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1、第章离散时间系统结构教学目的1掌握线性常系数差分方程的方框图表示；2掌握 IIR 系统、 FIR 系统的基本结构；3了解有限精度数值效应的概念，系数量化的影响，极限环的概念和产生原因。教学重点与难点重点：IIR 系统、FIR 系统的基本结构；难点：有限精度数值效应的概念， 系数量化的影响， 极限环的概念和产生原因。6.1 线性常系数差分方程的方框图表示时域离散系统或者网络一般用差分方程、单位脉冲响应以及系统函数进行描述。如果系统输入和输出服从N 阶差分方程：(6-1) 则系统函数 H(z)用下式表示：(6-2) 数字信号处理中有三种基本算法，即加法、乘法和移位，它们的方框图如图 7-1(a)所
2、示。三种基本算法的流图则如图6-1(b)所示。图 6-1 三种基本算法流图表示例 6-1 求差分方程yn=-d1yn-1+p0 xn+p1xn-1的结构图 . 解:其结构如图 6-2 所示.此结构图包含了这三种算法的各部分. MiiMiiinyainxbny00)()()(NiiiMiiizazbzXzYzH001)()()(a)(b)z1x(n)x(n1)x(n)x(n1)z 1x1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x1(n)x2(n)x1(n) x2(n)x(n)ax(n)ax(n)ax(n)a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -
3、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-2 例 6-1 的结构框图6.2 线性常系数差分方程的信号流图表示图 6-3 表示的是一种信号流图， 流图中每一个节点都用一个节点变量表示，输入 x(n) 称为输入节点变量， y(n)表示输出节点变量， w1(n), w2(n), w3(n)和 w4(n)也是节点变量。这些节点变量和其他节点变量之间的关系用下式表示：w1(n) =x(n)+aw3(n)w2(n) =w1(n)w3(n) =w2(n-1)w4(n) =b0w2(n)+b1w3(n)y(n)=w4(
4、n) 图 6.3 基本信号流图以上这些公式是用序列形式写的，也可以通过Z 变换写成下式：W1(z)=X(z)+aW3(z)W2(z)=W1(z)W3(z)=z-1W2(z)W4(z)=b0W2(z)+b1W3(z)Y(z)=W4(z) 从基本运算考虑，如果满足以下条件，则称为基本信号流图: (1) 信号流图中所有支路都是基本的，即支路增益是常数或者是 z-1;(2) 流图环路中必须存在延时支路;(3) 按照上面的条件可知， 图 6.3(a)所示的流图是基本流图，图中有一个环路， 环路增益是 az-1环路中有延时支路。 而图 6.3(b)不是基本信号流图， 因为它不是由基本支路组成的，也不能决定
5、一种例 6-2 求出图 6.4 信号流图的系统函数H(z)。图 6.4 例 6-2 图解 首先将各节点用变量表示，它们是w1(n)、 w2(n)和 w2(n) , 为x(n)b1ab0w1(n)w2(n)w4(n)y(n)(a)(b)y(n)x(n)H(z)w3(n)z1x(n)y(n)z1z 1b0b1b2w1w2w2a1a2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 29 页 - - - - - - - - - 简单起见，图中简化为 w1、 w2和 w2，它们分别
6、与其他节点变量之w1(n)= w2(n-1)将上式进行 Z 变换，得到：将上式进行联立求解，得到：当网络结构复杂时，上面利用节点变量方程联立求解的方法较麻烦。6.3 IIR 系统的基本结构6.3.1 直接型（型）一个 N 阶的 IIR 滤波器的输入输出关系可以用如式（6-1）所示的 N 阶的差分方程来描述。把式（6-1）重写如下：从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出 y(n)由两部分构成：第一部分x(n)的 M 阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，构成一个横向结构网络。第二部分是一个对输出 y(n)的 N 阶延时链的横向结构网络， 是由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，取M=
7、N 可得其结构图如图6-5。从图上可以看出，直接型结构需要 2N 个延时器和 2N+1 个乘法器。)()()()()()()()() 1()(202112122122nwbnwbnwbnynwanwanxnwnwnwn)()()()()()()()()()()()(20211212212212211zWbzWbzWbzYzWazWazXzWzWzzWzWzzW)(1)(221122110zXzazazbzbbzY2211221101)()()(zazazbzbbzXzYzHNiiMiiinyanxbny10)()1()()(0inxbMii)(0inyaNiiz1z1z1bN1bNb2b1b0
