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1、数学大观教学大纲第一章 数学爱我们介绍课程指导思想： 展示数学的魅力与威力. 能力点 : 通过有招 ( 讲故事 ) 学无招 ( 思想 ), 无招( 思想 ) 指挥有招 ( 算法 ). 1.课程目标介绍本课程的学习目引起对数学的兴趣,减少对数学的仇恨, 对数学思想有所了解.强调 idea( 思想 ), 不追求 technique(算法细节 ). 标和指导思想2.数学爱我们无招 (idea) 胜有招 (technique),通过有招 ( 讲故事 ) 学无招 ( 思想方法 ). 故事 : 设计幻方 . 从文字幻方开始: 5行 5 列方格表中第一行填“我, 们, 爱, 数,学” , 以后每行仍是这 5
2、 个字的排列 , 每列、每条对角线也是. 将 5 个字换成0,1,2,3,4这 5 个不同数字 , 则每行每列每条对角线各数和相等。两张满足同样要求的不同的表, 第一张乘5 加第二张表 , 再同加 1 就得到 5 阶幻方 . 类似可得3 阶幻方 . 3.运算律巧算24 用 5,5,5,1经过加减乘除算24. 死凑难奏效 , 由 5x5-1=24 左边恒等变形得到正确等式 5x(5-1/5)=24. 能力点 : 运算律的应用 . 欧几里得由少数简单公理推出复杂丰富的几何学 . 代数学由更少数简单公理推出, 运算律就是代数公理。4.未知算已知算术应用题 : 大人小孩共100 人吃 100 个馒头
3、, 大人每人吃3 个, 小孩每 3 人吃 1 个,大人小孩各多少? 小学算术只能由已知算未知，所以很困难. 初中可以不需要知道大人小孩人数 , 只要各设为x,y, 就可由 x,y 算出总人数x+y=100 和馒头数3x+y/3=100. 为什么可以将已知未知混为一谈? 因为它们的算法相同. 而且运算律相同，因此可以对方程同解变形求出解来. 5.天上掉下余弦定理为什么不同数值a,b 满足同一个平方公式(a-b)2=a2+b2-2ab?因为它们满足同样的运算律 . a,b换成向量仍然满足同样的运算律, 平方公式仍然成立，这就是余弦定理, 当 a,b 垂直时 ab=0, 就是勾股定理. 还可以将a,
4、b 再换成 n 数组向量 , 也满足同样的运算律， 因此勾股定理可以推广到n 数组向量 . 余弦大于1 也可以推广， 就是柯西不等式 . 6.椭圆面积也简单名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 计算椭圆面积需要用到积分, 还要进行变量替换. 不过 , 只要将椭圆的半短轴b 拉长到与半长轴a 相等 , 将椭圆拉成圆, 就能由圆面积公式算出椭圆面积了. 怎样拉长? 将每个点 (x,y)的横坐标x 不变 , 纵坐标 y 乘
5、a/b, 椭圆就拉成半径为 a 的圆 , 面积变成 pa2. 拉长过程中面积扩大倍数为a/b, 再乘 b/a 压缩回去就得到椭圆面积pab. 还可由圆内接n 边形最大面积得到椭圆内接n 边形最大面积。第二章 七十二行任纵横 - 数学聊斋数学聊斋通过生活中的故事说明其中的数学原理、思想和方法. 音乐美术体育旅游餐饮，生活的方方面面都有数学，培养透过现象发现规律的能力, 理论联系实际的能力. 1.音调中的等比数列音阶 1,2,.,7,i中各音的频率怎么算? 从 1 到高八度的i, 频率 f 升高 1 倍到2f. 经过 12 个“台阶” ( 包括白键黑键), 共升高 12 个半音 , 频率组成等比数
6、列, 公比 q 等于 2 的 12 次方根 . 由等比数列通项公式可以算出各音的频率。这叫做十二平均律 . 还可利用计算机软件按照算出的频率将各个音播放出来，甚至可以组成乐曲,让你听听数学的美妙声音. 2.怎样模拟不同乐器的声音不同乐器发出的声音的不同音色由不同波形决定, 由不同频率f,2f,3f,.的正弦波(Ak)sin(kf+tk)按不同强弱 ( 由振幅 Ak 决定 ) 合成 . 改变各频率正弦波的强弱比例 (A1,A2,.,Ak,.),就改变了波形从而改变了音色. 将周期函数 (波) 分解为不同强弱比例的正弦波的合成, 数学上称为傅里叶级数. 3.美术中的数学课堂展示两张照片, 一张是地
