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1、直线的参数方程直线的参数方程2022年年7月月22日星期五日星期五请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:112121yyxxyyxx点斜式:00()yyk xxykxb1xyab一般式:0AxByCk 2121yyxxtan000问题：已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.解:00tan()yyxx直线的普通方程为00sin()cosyyxx把它变成00sincosyyxx进一步整理，得：, t令该比例式的比值为 即00sincosyyxxt0cos(sinttyyt0 x=x整理，得到是参数）要注意:, 都是常数,t才是参数0 x0y000问题：
2、已知一条直线过点M (x ,y )，倾斜角 ， 求这条直线的方程.M0(x0,y0)M(x,y)e(cos ,sin )0M M xOy解:在直线上任取一点M(x,y),则00, )()x yxy（00(,)xxyyel设 是直线 的单位方向向量，则(cos ,sin)e00/ ,M MetRM Mte 因为所以存在实数使即00(,)(cos,sin)xxyyt所以00cos ,sinxxtyyt00cos ,sinxxtyyt即，00cossinxxttyyt所以，该直线的参数方程为（ 为参数）0,M Mtelt 由你能得到直线 的参数方程中参数 的几何意义吗？|t|=|M0M|xyOM0M
3、e解:0M Mte 0M Mte 1ee又是单位向量，0M Mt e t所以所以, ,直线参数方程中直线参数方程中参数参数t t的绝对值等于直的绝对值等于直线上动点线上动点M M到定点到定点M M0 0的的距离距离. .这就是这就是t的几何的几何意义意义,要牢记要牢记el我们知道 是直线 的单位方向向量，那么它的方向应该是向上还是向下的？还是有时向上有时向下呢？?分析: 是直线的倾斜角， 当0 0又sin 表示e的纵坐标， e的纵坐标都大于0那么e的终点就会都在第一，二象限， e的方向就总会向上。0M M 此时,若t0,则 的方向向上;若t0,则 的点方向向下; 若t=0,则M与点 M0重合.
4、0M M 0M M 我们是否可以根据t的值来确定向量的方向呢?0M M 21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。分析:3.点M是否在直线上1.用普通方程去解还是用参数方程去解;2.分别如何解.例1ABM(-1,2)xyO21.:10l xyyx 例 已知直线与抛物线交于A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积。例1ABM(-1,2)xyO解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.(2sintyt3x=-1+tcos4为参数）34所以直线的参数方程可以写成易知直线
5、的倾斜角为34212(222xttyt 即为参数）把它代入抛物线y=x2的方程,得2220tt1221021022tt解得，t由参数 的几何意义得1210ttAB121 22MAMBttt tABM(-1,2)xyO探究12121212( ), .(1)2yf xM Mt tM MM MMt直线与曲线交于两点，对应的参数分别为曲线的弦的长是多少？（ ）线段的中点对应的参数 的值是多少？121212(1)(2)2M Mttttt0cos1.(sinttyytaA012x=x直线为参数）上有参数分别为t 和t 对应的两点 和B,则A,B两点的距离为2t1A.t12.B tt12.C tt12.D
6、tt2cos2(sin,xattybtt2。在参数方程为参数）所表示的曲线上有B,C两点，它们对应的参数值分别为t 、则线段BC的中点M对应的参数值是（ ）22t1tA.12.2ttB2|2t1|tC.12|.2ttD1123.(3520,xttyt 一条直线的参数方程是为参数），另一条直线的方程是x-y-2 3则两直线的交点与点（1，-5）间的距离是4 34.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处,求点M的轨迹的参数方程.32(41xttyt为参数）(415ttyt 3x=2+5为参数）cos
7、42cos5.(sin2sin(xtxtytay直线为参数）与圆为参数）相切，则直线倾斜角 为( )56A. 或63.44B或2.33C或5.66D或2246.(410 xattxyxybt 如直线为参数）与曲线相切，则这条直线的倾斜角等于233或sin2031(cos20ooxttyt 。直线为参数）的倾斜角是.20oA.70oB.110oC.160oD辨析:例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.解:1 9(1 12xttyt 为参数）请思考请思考:此时的此时的t有没有明确的几有没有明确的几何意义何意义?没有重要结论:直线的参数方程可以写成这样的形式直线的参数方程可以写成这样的形式:220221cos ,sin .1abtM Mababt 当时， 有明确的几何意义，它表示此时我们可以认为为倾斜角。当时， 没有明确的几何意义。00(xxattyybt为参数）小结:1.直线参数方程2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.3.注意向量工具的使用.0cos(sinttyyt0 x=x是参数）探究探究:直线的直线的参数方程形参数方程形式是不是唯式是不是唯一的一的|t|=|M0M|00(xxattyybt为参数）221abt当时，才具有此几何意义其它情况不能用。