8、 x(n)x(n 1)x(n 2)x(n N)z1z1z1aN1aNa2a1y(n)y(n 1)y(n 2)y(n N)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-5 直接型结构直接型结构又称为正准型结构。由图6-5，直接型结构的系统函数 H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输入信号 x(n)先通过系统 H1(z)， 得到中间输出变量 y1(n)， 然后再把 y1(n)通过系统 H2(z)得到输出信号 y
9、(n)。 即式中, 对应的差分方程为 :对应的差分方程为假设所讨论的 IIR 数字滤波器是线性非时变系统，显然交换H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即若系统函数 H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N 时，其结构如图 6-6 所示。输入信号 x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量然后，将 y2(n)通过系统 H1(z)，得到系统的输出y(n) 结构图 6-6 中有两条完全相同的对中间变量y2(n)进行延迟的延时链，我们可以合并这两条延时链，得到如图 6-7 所示的直接型结构 （图中取 M=N） 。比较图 6-6和图 6-7可知: 直接型比直接型结构延时单元
10、少，用硬件实现可以节省寄存器， 比直接型经济； 若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。NiiiMiiizazbzHzHzH10211)()()(MiiizbzH01)(NiiiMiizazHinxbny120111)()()()()()(11nyinyanyNii)()()()()(1221zHzHzHzHzH)()()(122nxinyanyNii)()(02inybnyMiix(n)y(n)z1z1z1aN1aNa2a1z1z1z1bN1bNb2b1b0y2(n)y2(n1)y2(n2)y2(n N)名师资料总结 - -
11、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-6 直接型的变形结构图 6-7 直接型结构6.3.2 级联型若把式 (6-5)描述的 N 阶 IIR 滤波器的系统函数H(z)的分子和分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式(6-6) 式中： A 为常数， ci 和 di 分别表示 H(z)的零点和极点。由于H(z)的分子和分母都是实系数多项式， 而实系数多项式的根只有实根和共轭复根两种情况。 将每一对共轭零点 （极点）合并起来构成一
12、个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式， 如式(6-7)所示: (6-7) 式中：若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均采用前面介绍的直接型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如图 6-8 所示。图 6-8 级联型结构在级联型结构中， 每一个一阶网络只关系到滤波器的一个零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点。调整系数 0j、1j和2j只会影响滤波器的第j 对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数 1j和2j也只单独
13、调整了第 j 对极点。因此，与直接型结构相比，级联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算误差也比直接型小。6.6.3 并联型把传递函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可以得到x(n)y(n)z1z1z1aN1aNa2a1bN1bNb2b1b0NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1()1 (1)(KjjzHAzH1)()(2211221101)(zzzzzHjjjjjjx(n)y(n)z1z11121112101z1z11K2K1K2K0KA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
14、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 29 页 - - - - - - - - - 滤波器的并联型结构。当 N=M 时，展开式为和级联型结构的方法类似， 将上式中的共轭复根部分两两合并得到实系数的二阶网络，则有(6-8) 式中, N=E+2F。由式（ 6-8）知，滤波器可由E 个一阶网络、 F 个二阶网络和一个常数支路并联构成，其结构如图 6-9 所示。并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便， 而且当滤波器的阶数较高时， 部分分式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误差互不影响