7、面的平行队列在照片上相交, 另一张是台灯在墙上的光影边缘曲线 . 为什么地面上的平行线在照片上相交? 地面的图形到照片上图形的映射是以镜头为中心的中心投影. 研究中心投影的几何称为射影几何. 由于地面与照片不平行 ,平行线变成相交. 台灯由灯罩内发出的光束是圆锥，墙是平面， 光影边缘就是平面截圆锥得到的双曲线，也是灯罩下沿的圆在灯光下的中心投影. 4.佛光中的多媒体教学峨眉山最精彩也最难看到的景色是佛光。站在舍身崖悬崖往下看, 如果天上有太阳,崖下有云 ,云的高度合适， 出现彩色光环 , 就是佛光 . 如果云层太高或太矮, 都看不见佛光 . 但是，如果云从太矮连续上升到太高, 途中就有一点恰到
8、好处. 这就是数学上的连续函数介值定理. 一朵朵云连续往上升, 佛光一次次地出现， 象是普贤菩萨在进行多媒体教学 , 教学内容就是连续函数定理. 5.足球的圆与方名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 足球的胜负有偶然性，弱队可以战胜强队, 因此“足球是圆的”. 然而，偶然性不是没有规律 ,没有强弱 . 弱队战胜强队只是少数情形, 多数情形还是强队胜弱队, 可见“足球也是方的”. 我国的嫦娥号飞船登月, 专家在每一阶段都
9、预见了出现事故的概率, 采取措施努力防止事故，最后结果是百分之百成功. 如果一开始就认定百分之百没有问题 ,就增大了出事故的概率. 6.邯郸农行案邯郸农业银行两个工作人员挪用国家资金买体育彩票, 血本无归逃跑， 被抓回来判了死刑 . 临死之前还觉得买了很多张彩票连续不中奖“太令人意外” . 我由此想到如下数学题：假如中奖率10%,如下哪件事概率大：(1) 买一张就中奖. (2) 连续买 20张全不中 . 计算方法很简单, 结果也会“太令人意外”. 进一步计算 : 中奖率千分之一，连买2000 张不中奖 , 算出概率结果与e=2.71828.有关 , 也令人意外 . 7.行李箱密码失而复得一位同
10、事无意中把行李箱密码搞乱了, 问需要试多少次才能重新找回密码. 我说 , 你只是不小心搞乱， 一定改得不多 , 很可能只改一位, 只要试 30 次. 她试了 10 次就找回了 , 说原来密码是000， 改成 900 了 . 我说 : 看来不但只改一位, 很可能只改一格 （加1 或减 1) ，只要试6 次就行了 . 总之，离原来密码越近的概率越大,按照概率从大到小的顺序试验 , 反正不需要试1000 次 . 8.千手观音几只手重庆大足石刻千手观音真有近千只手, 姿态方向各异 , 难以排序数清. 古代一位工匠想了一个绝妙办法：每只手贴一张金箔纸, 同时在竹签桶里放一支竹签. 所有的手都贴上金箔纸了
11、 , 再数竹签有1007 支, 因此手有1007 只 . 工匠的方法就是建立一一对应：手与金箔一一对应，金箔与竹签一一对应，一一对应的集合元素一样多.由此可以讲整数集合与偶数集合及有理数集合一一对应，与实数集合不可能对应. 9.人挤成照片之维数变化与俄罗斯代数学家共进晚餐, 问他吃什么主食,rice or noodle. 他听不懂noodle,我解释 : noodle is 1-dimensional.立刻就懂了 . 重庆人描述公共汽车拥挤：把人都挤成照片了 . 三维挤成二维，体积挤成0. 代数课举这两个例子讲维数. 还用来讲行列式： 三阶行列式是平行六面体体积. 如果两列相等， 两条棱重合
12、, 也挤成照片， 行列式当然为0. 10. 几把尺子量乾坤平面向量虽然无穷多, 但可以写成两把尺子e1( 往东一米 ) 和 e2( 往北一米 ) 常数倍之和 a=xe1+ye2, 量出两个数组成坐标(x,y)代表 a. 因此是“两把尺子量天下”. 空间向量增加一把尺子e3(往上 1 米), 三把尺子量乾坤. 两把尺子量出2维空间 , 三把尺子量出三维空间. 兔子数列 ( 斐波那契数列) 可以分解为两个等比数列之和来求通项公式，两个等比数列作为两把尺子量兔子数列. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 -
