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1、课时作业14导数与函数的单调性一、选择题1下列函数中，在(0，)上为增函数的是(B)Af(x)sin2x Bf(x)xexCf(x)x3x Df(x)xlnx解析：对于A，f(x)sin2x的单调递增区间是(kZ)；对于B，f(x)ex(x1)，当x(0，)时，f(x)0，函数f(x)xex在(0，)上为增函数；对于C，f(x)3x21，令f(x)0，得x或x0，得0x1，函数f(x)xlnx在区间(0,1)上单调递增综上所述，故选B.2函数f(x)3xlnx的单调递减区间是(B)A. B.C. D.解析：因为函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)lnxxlnx1，令f(x)0，解得0x0
2、，x增大时，都减小，y，y在(1，)上都是减函数，f(x)1和f(x)都是P函数；，x(1，e)时，0，即y在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，f(x)x不是P函数；，x(1，e2)时，0，即y在(1，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，f(x)不是P函数故选B.4已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下面四个图象中，yf(x)的图象大致是(C)解析：由题图知当0x1时，xf(x)0，此时f(x)1时，xf(x)0，此时f(x)0，函数f(x)递增所以当x1时，函数f(x)取得极小值当x1时，xf(x)0，函数f(x)递增，当1x0，此时f
3、(x)1f(x)，f(0)0，f(x)是f(x)的导函数，则不等式exf(x)ex1(其中e为自然对数的底数)的解集为(A)A(0，) B(，1)(0，)C(，0)(1，) D(1，)解析：设g(x)exf(x)ex，则g(x)exf(x)exf(x)ex.由已知f(x)1f(x)，可得g(x)0在R上恒成立，即g(x)是R上的增函数因为f(0)0，所以g(0)1，则不等式exf(x)ex1可化为g(x)g(0)，所以原不等式的解集为(0，)7已知函数yf(x)对于任意x满足f(x)cosxf(x)sinx0(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式不成立的是(A)A.ff B.ff
4、Cf(0)f Df(0)0，则F(x)0，F(x)在上单调递增把选项转化后可知选A.二、填空题8函数f(x)lnxx2x5的单调递增区间为.解析：函数f(x)的定义域为(0，)，再由f(x)x10可解得0x.9(2019湖北襄阳调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数yf(x)，满足f(x)f(x)，f(0)1，则不等式f(x)ex的解集为(0，)解析：令F(x)，则F(0)1，F(x)0，故F(x)为R上的减函数，有f(x)ex等价于F(x)1，即F(x)F(0)故不等式f(x)ex的解集为(0，)10(2019陕西渭南质检)已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，曲线在
5、点M处的切线恰好与直线x9y0垂直若函数f(x)在区间m，m1上单调递增，则m的取值范围是(，30，)解析：f(x)ax3bx2的图象经过点M(1,4)，ab4，f(x)3ax22bx，则f(1)3a2b.由题意可得f(1)1，即3a2b9.联立两式解得a1，b3，f(x)x33x2，f(x)3x26x.令f(x)3x26x0，得x0或x2.函数f(x)在区间m，m1上单调递增，m，m1(，20，)，m0或m12，即m0或m3.三、解答题11(2019云南玉溪模拟)已知函数f(x)xlnx.(1)设函数g(x)f(x)a(x1)，其中aR，讨论函数g(x)的单调性；(2)若直线l过点(0，1)
6、，并且与曲线yf(x)相切，求直线l的方程解：(1)f(x)xlnx，g(x)f(x)a(x1)xlnxa(x1)，则g(x)lnx1a.由g(x)0，得lnx1a0，解得0x0，得lnx1a0，解得xea1.g(x)在(0，ea1)上单调递减，在(ea1，)上单调递增(2)设切点坐标为(x0，y0)，则y0x0lnx0，切线的斜率为lnx01.切线l的方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)又切线l过点(0，1)，1x0lnx0(lnx01)(0x0)，即1x0lnx0x0lnx0x0，解得x01，y00.直线l的方程为yx1.12(2019山东枣庄调研)已知函数f(x)xexa(aR)