15、，没有误差积累，因此比直接型和级联型误差稍小一点。图 6-9 并联型结构例 6.4 已知系统用下面差分方程描述：y(n)=0.9y(n-1)+0.8y(n-2)+x(n)-1.4x(n-1) 图 6-10 例 6.4 图解：可画出该例题直接型结构如图6.4(a)所示。也可以按照下面次序直接画出。先画反馈部分，即0.9y(n-1)+0.8y(n-2)，如图 6.4(b)所示; 再画直接通路部分，这里的延时支路要和反馈环路的延时支路共用，这样就得到最后的流图。 如果NiiiiNzdAAzHzHzHAzH102101)()()()(FiiiiiEiiizzzzpAAzH1221111011011)(
16、x(n)1 1z12 1z101111Fz12Fz10F1Fz1A1A0p1y(n)x(n)y(n)0.8z1z1d3d1d21.4(a)x(n)y(n)0.8z1z1(b)0.90.9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 29 页 - - - - - - - - - 熟悉梅逊公式， 则可以按照差分方程写出它的系统函数，根据系统函数直接画出结构。根据差分方程，该题系统函数为分析上式，反馈环路应该有两个，它们的增益分别是0.9z-1和 0.8z-2,没有互不接触的
17、回路，两个回路的延时支路相串联。分子部分表示有两个直通通路，直通通路的增益分别为1 和-1.4z-1支路 z-1和反馈回路的延时支路共用。这样可以直接画出网络结构如图 6.4(a)例 6.5 设 IIR 数字滤波器的系统函数H(z)解: 可以先将系统函数写成差分方程，再根据差分方程画网络结构，这里我们直接根据系统函数进行画图。分析它的系统函数，分子属于直通通路部分， 分母属于反馈环路部分，而且分母中z-1、 z-2、 z-3分别只有一个常系数，可以设计三个延时支路z-1串联 起来 ，形 成 三 个环路 ，三个回 路的 增 益 分别 是和，这里没有互不接触的回路。分子中的延时支路和分母中的延时支
18、路公用，具体是分子中的第2、 3、 4 项和分母中第 2、 3、 4 项分别公用，这样可以直接画出流图如图6-11所示。图 6-11 直接型网络例 6.6 设系统函数如下式：解 将上式中的分子部分和分母部分分别因式分解, 得到: 2118 .09.014 .11)(zzzzH321221814345121148)(zzzzzzzH2143,45zz381zy(n)z 1z 18 4x(n)11 21/8 3/45/4z 121213.01.0112.07.01)(zzzzzH11115 .016.014. 013.01)(zzzzzH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
19、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 29 页 - - - - - - - - - (6.9) 将上式写成下面形式 :式中这里 H1(z)和 H2(z)分别是 IIR 一阶网络，将它们进行级联, 得到级联型网络结构，如图6-12(a)所示。图 6-12 级联型网络观察(6.9)式, 还可以如下式这样进行分解：式中再画出流图如图 6-12(b)所示。图 6-12(a)的性质和图 6-12(b)的性质是一样的。例 6.7 设系统函数如下式：试画出它的级联型网络结构。解 上式中分子分母多项式的根分别有一个实根和一对共轭成对的虚
20、根， 将共轭成对的虚根放在一起， 形成一个具有实系数的二阶多项式，如下式：为了节省延时支路，将分子分母中的一阶多项式放在一起形成一个IIR 一阶网络，分子分母中的二阶多项式放在一起形成一个IIR 二阶)()(5.014.016.013 .01)(211111zHzHzzzzzH1121115 .014 .01)(,6.013 .01)(zzzHzzzHx(n)z1y(n)z10.30.60.40.5(a)x(n)z1y(n)z10.40.60.30.5(b)()(5.013.016 .014 .01)(4311111zHzHzzzzzH1141135.013.01)(,6.014.01)(zz
21、zHzzzH321321125.075.025.1121148)(zzzzzzzH2112115 .0125.0126. 524. 14379. 02)(zzzzzzzH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 29 页 - - - - - - - - - 网络，如下式 : 上式中的第一部分是IIR 一阶网络，它的系数决定一对零极点；第二部分是 IIR 二阶网络，它决定一对零点和一对极点。这两部分相互级联起来，构成 IIR 级联型网络结构，如图6.13所示。图 6.
