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1、精选优质文档-倾情为你奉上2016-2017学年河北省石家庄一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=x|x23x+2=0，B=x|x=2，A，则集合U（AB）=（）A2，4B1，3，5C1，2，4D3，52（5分）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D353（5分）有一个袋子中装有标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的
2、概率是（）ABCD4（5分）样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）A1B1C2D5（5分）设b、c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A若b，c，则bcB若b，bc，则cC若c，则cD若c，c，则6（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A8B6C4D27（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C
3、则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D158（5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（ab0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）ABCD9（5分）将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（）ABCD10（5分）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判断框内可填入的条件是（）AsBsCsDs11（5分）函数y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2，最小值1，则实数（ab）2的值为（）A1B8C9D212（5分）如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的
4、一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A4B2CD二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为 类别老年教师中年教师青年教师合计人数90018001600430014（5分）若命题“xR，使得x2+（a1）x+10”为假命题，则实数a的范围 15（5分）已知数列an的前n项和Sn=n2+kn（kN），且Sn的最大值为8，则a2= 16（5分）若抛物线C：y=ax21（a0）上有不同两点关于直
5、线l：y+x=0对称，则实数a的取值范围是 三、解答题：本大题共6小题，共70分请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长18（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0
6、，0.5），0.5，1），4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求直方图中a的值；（）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由19（12分）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项求数列an的通项公式；设bn=anlog2an，求数列bn的前n项和Sn20（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
7、（）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：相关系数r= 回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=21（12分）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值22（12分）已知椭圆+=1（ab0）的左右焦点F1、F2，离心率为，双曲线方程为=1（a0，b0），直线x=2与双曲线的交点为A、B
8、，且|AB|=（）求椭圆与双曲线的方程；（）过点F2的直线l与椭圆交于M、N两点，交双曲线与P、Q两点，当F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，求F1PQ的面积2016-2017学年河北省石家庄一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）（2016秋石家庄期中）已知全集U=1，2，3，4，5，集合A=x|x23x+2=0，B=x|x=2，A，则集合U（AB）=（）A2，4B1，3，5C1，2，4D3，5【分析】化简集合A，B，求得A，B的并集，再求补集即可【解
9、答】解：全集U=1，2，3，4，5，集合A=x|x23x+2=0=1，2，B=x|x=2，A=2，4，AB=1，2，4，U（AB）=3，5故选：D2（5分）（2010大纲版）如果等差数列an中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+a7=（）A14B21C28D35【分析】由等差数列的性质求解【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，a1+a2+a7=7a4=28故选C3（5分）（2016秋石家庄期中）有一个袋子中装有标注数字1，2，3，4的四个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为5的概率是（）ABCD【分析】典型的古典概型考
10、题，弄清基本事件的个数即可正确求解【解答】解：任取两球，共有6种等可能的结果：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），而数字之和为5的共有2种：（1，4），（2，3），所以数字之和为5的概率为P=，故选：D4（5分）（2016秋石家庄期中）样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均值为1，则样本方差为（）A1B1C2D【分析】根据平均数公式先求出a，再计算方差【解答】解：设丢失的数据为a，则这组数据的平均数是（a+0+1+2+3）5=1，解得a=1，根据方差计算公式得s2=（11）2+（01）2+（11）2+（21）2+（3
11、1）2=2故选：C5（5分）（2014漳州模拟）设b、c表示两条直线，表示两个平面，则下列命题是真命题的是（）A若b，c，则bcB若b，bc，则cC若c，则cD若c，c，则【分析】由题设条件，对四个选项逐一判断即可，A选项用线线平行的条件进行判断；B选项用线面平行的条件判断；C选项用线面垂直的条件进行判断；D选项用面面垂直的条件进行判断，【解答】解：A选项不正确，因为线面平行，面中的线与此线的关系是平行或者异面；B选项不正确，因为与面中一线平行的直线与此面的关系可能是在面内或者与面平行；C选项不正确，因为两面垂直，与其中一面平行的直线与另一面的关系可能是平行，在面内也可能垂直；D选项正确，因为
12、线与面平行，线垂直于另一面，可证得两面垂直故选D6（5分）（2012秋麻栗坡县校级期末）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A8B6C4D2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=8，k=3，当k=3时，不满足进行循环的条件，故输出结果为：8故选：A7（5分）（2012山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，960，分组后在第一
