数学建模-电梯调度问题2.doc

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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date数学建模-电梯调度问题2电梯调度问题数学建模参选题目：A题：电梯的运载效率的分析与建模参赛队员：熊程燃 丁建佳 聂红松 信电10-5班电梯调度问题摘要：本文提出了一个如何合理调配现有电梯,使电梯运送效率更高的方案。运用运筹学的基本知识，我们建立了非线性整数规划模型，并运用概率统计法计算出了模型的解，最后运用综合评价的方法从时间评价指标和能耗评价指标进行评价和优化。针对

2、问题（1），通过分析电梯运行的整个过程，我们可以得到评价电梯服务效率的评价指标有：时间评价指标、能耗评价指标、乘客状态评价指标和乘客容忍度评价指标。上下班高峰期，衡量系统优劣的主要指标有时间评价指标和能耗评价指标。我们运用目标规划的基本知识对系统建立综合评价模型。针对本案例中出现的问题是工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明显增加；由文献可知，电梯的主要能量消耗发生在启停阶段，因此通过减少启停次数可以较少能耗。综上所述，本文以电梯运行的平均时间和总的启停次数作为主要评价指标，对模型进行分析评价。 针对问题（2），在合理假设的前提下，运用非线性整数规划的基础知识，建立了非线性

3、整数规划模型（2）。为了简化模型，我们将电梯往返平均时间作为时间评价指标的主要依据，以电梯往返运行总时间作为目标函数，建立数学模型。再对模型进行合理的简化处理后，在matlab中运用模拟退火算法进行求解得到每个电梯运行的平均时间为5489秒，启停的平均总次数为924次，六部电梯分配方案如下：电梯编号允许停靠楼层12、3、17、18 282 19、20、21、22 2635、6、7、9 2548、12、14 23510、11、16 2464、13、15 27由排队论的知识可知，原模型是一个多对多服务，运用概率统计的知识，可以求解出没有优化前的状态，每个电梯运行的平均时间是10811秒，启停总次数

4、为3939次。针对上述两个指标，我们通过综合评价的方法，对改进后和改进前的状态做出了评价，得分分别是7407.3，3228.可知优化后的方案很好的解决了实际的拥堵和能源损耗过多的问题 针对问题（3），我们进一步联系实际，考虑到电梯能够运行到地下1层，地下2层。假定每个楼层到达地下1层、地下2层的高率分别为某一常数，运用非线性整数规划的基本知识建立数学模型。关键字：电梯调度 指标 非线性整数规划 模拟退火 综合评价 一、问题重述 商业中心某写字楼有二十八层地上建筑楼层和两层地下停车场，6部电梯，每部电梯最大载重是20个正常成人的体重总和。工作日里每天早晚高峰时期均是非常拥挤，而且等待电梯的时间明

5、显增加。请你针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，以期获得合理的优化方案。1）请给出若干合理的模型评价指标。2）暂不考虑该写字楼的地下部分，每层楼层的平均办公人数经过调查已知（见表1）。假设每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒，最底层(地上一层)平均停留时间是20秒，其他各层若停留，则平均停留时间为10秒，电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯。表1：该写字楼各层办公人数楼层人数楼层人数楼层人数12345678无208177222130181191236910111213141516236139272272272270300264171819202l22232425262728

6、200200200200207207206207218207209210请你针对这样的简化情况，建立你的数学模型（列明你的假设），给出一个尽量最优的电梯调度方案，并利用所提评价指标进行比较。3）将你在第2问中所建立的数学模型进一步实际化，以期能够尽量适用于实际情况，用于解决现实的电梯调度问题。二、基本假设1、人的体重按正常人的体重计算，每部电梯的最大载重是20人；2、不考虑该写字楼的地下部分；3、电梯在各层的相应的停留时间内乘梯人员能够完成出入电梯；4、假设上下班到达的乘客为已经到达的乘客；5、假设上班高峰期，只有上行乘客没有下行乘客； 下班高峰期，只有下行乘客没有上乘客；6、假定乘客上班都从

7、第1层乘电梯至所在办公楼层； 下班时间从所在办公楼层乘电梯字第1楼层；7、假设所有电梯能够正常工作；8、假设所有办公人员乘电梯上下班；9、假定电梯每次运行中在允许停留的楼层都停；10、假设电梯运行次数相等；三、符号说明i : 表示第i部电梯；j：表示第j层写字楼；p: 表示电梯往返的次数； ：表示第j层楼的平均办公人数；：表示第i部电梯第p次往返到达第j层的人数；：表示第i部电梯第p次往返是否到达第j层，若=1：表示第i部电梯第p次往返到达第j层；若=0：表示第i部电梯第p次往返不到达第j层；：表示第i部电梯允许到达的最高层；：表示原模型中第i部电梯往返总次数；: 表示模型（2）中第i部电梯往

8、返总次数；：表示原模型中第i部电梯启停总次数；：表示原模型中所有电梯启停总次数；：表示模型（2）中第i部电梯启停总次数；: 表示模型（2）中所有电梯启停总次数；：表示电梯往返一次平均运行时间；：表示电梯往返一次平均停留时间；：表示电梯在楼层间平均运行总时间；：表示电梯平均停留总时间；：表示原模型中电梯运行的平均时间；:表示模型（2）中电梯运行的平均时间；：表示原模型时间评价指标（往返总时间=电梯在楼层间平均运行总时间+平均停留总时间）；:表示模型（2）时间评价指标（往返总时间=电梯在楼层间平均运行总时间+平均停留总时间）；：表示电梯启停一次消耗的能量；：表示电梯启停消耗总能量；：表示电梯匀速运

9、行消耗总能量；Q：表示原模型的能耗评价指标（消耗总能量=制动消耗总能量+匀速运行消耗总能量）；:表示模型（2）中的能耗评价指标；：表示乘第i部电梯人是到第j层的概率；: 第i个被评价对象的第j项指标的指标值四、问题分析 工作日里每天早晚上下班高峰时期，某写字楼电梯非常拥挤，而且等待时间明显增加。如何合理地调控使用现有的电梯，提高电梯的服务效率，尽量减少人流的乘梯等待时间和乘梯时间是电梯的首要任务。 由于假定上班高峰期，办公人员从第1层乘电梯至所在办公楼层；下班高峰期，办公人员从所在办公楼层乘电梯至第1层，所以上下班高峰期乘电梯是互逆的过程。因此只需通过分析上班高峰期，并建立模型，即可得到合理的

10、优化方案。在问题（1）中，由于是高峰期，在电梯载重量允许的条件下，电梯承载尽可能多的人，即电梯内的拥挤程度对模型优劣性的影响可以忽略。针对早晚高峰期的电梯调度问题建立数学模型，在满足基本要求的基础上，可以通过合理分配电梯，是电梯尽量高效、经济的运送乘客。为了使候梯者满意, 需要使等待时间尽量短； 为使乘客满意, 应使行程时间尽量短； 为体现节能, 必须尽量减少起制动的次数， 用来衡量电梯群控系统服务性能的评价指标由时间评价指标T、能耗评价指标Q两部分组成。 因此,电梯群控系统的优化目标主要有减少电梯往返总时间（包括电梯在楼层间的平均运行总时间和平均停留总时间）、减小系统能耗( RN C)。在问

11、题（2）中，为解决电梯拥挤和等待电梯时间明显增加，建立合理的电梯调度模型，对题中条件每层楼之间的平均运行时间、平均停留时间进行分析，可得现有的电梯不限楼层停的方案，极大的占用了电梯资源、明显增加了电梯运行时间和等待时间、增加了系统能耗。在本问题中暂不考虑该写字楼地下部分，即假定所有乘客上班时间从第1乘电梯至所在办公楼层，下班时间从所在办公楼层乘电梯字第1楼层。针对上班高峰期，为了简化模型，我们假设乘客已完全到达第1层电梯前等待乘电梯到所在办公楼层。我们通过限制电梯的停靠楼层，使相同楼层办公人员相对集中的乘坐某一部或多部电梯，进而减少停靠次数，减少平均停留总时间；同时通过限制电梯停靠楼层，很可能

12、会使某些电梯不到达最高层，减少了电梯在楼层间的平均运行总时间。根据题中条件可得，本模型有电梯容量和楼层平均办公人数两个约束：由于是上班高峰期，我们可把每部电梯每次运行都看作满载，即每次均载20人；为了满足基本要求，使每个人都能层电梯到达办公楼层，需限制能够运载到第j层的总人数大于或等于该层平均办公人数。查阅关于非线性整数规划的电梯调度问题的相关数据可知: 对于电梯使用较为拥挤的单位, 在上班高峰期,通过对电梯设置停靠层并进行分组可以提高电梯运行效率；电梯分组越多，效率越高，一个楼层有且仅有一部电梯停靠时效率最高（楼层数不小于电梯部数）。在问题（3）中，在实际生活中,上班高峰期乘客并不是已经完全

13、到达而是陆续到达,在某段时间内乘客的到达比率为,通过查资料可得,人流到达符合函数,对模型进行进一步改进 下班高峰期，并不是每一位办公人员都从所在办公楼层出发至第1层，也并不是所有从所在办公楼层出发的办公人员都直接到达第1层，因此应根据实际情况，根据长期的观测和统计资料进一步改进模型。考虑写字楼两层地下停车场,一般情况下要到达地下一层、地下二层的每层楼人占该层楼总人数的比例接近于某一常数。因此可将乘客分为分为第1层出发（到达）、地下1层出发（到达）、地下2层出发（到达）三个部分组成，进一步建模，优化（2）中得模型。五、模型的建立5.1针对问题（1）5.1.1时间评价指标T通过分析可知建立模型的优

14、劣，可通过系统电梯往返运行总时间的长短来反映，有条件可知电梯往返总时间T有电梯在楼层间平均运行总时间和电梯平均停留总时间两部分组成。即： T = + (1)5.1.2 能耗评价指标根据查询到的资料得：电梯有一部分能耗是消耗在电梯启动和制动过程中。在高层建筑中，人们既需要达到节能又需要使电梯运行效率达到最高。针对本案例中有多台电梯的情况，可通过设置电梯停靠层，减少停靠次数，使得电梯恒速距离越增长，回馈的能量越多，这样电梯可以降低能耗。另外电梯匀速运行时的能量消耗远远小于电梯在加速、减速时的能量消耗，所以电梯的能量消耗主要取决与电梯的启停次数。 设电梯启停次数为，则电梯启停消耗的总能量 （2） 由

15、于电梯消耗的能量主要取决于电梯的启停次数，则电梯启停消耗能量约等于电梯消耗的能量。即 、 (3)5.1.3针对问题（1）建立数学模型综合考虑时间评价指标和能好评价指标，对方案优劣性的影响，运用目标规划的基本知识建立数学模型： 模型（1）5.2针对问题（2） 每层楼之间电梯的平均运行时间是3秒,电梯i每往返一次的平均运行时间，则有： （4） 最底层（地上一层）平均停留时间是20秒，其他各层平均停留时间是10秒，电梯i每往返一次平均停留时间为，则 = 20 + （5） 电梯往返运行总时间T的求解公式为： T = （6）则目标函数即为Z = min T (7)由于是上班高峰期，故假定电梯每次满载是合

16、理的。在建模过程中，只需先约束电梯每次都为满载运行，在约束电梯运送到每层的人数大于或等于该层平均办公人数即可（也即是设立虚拟人使电梯满载，模型中运送到各个办公楼层的总人数由实际人和虚拟人两部分组成，应大于或等于该层平均办公人数）。电梯运行过程中载重量的限制为： （8） 电梯运送到每楼层的平均办公人数的限制为：= （9）则建立的模型为： Min 模型（2）5.3针对问题（3）假定电梯在从地下1层、地下2层出发的电梯在地下1层、地下2层的停留时间为20秒，在地上1层的停留时间为10秒；地下2层至地下1层、地下1层至地表的运行平均时间也为3秒。根据问题（2）针对考虑地下两层是进行建模：设每层到达地下

17、1层、地下2层的概率分别是、 模型（3）六、模型求解6.11针对问题（2）建立的数学模型进行求解针对问题(2)建立的数学模型模型是典型的非线性整数规划模型,可用常用的求解方法进行求解,但误差较大,置信概率偏低,无法体现该模型的优越性。有问题分析中的关于电梯调度的基本结论，在模型求解过程中我们可以对模型做进一步的简化，使解空间的范围缩小，将已知不是最优解的方案舍出解空间。解空间范围缩小，可以使用更优的算法求解问题，使计算误差降低。在求解过程中我们对模型进行如下简化：1. 六部电梯分为六个组；2. 一个楼层有且仅有一部电梯停靠；3. 每部电梯停靠的楼层可能不止一个，不妨设在电梯运送的乘客到达某层的

18、概率与该层平均办公人数成正比；乘坐电梯i到第j层的概率 = （10）每次乘坐i电梯到达第j层的人数 （11）对进行取整运算，再进行加和运算，对不满足约束条件的配送方案，在程序的求解过程中会自动舍去。对过程进行多次模拟，即可得到电梯每一次运送方案。 本文使用的是模拟退火算法求解模型（2）。定义一个6行22列的矩阵，其行表示电梯的分组，列表示的是每个组的配送方案，每一次的扰动得出的一个结果，都要经过一次m的循环，得到最小的满足约束的m值，进而算出每一套方案的最优解。具体程序及运算结果见附录1。在matlab中运用模拟退火算法求解得：电梯编号允许停靠楼层12、3、17、182 19、20、21、22

19、35、6、7、948、12、14510、11、1664、13、15整个过程将乘客运到所在办公楼层消耗时间为 （12） 5489.7秒电梯启停总次数9246.2针对问题（3）建立的数学模型进行求解问题（3）与问题（2）的求解方法一样，都需在matlab中运用模拟退火算法求解。由于缺少数据、我们只能建立模型，无法求解。七、模型的比较7.1原模型该写字楼现行电梯分配方案是每一部电梯可以到达任意楼层，运用概率统计的基本知识，在matlab中编程求解得：平均电梯往返运行时间为: （13）=10811秒电梯启停总次数39397.2模型（2）与原模型比较对两模型进行比较时我们采用综合评价方法，过程如下：7.

20、2.1确定模型评价要素（1）评价对象：原模型、新建模型（2） （2）评价指标：时间评价指标:原模型中平均电梯往返时间,模型(2)中平均电梯往返时间能耗评价指标:原模型中电梯在总的运行过程中所消耗的总能量Q,模型（2）中电梯在总的运行过程中所消耗的总能量 （3）权重系数:时间评价指标的权重系数为 能耗评价指标的权重系数为；(4) 综合评价模型： 我们采用现行加权法建立了综合评价模型函数与其中与分别表示原模型的值与模型（2）的值，其中， （14）7.2.2综合评价指标的处理及求解权重系数的方法（1）评价指标的无量纲化我们采用功效系数化的方法进行处理：；;（2）指标的归一化对于第i个被评价对象的第j

21、项指标的指标值其中，（3）权重系数的求解我们采用熵值法根据综合评价指标的数值所能提供信息量的大小来确定其权重系数，对于第i个被评价对象的第j项指标的指标值（）首先计算第j项指标的熵值： （15） 其中,为第i个被评价对象的第j个评价指标的特征比重。然后计算第j项指标的差异系数 （16）最后计算第j项指标的权重系数： （17）通过求解得到各个权重系数为：7.2.3模型比较结果由分析知平均消耗时间与能量消耗均应越小越好，所以可见模型（2）远远优于原模型。八、模型的评价8.1模型的优点1.模型抓住问题主要矛盾，以电梯平均往返时间作为目标函数进行优化。2.该模型从时间指标、能耗指标考虑，并对模型进行综

22、合评价。3模型简单明了，易计算，且通俗易懂。8.2模型的缺点1.由于数据有限，本模型未能对考虑地下两层的情况进行详细的建模求解。2.为简化模型并求解，假定乘客已经到达，假定电梯每次运行中在允许停留的楼层都停，造成误差。3.模型假定每部电梯运行次数相等，使求解结果大于实际运行时间。九、模型的改进模型（2）中采用电梯往返总时间最小作为时间评价指标，且假设每部电梯运行次数相等，即得出的时间为某部电梯最长运行的6倍。实际中，电梯运行的次数不相等。因此当电梯运行总时间最小时，可能存在某一部电梯的运行时间大于其它电梯，使求解结果大于实际运行时间。因此可通过缩短某部电梯的最大运行时间对模型（2）进行改进。在

23、matlab中编程对改进模型进行求解得：电梯编号允许停靠楼层18、17、18、192 5、6、20、2133、7、10、1149、16、2252、12、1464、13、15 模型（2）所有电梯均完成运送任务所需的时间为：7570.2秒模型（2）改进后所有电梯均完成运送任务所需的时间为：6771.6秒参考文献：【1】 基于排队论的上高峰电梯群控调度的研究 宗群,牙淑红,王振世(天津大学电气与自动化工程学院,天津300072)【2】 基于非线性规划的电梯调度研究 陈 希，麦雪湖，魏景焕（中山大学逻辑与认知研究所 广州，510006）【3】 数学建模方法及应用 韩中庚 解放军信息工程大学【4】 MTALAB 在数学建模中的应用 卓金武 北京航空航天大学 【5】 乘客等待条件下的电梯优化调度模型 孙凤欣 蔡军伟(宁波工程学院,浙江 315016)-