22、13例 6.7 图(一) 图 6.14例 6.7 图(二) 当然, 也可以将系统函数写成下面形式：按照上式画出它的级联型结构如图6.14 所示。显然这种级联方式不如前面结构简单，它多用了一个延时支路。例 6.8 设系统函数如下式：解 首先将系统函数写成下式 :将分母进行因式分解，得到:再将上式展成部分分式，推导如下：2121115.01264.524.1425.01379.02)(zzzzzzzHx(n)z12y(n)z14z10.3790.251.240.55.264x(n)z12y(n)40.3790.5 1.24z1z10.25z15.26412121125.01264.524.145.
23、01379.02)(zzzzzzzH2113 .01 .017.01)(zzzzH3 .01.0)7.0()(2zzzzzH115.05. 06. 06.05.011126.011113)(112|5.07 .0|) 5.0()(1113|5 .07.0| )6.0()(5.06.0)5 .0)(6.0(7. 0)(zzzHzzzzzHCzzzzzHBzCzBzzzzzHzzzz)5.0)(6.0()7.0()(zzzzzH名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共
24、29 页 - - - - - - - - - 按照上式画出它的并联型结构图如图6.15所示。图 6.15例 6.8图例 6.9 假设系统函数如下式：解 将系统函数展成部分分式，得到：将上式中的每一部分画成直接型结构，再进行并联，最后得到IIR 并联型结构如图 6.16图 6.16 例 6.9 图6.4 转置形式转置步骤 : 反转各支路箭头方向交换输入输出汇节点与分支点交换同一种结构例: 转置直接I 型: 0.5x(n)z1y(n)0.6z11113112)5 .01(25.01)26.524.14(379. 02()(211211zzzzzzzH21115.0120165.01816)(zzz
25、zzHx(n)y(n)z 1z 11680.516 0.520z 1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 29 页 - - - - - - - - - 例 2. 直接 II 型的转置6 .18 直接 II 型6.5 FI R 滤波器的结构6.5.1 设 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度为 N，其传递函数和差分方程分别为: (6.10) (6.11) 根据式（6.10）或式（6.11）可直接画 9 出如图 6-19 所示的 FIR 滤波器的直接型结
26、构。由于该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位脉冲响应 h(n)的线性卷积来描述输出信号y(n)，所以 FIR 滤波器的直接型结构又称为卷积型结构，有时也称为横截型结构。10)()(NnnznhzH10)()()(Nmmnxmhnyz1x(n)h(0)h(1)z1h(2)h(N3)z1h(N2)z1h(N 1)y(n)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-19 FIR 的直接型结构6.5.2 级联型当需要控
27、制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实系数因子的形式：10122110)()()(NnMiiiinzazaaznhzH6.5.3 由频域采样定理可知，对有限长序列h(n)的 Z 变换 H(z)在单位圆上做N 点的等间隔采样， N 个频率采样值的离散傅里叶反变换所对应的时域信号hN(n)是原序列 h(n)以采样点数 N为周期进行周期延拓的结果，当N 大于等于原序列h(n)长度 M 时 hN(n)=h(n)，不会发生信号失真，此时H(z)可以用频域采样序列H(k)内插得到，内插公式如下：(6-13) 式中：k=0, 1, 2, , N-1 式(6-13)为实现 FIR 系统提供了另一种结
28、构。H(z)也可以重写为式中：显然， H(z)的第一部分 Hc(z)是一个由 N 阶延时单元组成的梳状滤波器，如图 6-21 所示。它在单位圆上有N 个等间隔的零点i=0, 1， 2, , N-1 x(n)y(n)z1z1a11a21a01z1z1a12a22a02z1z1a1Ma2Ma0M1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzHkNjezzHkH2)()(10)()(1)(NkkczHzHNzH11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNciNiNjiWez2x(n)yc(n) zNo|Hc(e j)|2 / N名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
29、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-21 梳状滤波器第二部分是由N 个一阶网络组成的并联结构，每个一阶网络在单位圆上有一个极点因此，H(z)的第二部分是一个有N 个极点的谐振网络。 这些极点正好与第一部分梳状滤波器的N 个零点相抵消，从而使H(z)在这些频率上的响应等于 H(k)。FIR 滤波器的频率采样型结构，如图6-22 所示。图 6-22 FIR 滤波器的频率采样型结构FIR 滤波器的频率采样型结构的主要优点：首先，它的系数H(k)直接就是滤波器在 =2k/N 处的响
30、应值，因此可以直接控制滤波器的响应；此外，只要滤波器的N 阶数相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分的结构完全相同，N 个一阶网络部分的结构也完全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此频率采样型结构便于标准化、模块化。但是该结构也有两个缺点：（1）该滤波器所有的系数H(k)和 WN-k 一般为复数，复数相乘运算实现起来较麻烦。（2） 系统稳定是靠位于单位圆上的N 个零极点对消来保证的，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外，造成零极点不能完全对消，影响系统的稳定性。为了克服上述缺点，对频率采样结构作以下修正。首先，单位圆上的所有零、 极点向内收缩到半径为r 的圆上，kNjkNke
31、WH2z1z1H(0)H(1)y(n)1 / Nz1H(N 1)z Nx(n)0NW1NW1NNW 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 29 页 - - - - - - - - - 这里 r 稍小于 1。此时 H(z)为(6-15) 式中， Hr(k)是在 r 圆上对 H(z)的 N 点等间隔采样之值。由于 r1，所以，可近似取 Hr(k)=H(k)。 因此(6-16) 根据 DFT 的共轭对称性，如果h(n)是实序列，则其离散傅里叶变换H(k)关于 N/2
32、 点共轭对称，即 H(k)=H*(N-k)。又因为，为了得到实系数，我们将Hk(z)和 HN-k(z)合并为一个二阶网络，记为 Hk(z) 式中: 该二阶网络是一个谐振频率为k=2k/N 的有限 Q 值的谐振器，其结构如图 6-23 所示。除了共轭复根外H(z)还有实根。当 N 为偶数时，有一对实根 z=r， 除二阶网络外尚有两个对应的一阶网络: 1011)(1)1()(NkkNrNNzrWkHNzrzH1011)(1)1()(NkkNNNzrWkHNzrzH)(*)(kNNkNWW2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWk
33、NHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk）（12,2,1Nk)(Re2)(Re210kNkkWkrHakHa12/101)2/()(1)0()(zrNHzHzrHzHN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-23 有限 Q 值的谐振器这时的 H(z)如式 6-17)，其结构如图 6-24 所示。图中 Hk(z), z=1, 2, , N/2-1 的结构如图6-23 所示。(6-17) 当 N 为奇数时，只有
34、一个实根z=r，对应于一个一阶网络H0(z)。这时的 H(z)为(6-18) 显然， N 等于奇数时的频率采样修正结构由一个一阶网络结构和(N-1)/2 个二阶网络结构组成。一般来说，当采样点数N 较大时，频率采样结构比较复杂，所需的乘法器和延时器比较多。 但在以下两种情况下， 使用频率采样结构比较经济。（1） 对于窄带滤波器， 其多数采样值 H(k)为零，谐振器柜中只剩下几个所需要的谐振器。 这时采用频率采样结构比直接型结构所用的乘法器少，当然存储器还是要比直接型用得多一些。（2）在需要同时使用很多并列的滤波器的情况下，这些并列的滤波器可以采用频率采样结构， 并且可以大家共用梳状滤波器和谐振
35、柜，只要将各谐振器的输出适当加权组合就能组成各个并列的滤波器。z1r2z1a0ka1kkNr2cos212/12/0)()()(1)1()(NkkNNNzHzHzHNzrzH2/)1(10)()(1)1()(NkkNNzHzHNzrzHy(n)zN r NH(0)1 / Nz 1H1(z)H2(z)HN / 21(z)rH(N / 2)z 1 r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-24 频率采样修正结构6
36、.5.5 快速卷积型根据圆周卷积和线性卷积的关系可知，两个长度为N 的序列的线性卷积，可以用这两个序列的2N-1 点的圆周卷积来实现。由FIR 滤波器的直接型结构：滤波器的输出信号y(n)是输入信号 x(n)和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷积。所以，对有限长序列x(n), 我们可以通过补零的方法延长x(n)和 h(n)序列，然后计算它们的圆周卷积，从而得到FIR 系统的输出y(n)。利用圆周卷积定理，采用FFT实现有限长序列 x(n)和 h(n)的线性卷积， 则可得到 FIR 滤波器的快速卷积结构，如图 6-25 所示。图中 LN+M-1, M 为 x(n)的长度。N 为h(n)的长度。图
37、 6-25 FIR 的快速卷积型结构对 x(n)为无限长的一般情况， 可用重叠相加法或重叠保留法实现FIR滤波器的快速卷积结构。例 6.10 设 FIR 网络系统函数如下式：H(z)=0.96+2z-1+2.8z-2+1.5z-3画出它的直接型结构和级联型结构图。解 这里系统函数 H(z)是一个 z 负幂多项式，没有反馈网络。它的单位脉冲响应h(n)h(n)=0.96(n)+2.0(n-1)+2.8(n-2)+1.5(n-3)。画出它的直接型网络结构图如图6-26(a)将 H(z)进行因式分解，得到：H(z)=(0.6+0.5z -1)(1.6+2z -1 +3z -2 ) 按照上式画出它的级
38、联型结构如图6-26(b)x(n)L 点FFTX(k)H(k)L 点FFTh(n)X(k) H(k)L 点IFFTy(n)z1z1z1x(n)0.60.51.623y(n)y(n)x(n)z 1z1z10.9622.81.5(a)(b)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图 6-26 例 6.10 图6.6 格形结构6.6.1 全零点(AZ)滤波器的格型结构系统函数nppnznazA)(1)(1结构图1z1z2K
39、1z1Kky0kef1kef2kefkefpkebp2keb1keb0keb1K2KpKpKkybkx1kefppKkefp1kebpkebppK1zKP反射系数图 6-27 AZ 系统的基本格形单元反射系数 Kp 的确定：根据系统函数，由高阶系数递推各低阶反射系数 Kp 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 29 页 - - - - - - - - - 6.2.2 全极点（ AP）滤波器的格型结构系统函数nppnznazAzH)(11)(1)(1结构图1z1
40、z1zkekxfpky1K1pK1pK1K0kef1kef2kefp1kefpkebp1kebp1keb0kebpKpK1zpKpK1kefpkefp1kebpkebpAP 系统的基本格型单元6.3.3 有极点和零点滤波器的格型结构系统函数结构图第p阶第p-1阶第1阶kypc1pc2pc1c0ckekxfp0kef1kef2kefp1kefpkebp1kebp1keb0keb2kebp) 1, 2, 1(1)()()(21piKipaKiaiappppp)()()()(0zAzBzAzbzHmmpm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
41、 - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 29 页 - - - - - - - - - 图中的方框是如下基本格型单元1zpKpK1kefpkefp1kebpkebp格型结构中 K , C 参数的确定1. K 参数利用 AZ 系统反射系数 Kp 的递推公式递推出2. 确定 cp ppbc3. 递推求出 c 参数1, 2, 1 , 0)(1pmmiaccbipmiimm6.7 有限精度数值效应概述数字系统，存储单元的容量有限。有限字长的影响，主要表现在以下三方面(1) 输入信号经 A/D 变换而产生的量化误差。(2) 滤波器的系数量化误差。(3) 运算误差。6.