13、- - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 11. 明星做广告与非欧几何明星做广告的产品有时候会被揭发为假冒伪劣. 明星或他们的代言人就会辩解. “明星不是万能的, 不可能鉴别这些产品，不应当承担责任。”但是, 当明星做广告的时候 , 为什么不说自己不是万能，反而努力让人相信自己万能，并且因“万能”而获得了巨额酬金，同理可证他们应当因“万能”而承担责任赔偿损失。这是最基本的逻辑。按照同样的逻辑，可以让你对深奥难懂的非欧几何有所理解。12. 非欧几何有矛盾吗欧几里得将复杂的几何归结为少数显然的公理。其中一条公理（平行公理）不够显然：平面上过已知直线a 外一
14、点 P只能作一条直线b 与 a 不相交。有人企图用反证法证明这个结论，假定过P有两条直线与a 不相交，推出了很多看似荒唐但并不矛盾的结论。没推出矛盾，不等于没有矛盾。终于证明了：只要欧氏几何无矛盾，非欧几何也无矛盾，二者同生同死。我们还用一首诗介绍了另一种非欧几何- 球面几何。第三章 凌波微步微积分1.加减乘除算正弦两首诗讲微分学. 一首诗微分说：“函数千千万万，一次最简单”. 举的例子是用一次函数x 近似代替sinx, 一次项 x 就是微分 , 一次项系数1 就是导数 . 其实就是用弦长 2sinx 近似代替弧长2x, 刘徽割圆早就做过的. 如果 x 比较大 , 就用更高次的多项式x-x3/
15、(3!)+x5/(5!)-.代替 sinx,靠升高次数减少误差，这就是泰勒展开诗所说：“我有乘除加减, 翱翔天地间”，多项式只算加减乘除。2.圆周率引出的积分学在区间 0,1上计算曲线y=(1-x2)1/2与 x 轴之间的面积 , 就是圆周率的1/4. 将区间 0,1 分成很多小段, 每小段上函数值近似看成不变, 这就是定积分诗说的“平平淡淡分秒”，加起来就得到高低不平的圆弧下方的面积，就是诗中所说“编制百味人生” .将函数看成速度，积分就是路程. 另一首诗“量天何必苦登高”说不必苦苦编制路程，而是找一个函数求导等于速度，就是原函数. 3.三次方程变一次把解三次方程x3+x-3=0 作为微积分
16、的导航. 能否将三次项x3 直接砍掉 , 变成一次方程 x-3=0 来求解 ? 想法近乎疯狂， 却有合理的成份：如果 |x|1 ，|x3| 比|x| 小得多, 就可以砍掉 . 发现 1XU 4.多项式逼近函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 第 3.1 节已经给出了多项式T(x) 逼近 sinx, 但没有讲 T(x) 怎样算出来 . 为了估计用x近似代替 sinx 的误差 e(x)=x-sinx,求导数 e(x)
17、=1-cosx=2sin(x/2)2x-x3/6. 由 sin(x/2)约等于 x/2 还可得sinx 约等于 x-x3/6. 对 x-sinx多次求导可得到更高次数的T(x). 5.舍近求远大智慧光的直线传播和反射定律都是走的路程最短的路线，折射却舍近求远，不走直线走折线 . 是不是光聪明一时糊涂一时, 遇到水就脑袋进水变傻了? 不然 , 光在空气中速度高 , 水中速度低 , 在速度高的空气中多走一段，速度低的水中少走一段, 多走了路程却节省了时间 . 怎样的路线最省时间? 列出算式求导 . 这是利用导数求最小值的经典例子 . 6.蜜蜂胜过数学家大自然万物争优各显神通. 光线选择最省时间的路
18、线，露珠形成表面积最小的球形，蜜蜂建造蜂房选择最省建筑材料的形状和角度. 列出函数式可以在容积不变的前提下求出表面积最小的角度，既可以用微分学求导,也可以用中学知识通过一元二次方程有实根的判别式来求最小值. 历史上数学家第一次算出来的答案与蜜蜂只差2 ,后来发现是数学家的数学用表不够准确差了2，蜜蜂完全正确. 第四章 代数与信息安全1.小学算术中的费马定理1/7 化成无限循环小数a=0.142857.的循环节 D=142857有奇妙的性质。分数1/p化成的小数“ a 是循环小数”描述为：小数点右移d 位得到的新的小数部分与移动之前相同，翻译为代数运算：10da-a=(10d-1)/p=D是整数
19、，也就是循环节。循环节长度 d 就是使 10d 被 p 除余 1 的最小正整数。 按照费马小定理，当素数 p 不整除10 时， 10p-1被 p 除余 1，循环节长度d 是 p-1 的因子。2.循环节中的群论在整数除以n 的 n 个余数 0,1,2,.,n-1组成的集合Z_n 中定义加减乘法： 按普通整数计算和差积之后再除以n 求余数。 1/n 循环节长度d 就是使 10d 的余数等于1的最小正整数。1/7 的循环节D=142857还有许多别的奇妙性质：D的 2,3,4,5,6倍都可以由D轮换出来，平均分成两段之和142+857=999 和三段之和14+28+57=99 都由 9 组成。这些性