13、组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9抽到的32人中，编号落入区间1，450的人做问卷A，编号落入区间451，750的人做问卷B，其余的人做问卷C则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A7B9C10D15【分析】由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，求得此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21，由45130n21750 求得正整数n的个数【解答】解：96032=30，故由题意可得抽到的号码构成以9为首项、以30为公差的等差数列，且此等差数列的通项公式为an=9+（n1）30=30n21由 45130n21750 解得 15.7n25.7再由n为正整数可得 16
14、n25，且 nz，故做问卷B的人数为10，故选：C8（5分）（2015陕西校级模拟）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（ab0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）ABCD【分析】根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（ab0）的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率【解答】解：双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（ab0）的焦点与顶点，双曲线的顶点是（0，），焦点是（0，a），设双曲线方程为（m0，n0），双曲线的渐近线方程为y=x，m=，
15、n2=a2m2=b2，n=b，双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，双曲线的渐近线方程为y=x，m=n，a2b2=b2，c2=a2c2，a2=2c2，a=ce=故选：C9（5分）（2016秋张家口期末）将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米的概率为（）ABCD【分析】将一条5米长的绳子随机的切断为两段，则两段绳子都不短于1米，即在距离两端分别至少为1米，关键几何概型公式可得【解答】解：由题意，只要在距离两端分别至少为1米处剪断，满足题意的位置由3米，由几何概型公式得到所求概率为；故选B10（5分）（2014重庆）执行如图所示的程序框图，若输出k的值为6，则判
16、断框内可填入的条件是（）AsBsCsDs【分析】程序运行的S=，根据输出k的值，确定S的值，从而可得判断框的条件【解答】解：由程序框图知：程序运行的S=，输出的k=6，S=，判断框的条件是S，故选：C11（5分）（2016秋石家庄期中）函数y=（acosx+bsinx）cosx有最大值2，最小值1，则实数（ab）2的值为（）A1B8C9D2【分析】运用二倍角的正弦公式和余弦公式和辅助角公式，结合正弦函数的值域，可得最值，解方程可得a，b，进而得到所求值【解答】解：函数y=（acosx+bsinx）cosx=a+=+（acos2x+bsin2x）=+sin（2x+）（为辅助角），则f（x）的最大
17、值为+，最小值为，由题意可得+=2，且=1，解得a=1，b=2，则（ab）2=（2）2=8故选：B12（5分）（2011广州一模）如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，另一端点N在正方形ABCD内运动，则MN的中点的轨迹的面积为（）A4B2CD【分析】根据题意，连接N点与D点，得到一个直角三角形NMD，P为斜边MN的中点，所以|PD|的长度不变，进而得到点P的轨迹是球面的一部分【解答】解：如图可得，端点N在正方形ABCD内运动，连接N点与D点，由ND，DM，MN构成一个直角三角形，设P为MN的中点，根据直角三角形斜边上的中线长度为
18、斜边的一半可得不论MDN如何变化，P点到D点的距离始终等于1故P点的轨迹是一个以D为中心，半径为1的球的球面积 所以答案为，故选D二、非选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2016秋石家庄期中）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为180类别老年教师中年教师青年教师合计人数900180016004300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，即可得出结论【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为900：1600=9：16，因为青年教师有320人，所
19、以老年教师有180人，故答案为：18014（5分）（2013盐城校级三模）若命题“xR，使得x2+（a1）x+10”为假命题，则实数a的范围（1，3）【分析】不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“xR，使得x2+（a1）x+10”，则相应二次方程有实根求出a的范围，然后求解命题“xR，使得x2+（a1）x+10”为假命题，实数a的范围【解答】解：“xR，使得x2+（a1）x+10x2+（a1）x+1=0有两个实根=（a1）240a1，a3，所以命题“xR，使得x2+（a1）x+10”为假命题，则实数a的范围（1，3）故答案为：（1，3）15（5分）（2013徐州模拟）已知数列an的前n项和S
20、n=n2+kn（kN），且Sn的最大值为8，则a2=【分析】利用二次函数的单调性可得k，再利用递推式即可得出a2【解答】解：前n项和Sn=n2+kn=（nk）2+，当n=k时，Sn取得最大值=8，kN*，解得k=4Sn=+4n，a2=S2S1=故答案为：16（5分）若抛物线C：y=ax21（a0）上有不同两点关于直线l：y+x=0对称，则实数a的取值范围是（，+）【分析】可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，可得方程组，有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围【解答
21、】解：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，有两组不同的实数解，即得方程ax2x（1+b）=0有两个解=1+4a（1+b）0x1+x2=，由中点坐标公式可得，x0=，y0=x0+b=+bM在直线L上，0=x0+y0=+b，即b=，代入解得a故实数a的取值范围（，+）故答案为：（，+）三、解答题：本大题共6小题，共70分请将解答过程书写在答题纸上，并写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）（2016新课标）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（aco
22、sB+bcosA）=c（）求C；（）若c=，ABC的面积为，求ABC的周长【分析】（）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求ABC的周长【解答】解：（）在ABC中，0C，sinC0已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，即2cosCsin（A+B）=sinC2cosCsinC=sinCcosC=，C=；（）由余弦定理得7=a2
23、+b22ab，（a+b）23ab=7，S=absinC=ab=，ab=6，（a+b）218=7，a+b=5，ABC的周长为5+18（12分）（2016四川）我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0，0.5），0.5，1），4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（）求直方图中a的值；（）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3
24、吨的人数，并说明理由；（）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由【分析】（）根据各组的累积频率为1，构造方程，可得a值；（）由图可得月均用水量不低于3吨的频率，进而可估算出月均用水量不低于3吨的人数；（）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率及月均用水量低于3吨的频率，进而可得x值【解答】解：（）0.5（0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a）=1，a=0.3；（）由图可得月均用水量不低于3吨的频率为：0.5（0.12+0.08+0.04）=0.12，由300.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3吨的人数约为3
25、.6万；（）由图可得月均用水量低于2.5吨的频率为：0.5（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.7385%；月均用水量低于3吨的频率为：0.5（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3）=0.8885%；则x=2.5+0.5=2.9吨19（12分）（2014兖州市校级模拟）已知单调递增的等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2，a4的等差中项求数列an的通项公式；设bn=anlog2an，求数列bn的前n项和Sn【分析】根据条件，建立方程组即可求出数列an的通项公式；利用错位相减法求出数列的前n项和Sn【解答】解：a3+2是a2，a4的等差中项，2
26、（a3+2）=a2+a4，即 ，又a2+a3+a4=28，即，q=（舍去）或q=2，a1=2，an=2n由知an=2nbn=anlog2an=n2n， 两式相减得，即20（12分）（2017甘肃一模）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2017年我国生活垃圾无害化处理量参考数据：yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，2.646参考公式：相关系数r= 回归方程=+t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=【分析】（
27、）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案；（）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2017年对应的t值为10，代入可预测2017年我国生活垃圾无害化处理量【解答】解：（）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，yi=9.32，tiyi=40.17，=0.55，r0.993，0.9930.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（）由1.331及（）得=0.103，=1.3310.1034=0.92所以，y关于t的回归方程为：=0.92+0.10t将2017年对应的t=10代入回归方程得：=0.92+0.1010=1.92所以预测201
28、7年我国生活垃圾无害化处理量将约1.92亿吨21（12分）（2016新课标）如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（1）证明：MN平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NGBC，且NG=，再由已知得AMBC，且AM=BC，得到NGAM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NMAG，由线面平行的判定得到MN平面PAB；法二、证明MN平面PAB，转化为证明平面NEM平面PAB，在PAC中，过N作
29、NEAC，垂足为E，连接ME，由已知PA底面ABCD，可得PANE，通过求解直角三角形得到MEAB，由面面平行的判定可得平面NEM平面PAB，则结论得证；（2）连接CM，证得CMAD，进一步得到平面PNM平面PAD，在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，N为PC的中点，NGBC，且NG=，又AM=，BC=4，且ADBC，AMBC，且AM=BC，则NGAM，且NG=AM，四边形AMNG为平行四边形，则NMAG，AG平面PAB，N
30、M平面PAB，MN平面PAB；法二、在PAC中，过N作NEAC，垂足为E，连接ME，在ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cosACB=，ADBC，cos，则sinEAM=，在EAM中，AM=，AE=，由余弦定理得：EM=，cosAEM=，而在ABC中，cosBAC=，cosAEM=cosBAC，即AEM=BAC，ABEM，则EM平面PAB由PA底面ABCD，得PAAC，又NEAC，NEPA，则NE平面PABNEEM=E，平面NEM平面PAB，则MN平面PAB；（2）解：在AMC中，由AM=2，AC=3，cosMAC=，得CM2=AC2+AM22ACAMcosMAC=AM2+MC2=A
31、C2，则AMMC，PA底面ABCD，PA平面PAD，平面ABCD平面PAD，且平面ABCD平面PAD=AD，CM平面PAD，则平面PNM平面PAD在平面PAD内，过A作AFPM，交PM于F，连接NF，则ANF为直线AN与平面PMN所成角在RtPAC中，由N是PC的中点，得AN=，在RtPAM中，由PAAM=PMAF，得AF=，sin直线AN与平面PMN所成角的正弦值为22（12分）已知椭圆+=1（ab0）的左右焦点F1、F2，离心率为，双曲线方程为=1（a0，b0），直线x=2与双曲线的交点为A、B，且|AB|=（）求椭圆与双曲线的方程；（）过点F2的直线l与椭圆交于M、N两点，交双曲线与P、
32、Q两点，当F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，求F1PQ的面积【分析】（）由已知得，由此能求出椭圆和双曲线方程（）设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my9=0，由韦达定理和弦长公式推导出F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F2的直线l的方程为x=1，由此能求出F1PQ的面积【解答】解：（）由已知得，解得a2=4，b2=3，椭圆方程为，双曲线方程为=1（）三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且F1MN的周长是定值8，只需求出F1MN面积的最大值设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m2+4）y2+6my9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，于是=12=，当且仅当m=0时，F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值，F1MN（F1为椭圆的左焦点）的内切圆的面积取最大值时，过点F2的直线l的方程为x=1，联立，得P（1，），Q（1，），F1（1，0），|PF1|=|QF1|=，|PQ|=，|F1F2|=2，F1PQ的面积S=专心-专注-专业