42、7.1 数的表示方法 :定点二进制数 x 有原码、反码和补码三种表示形式若 x=0.X1 X2 Xb，则其原码、反码和补码分别定义为：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 29 页 - - - - - - - - - 01. 1110.02121xXXXxxXXXxxbb原01.1110.02121xXXXxxXXXxxbb反01210 xxxxx补理论上十进制数可用无穷多位二进制数表示102nnnx实际中，只能用有限位近似表示(b+1)位)，这种过程称为量化
43、。6.7.2 量化及量化误差截尾量化舍入量化qq2q2q3q4q3qq2q3q4qq2q3q4qxQ xqq2q2q3q4q3qq2q3q4qq2q3q4qxQx截掉 b 位后数据视 b+1 位后数据的大小决定 b 位数据的值bnnnxQ102符号位有效数字位名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 29 页 - - - - - - - - - 截尾误差xxQET正数和补码负数截尾误差范围为0TEqbq2原码负数和反码负数截尾误差范围为qET0舍入误差范围22qE
44、qR区别：舍入误差对称分布，截尾误差单极性分布。6.8 系数量化的影响设系统只有单极点，理想DF 的系统函数可表示为NrrMkkkNkkkMkkkzpzbzazbzAzBzH11010)1 (1)()()(因字长有限，滤波器系数ak、bk 量化后将产生误差1. 系统的实际频响与所要求的频响出现偏差。2. 系统函数零极点的实际位置也与设计位置不同。严重时，使系统失去稳定。6.8.1 IIR 系数量化效应ak量化后的值量化后极点位置为了保持稳定，设极点在单位圆内接近z=1 Nkaaakkk, 1,?011kkNkkkzazaNkkkaa11名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -
45、- - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 29 页 - - - - - - - - - 保持稳定性的 IIR DF 系数的最小字长将系数量化误差所造成的零、 极点位置误差作为对系数量化灵敏度的度量。位置误差量化后极点第 r 个极点对第 k 个系数变化的敏感度pr/ ak越大，ak对pr的影响越大，反之亦然。极点彼此之间距离越远，极点位置灵敏度就越低极点彼此越密集，极点位置灵敏度就越高对级联或并联型， 每个子系统最多只有两个共轭极点，故对系数量化影响较小。6.8.2 FIR 系数量化效应系数量化只影响零点，不涉及稳定性问题
46、，但会影响频率特性。若要求频响误差为E(ej)，则所需字长为)1(22maxbkkqaaNrppprrr, 1,?kkrNkraapp1NrlllrkNrNrllrlrkrpzrkkrppppppppzDazDapr1111)()1()()(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 29 页 - - - - - - - - - )1(2)1(2) 1()(bjNqNeE实际中，需要在估计字长的基础上加上34位6.9 数字滤波器中舍入噪声的影响?问题的提出?量化误差
47、统计假设?信噪比和字长的关系模拟信号经过 A/D 转换为 b 位数字信号，即 ?kekxkx分析 A/D 转换器的量化效应目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。6.9.1 ek统计假设1) ek是平稳随机序列2) ek 是白噪声，且 ek1和 ek2不相关3) ek和 xk不相关4) ek等概率分布舍入量化误差的概率密度函数曲线6.9.2 信噪比和字长的关系信号 xk的平均功率为量化误差方差输入信号的信噪比SNR 为精确抽样值kekePq12q2q02x12222qkeEedB)(10log1079.1002.610log10222xexbSNR名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
48、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 29 页 - - - - - - - - - 字长增加一位， SNR 增加 6db6.9.3 IIR DF 乘积量化误差的统计分析乘积的舍入用噪声源ek表示，对其做如下假设：1) 各噪声源均为白噪声序列；2) 各噪声源统计独立，互不相关；3) 在量化噪声范围内，各噪声源都视为等概率密度分布。直接 I 型结构乘积量化误差分析单个噪声源方差122220qkeEixkb0b1b2bMa1aNa2z1z1z1z1z1z1e0 ke1 ke2 keM keM+1keM+2ke
49、M +Nk?ky直接 I 型结构乘积量化误差单个噪声源模型直接 I 型结构乘积量化误差分析联合噪声方差xkb0b1b2bMa1aNa2z1z1z1z1z1z1ek?ky直接 I 型结构乘积量化误差联合噪声源模型12)1(222qNMkeEe名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 29 页 - - - - - - - - - 直接 I 型结构乘积量化误差分析ek通过系统的平均噪声功率dzzzHzHjqNMeeCv1122)()(2112)1(ek所通过系统的系统函
50、数He(z)=1/A(z) 直接 II 型结构乘积量化误差分析xkaNz1eM+NkeMkz1z1?kya1a2eM+2keM+1kb0b1b2bMe0ke1ke2k直接 II 型结构乘积量化误差单个噪声源模型直接 II 型结构乘积量化误差分析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 29 页 - - - - - - - - - xkb0b1b2bMa1aNa2z1z1z1eak ?kyebk直接 II 型结构乘积量化误差联合噪声源模型eak和 ebk通过系统的输