20、质都可以通过Z_n 中的乘法性质得到解释。3.密码大战凯撒登场公元前古罗马将军凯撒发明过一种密码. 如果将字母表中26 个字母 a,b,c,.,z用前 26 个非负整数表示, 他的加密方法是将每个整数X变成 X+3再除以 26 求余数得到 Y,记作 YX+3.解密方法自然就是XY-3. 为了加强保密性, 可以采用更复杂的函名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 数, 例如 Y3X+5. 解密方法就应当将3XY-5 两边乘
21、某个整数消去3 得到 X.由9x3=271 知道乘 9 可以消去 ,得到解密函数X9(Y-5). 4.福尔摩斯破凯撒福尔摩斯侦探案中有一个破译密码的故事. 编制密码的人将每个英文字母用一种姿势的小人代表 . 不同姿势的小人代表不同的字母？小人的姿势可以有无穷多，怎么破译? 福尔摩斯的妙招是：统计哪一种姿势的小人出现得最多，这种小人就代表英文字母 e, 因为英文文章出现最多的字母是e. 然后再根据故事情景和上下文破译了其他字母 .虽然是小说创作，但这个破译原理是科学的. 5.公开的密码密码应当保密，岂能公开？但是，如果你希望很多素不相识的商人向你发信讨论商业合作业务，信件内容又希望保密，他怎样加
22、密才能让你读懂？除非你将加密方法向全社会公开，让每个人都能用这种方法加密之后给你发信，但是都不知道怎样解密, 只有你能够解密. 就好比你在公共场所设置一个信箱，每个人都能够将信扔进去，但都不能拿出来，只有你有钥匙能够打开门拿出来. 这就是公开密钥. 6.老祖宗留下解密法宝本课程介绍的公开密钥的保密原理是：求两个很大的素数p,q 的乘积 n=pq 很容易，要由 n 分解成 p,q 很难 . 向社会公布n 及一个正整数h, 加密方法是将明文分段用小于 n 的非负整数X代表 . 将其中每X的 h 次幂除以n 求余数 Y,各个 Y组成密文 . 大家都不能由Y算出 X,只有你能够求出另一个指数d， 将
23、Yd 除以 n 求余数得到X. 怎样求 d? 需要用到老祖宗欧几里得的辗转相除法. 7.指鹿为马之幼儿版- 纠错码有一位爸爸吹嘘他的两岁小孩博比认识所有的动物，而博比却在辨认画册上的动物时将长颈鹿、老虎、狮子分别认成马、猫和狗, 将黑猩猩认成“爸爸”。博比不认识长颈鹿、老虎、狮子、黑猩猩，就将自己认识的动物中与之最接近的马、狗、猫、爸爸 ( 人) 作为答案，其实是聪明的表现，现代通讯中为了预防信息传输时出错采用的纠错码，就是按博比这个原理设计的。8.0 与 1 的高等代数现代通讯普遍用0,1 两个数字组成的序列表示信息。如果将n 个数字组合出的全部2n 个不同序列都用来表示信息，出了错误就难以
24、辨认。信息传递即使出错也很错得很少。在 2n 个不同的序列只选出一部分作为合法序列来表示信息，让它们两两相差较远，一旦出错就出现非法序列，可以纠正回到与之最接近的合法序列。怎样设计这些合法序列，需要用到只有两个数字0,1 的线性代数，其中1+1=0。9.乾坤挪移之复数实现名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 高中数学强行颁布符号i 的平方等于 -1, 不解释什么东西与自己相乘得-1 。 地球绕太阳转，“乾坤大挪移”半年
25、转180 度就是乘 -1, 一季度转90 度就是 -1 的平方根，就是乘 i,i平方转两个90 度，就是乘 -1cos+isin, 它的 n 次方就是转n, 等于 cosn+isinn. 用代数算这个公式很繁, 用几何就很轻松，代数将几何功夫吸过来, 这是金庸小说的乾坤大挪移。10. 几何旋转指挥因式分解很多中学生误认为因式分解容易，其实很难。例如在有理数范围内分解x15-1 就很难。先在复数范围内分解为一次因子x-kk = cos(2k)/15+isin(2k)/15 依次是方程x15=1 的各个复数根， 称为单位根。 再将各个一次因子适当分组使每组的乘积是有理多项式。为此，需要研究各个单位根的周期d，kd =1 的最小正整数d. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -