为设养鸡场的靠墙的一边长为xm, 根据题意得根据题意得.200240 xx. 0400402xx即.2021 xx240 x25mx200m2得解这个方程 ,.20,200:2mm这时鸡场的长为鸡场的面积能达到答 一元二次方程是中考数学卷的一元二次方程是中考数学卷的得分基础得分基础,