7、(1)若a0，求曲线yf(x)在点(1，e)处的切线方程；(2)当a0时，求函数f(x)的单调区间解：(1)a0时，f(x)(x1)ex，所以切线的斜率kf(1)2e.又f(1)e，所以yf(x)在点(1，e)处的切线方程为ye2e(x1)，即2exye0.(2)f(x)(x1)(exa)，令f(x)0，得x1或xlna.当a时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增当0a时，lna0，得x1；由f(x)0，得lnax时，lna1，由f(x)0，得xlna；由f(x)0，得1xlna，所以单调递增区间为(，1)，(lna，)，单调递减区间为(1，lna)综上所述，当a时，f(x)在R上单
8、调递增；当0a时，单调递增区间为(，1)，(lna，)，单调递减区间为(1，lna)13设函数f(x)在R上存在导函数f(x)，对任意的实数x都有f(x)4x2f(x)，当x(，0)时，f(x)4x，若f(m1)f(m)4m2，则实数m的取值范围是(A)A. B.C1，) D2，)解析：令F(x)f(x)2x2，因为F(x)F(x)f(x)f(x)4x20，所以F(x)F(x)，故F(x)f(x)2x2是奇函数则当x(，0)时，F(x)f(x)4x0，故函数F(x)f(x)2x2在(，0)上单调递减，故函数F(x)在R上单调递减不等式f(m1)f(m)4m2等价于f(m1)2(m1)2f(m)
9、2m2，即F(m1)F(m)，由函数的单调性可得m1m，即m.故选A.14(2019西安八校联考)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且(x1)f(x)ac.解析：解法1：因为f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线x1对称因为(x1)f(x)1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上单调递减；当x0，所以函数f(x)在(，1)上单调递增据此，可画出一个符合题意的函数f(x)的大致图象，如图所示因为af(0)是图中点A的纵坐标，bf()是图中点B的纵坐标，cf(3)是图中点C的纵坐标，故由图可得bac.解法2：因为f(x)f(2x)，所以函数f(x)的图象关于直线
10、x1对称因为(x1)f(x)1时，f(x)0，所以函数f(x)在(1，)上单调递减；当x0，所以函数f(x)在(，1)上单调递增取符合题意的函数f(x)(x1)2，则af(0)1，bf()，cf(3)4，故bac.15(2019益阳、湘潭调研考试)是圆周率，e是自然对数的底数，在3e，e3，e，3,3，e六个数中，最小的数与最大的数分别是(A)A3e,3 B3e，eCe3，3 De,3解析：构造函数f(x)，f(x)的定义域为(0，)，求导得f(x)，当f(x)0，即0xe时，函数f(x)单调递增；当f(x)e时，函数f(x)单调递减故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e
11、，)e3，eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3.又函数ylnx，yex，yx在定义域上单调递增，故3ee3，e3e3，故这六个数中的最大数为3或3，由e3及函数f(x)的单调性，得f()f(3)f(e)，即，由，得ln33，在3e，e3，e，3,3，e六个数中的最大的数是3，同理得最小的数为3e.故选A.16(2019重庆六校联考)已知函数f(x)x2ax(a1)lnx.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1，求实数a的取值范围解：(1)f(x)xa(x1)x(a1)，若a2，由f(x)0，得0xa
12、1，由f(x)0，得1xa1，则f(x)在(0,1)，(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减；若a2，则f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增；若1a0，得0x1，由f(x)0，得a1x0，得x1，由f(x)0，得0x2，则f(x)在(0,1)，(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减；若a2，则f(x)在(0，)上单调递增；若1ax2x1f(x1)x1f(x2)x2，令F(x)f(x)xx2ax(a1)lnxx，对任意的x1，x2(0，)，x1x2，恒有f(x1)f(x2)x2x1等价于函数F(x)在(0，)上是增函数f(x)xa1x2(a1)xa1，令g(x)x2(a1)xa1，当a10，即a1时，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g(0)0，即a10，a1，无解当a10，即a1时，x0，故要使f(x)0在(0，)上恒成立，需g()0，即()2(a1)a10，化简得(a1)(a5)0，解得1a5.综上，实数a的取值范围是1,5