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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date离散数学形成性考核作业离散数学形成性考核作业离散数学图论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是图论部分的综合练习。一、单项选择题1设图G的邻接矩阵为则G的边数为( )A6 B
2、5 C4 D32已知图G的邻接矩阵为 ，则G有（ ） A5点，8边 B6点，7边 C6点，8边 D5点，7边ooooocabedof图一3设图G，则下列结论成立的是 ( )Adeg(V)=2E Bdeg(V)=EC D4图G如图一所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, d)是割边B(a, d)是割边 图二C(d, e)是割边D(a, d) ,(a, c)是边割集5如图二所示，以下说法正确的是 ( )Ae是割点 Ba, e是点割集Cb, e是点割集 Dd是点割集6如图三所示，以下说法正确的是 ( ) A(a, e)是割边 B(a, e)是边割集C(a, e) ,(b, c)是边割集 D(d,
3、e)是边割集 图三7设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图四所示，则下列结论成立的是 ( ) 图四 A（a）是强连通的 B（b）是强连通的C（c）是强连通的 D（d）是强连通的应该填写：D 8设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当（ ）时，K中存在欧拉回路Am为奇数 Bn为偶数 Cn为奇数 Dm为偶数9设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )Aev2 Bve2 Cev2 Dev210无向图G存在欧拉通路，当且仅当( )AG中所有结点的度数全为偶数 BG中至多有两个奇数度结点CG连通且所有结点的度数全为偶数DG连通且至多有两个奇数度结点11设G是有n个结点，m条边的连通
4、图，必须删去G的( )条边，才能确定G的一棵生成树A B C D12无向简单图G是棵树，当且仅当( )AG连通且边数比结点数少1 BG连通且结点数比边数少1CG的边数比结点数少1 DG中没有回路二、填空题1已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 ooooocabedof图四2设给定图G(如图四所示)，则图G的点割集是 3若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S，在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W，则S中结点数|S|与W满足的关系式为 4无向图G存在欧拉回路，当且仅当G连通且 5设有向图D为欧拉图，则图D中每个结点的入度
5、应该填写：等于出度6设完全图K有n个结点(n2)，m条边，当 时，K中存在欧拉回路7设G是连通平面图，v, e, r分别表示G的结点数，边数和面数，则v，e和r满足的关系式 8设连通平面图G的结点数为5，边数为6，则面数为 9结点数v与边数e满足 关系的无向连通图就是树10设图G是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G中删去 条边后使之变成树11已知一棵无向树T中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T的树叶数为 12设G是有6个结点，8条边的连通图，则从G中删去 条边，可以确定图G的一棵生成树13给定一个序列集合000，001，01，10，0，若去掉其中的元素 ，则该序列集合
6、构成前缀码三、判断说明题1如图六所示的图G存在一条欧拉回路v1v2v3v5v4dbacefghn图六 2给定两个图G1，G2（如图七所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路v1v2v3v4v5v6ooooov5v1v2v4v6ov3图八 图七3判别图G(如图八所示)是不是平面图，并说明理由4设G是一个有6个结点14条边的连通图，则G为平面图四、计算题1设图G=，其中V=a1, a2, a3, a4, a5,E=，（1）试给出G的图形表示；（2）求G的邻接矩阵；（3）判断图G是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？2设图G=，V= v1，v2，
7、v3，v4，v5，E= (v1, v2)，(v1, v3)，(v2, v3)，(v2, v4)，(v3, v4)，(v3, v5)，(v4, v5) ，试（1）画出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（2）求出每个结点的度数； （4）画出图G的补图的图形3设G=，V= v1，v2，v3，v4，v5，E= (v1,v3)，(v2,v3)，(v2,v4)，(v3,v4)，(v3,v5)，(v4,v5) ，试（1）给出G的图形表示； （2）写出其邻接矩阵；（3）求出每个结点的度数； （4）画出其补图的图形4图G=，其中V= a, b, c, d, e，E= (a, b), (a, c), (a,
8、e), (b, d), (b, e), (c, e), (c, d), (d, e) ，对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5，试（1）画出G的图形； （2）写出G的邻接矩阵；（3）求出G权最小的生成树及其权值5设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值6画一棵带权为1, 2, 2, 3, 4的最优二叉树,计算它的权五、证明题1若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的2设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于2的奇数证明图G与它的补图中的奇数度顶点个数相等 3设连通图G有k个奇数度的结点，证
9、明在图G中至少要添加条边才能使其成为欧拉图参考解答一、单项选择题1B 2D 3C 4C 5A 6D 7D 8C 9A 10D 11A 12A二、填空题115 2f，c，e 3W|S|4所有结点的度数全为偶数 5等于出度6n为奇数 7v-e+r =2 83 9e=v-1 104 115123 130三、判断说明题 1解：正确 因为图G为连通的，且其中每个顶点的度数为偶数 2解：（1）图G1是欧拉图 因为图G1中每个结点的度数都是偶数图G2是汉密尔顿图因为图G2存在一条汉密尔顿回路（不惟一）： a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c,
10、 a)a问题：请大家想一想，为什么图G1不是汉密尔顿图，图G2不是欧拉图。（2）图G1的欧拉回路为：（不惟一）：ooooov5v1v2v4v6ov3图九v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v13解：图G是平面图因为只要把结点v2与v6的连线(v2, v6)拽到结点v1的外面，把把结点v3与v6的连线(v3, v6)拽到结点v4, v5的外面，就得到一个平面图，如图九所示 4解：错误 不满足“设G是一个有v个结点e条边的连通简单平面图，若v3，则e3
11、v-6”四、计算题1oooooa1a2a3a4a5解：（1）图G是有向图： （2）邻接矩阵如下：（3）图G是单侧连通图，也是弱连通图 2v1v2v3v4v5ooooo解：（1）图G如图十 （2）邻接矩阵为 图十 （3）deg(v1)=2 deg(v2)=3v1v2v3v4v5ooooodeg(v3)=4deg(v4)=3deg(v5)=2 （4）补图如图十一 图十一3解：（1）G的图形如图十二 （2）邻接矩阵： 图十二 （3）v1，v2，v3，v4，v5结点的度数依次为1，2，4，3，2 （4）补图如图十三： 图十三4解：（1）G的图形表示如图十四： 图十四（2）邻接矩阵： （3）粗线表示最小
12、的生成树，如图十五 如图十五最小的生成树的权为1+1+2+3=7： 5解：（1）最优二叉树如图十六所示：ooooooooo3271355111734oo1602910ooo231942oo17o24o5331ooo9565方法（Huffman）：从2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选2,3为最低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5,5,7,11,13,17,19,23,29,31； 再从5,5,7,11,13,17,19,23,29,31中选5,5为倒数第2层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即7,10,11,13,17,19,23,29,31；然后
13、，从7,10,11,13,17,19,23,29,31中选7,10和11,13为倒数第3层结点，并从 如图十六上述数列中删去，再添上他们的和数，即17,17,24,19,23,29,31； （2）权值为：26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312 =12+18+25+28+44+52+51+57+69+87+62=5056ooooooooo1223347512解：最优二叉树如图十七 如图十七它的权为：13+23+22+32+42=27五、证明题1证明：用反证法设G中的两个奇数度结点分别为u和v假设u和v不连通，即它们之间无任何通路，则G至少有两个连通分支G1
14、，G2，且u和v分别属于G1和G2，于是G1和G2各含有一个奇数度结点这与定理3.1.2的推论矛盾因而u和v一定是连通的2证明：设，则是由n阶无向完全图的边删去E所得到的所以对于任意结点，u在G和中的度数之和等于u在中的度数由于n是大于等于2的奇数，从而的每个结点都是偶数度的（度），于是若在G中是奇数度结点，则它在中也是奇数度结点故图G与它的补图中的奇数度结点个数相等 3证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图-