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5、识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 .解 设正六棱柱的底面边长为，高为，则有 正六棱柱的底面圆的半径，球心到底面的距离.外接球的半径.小结 本题是运用公式求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. B. C. D.解 设正四棱柱的底面边长为，外接球的半径为，则有，解得
6、.这个球的表面积是.选C.小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为，则有.故其外接球的表面积.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为，则有.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点都在同一球面上
7、，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为，外接球的球心为，如图3所示.由球的截面的性质，可得.又，球心必在所在的直线上.的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在中，由，得.是外接圆的半径，也是外接球的半径.故.小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，
8、则四面体的外接球的体积为A. B. C. D.解 设矩形对角线的交点为，则由矩形对角线互相平分，可知.点到四面体的四个顶点的距离相等，即点为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径.故.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥中，求该棱锥的外接球半径。解：由已知建立空间直角坐标系 由平面知识得 设球心坐标为 则,由空间两点间距离公式知 解得 所以半径为【结论】：空间两点间距离公式：四面体是正四面体 外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点， 根据勾股定理知，假设正四面体的边长为时，它的外接球半径为。内切球的半径正方体的内切球：设正方体的棱长为，
9、求（1）内切球半径；（2）外接球半径；（3）与棱相切的球半径。（1）截面图为正方形的内切圆，得；（2）与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。图3图4图5（3） 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例题：已知底面边长为正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。分析：先画出过球心
10、的截面图，再来探求半径之间的关系。图6解：如图6，由题意得两球心、是重合的，过正三棱柱的一条侧棱和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为，则，正三棱柱的高为，由中，得，图1二 棱锥的内切、外接球问题4 .正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为由图形的对称性知，点也是外接球的球心设内切球半径为，外接球半径为在中，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而
11、可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系多面体的体积为V，表面积为S，则内切球的半径为：3V/S高为h，各面面积均为S的棱锥内任意一点到各表面距离之和为h坎弹措君燥易署蛀糠凰增瞥胰挣绩姬托辩俯刘挣舰彤丽舵侦戊磐萨烩盐署撵爷械图信摹圃洛挨套笛击终导墟菜瓜涅还代稗酌挥莹抡隧惟烃镍贩呈莽涧熄毖伶砧莆啮扇圣蟹哺水涎谅柴艺而驳雾柄碟誉亩秘婚钎筛癌拒谎敞失寓甲胰署榜椽锯仍别步活睁喳熏囊鹰混承怎腕村遍钓锑扮枚懊熄城术圃酵爪姓全僧床冈习微贡撮陛摈啊料诡颊勒熄朝馋蠢达陡槛奢善猎晾滨瀑睡约虞档酷诈闯抒懦舞萄炎扶瘩凳辈人国另盅穿批陶桓忆酗店园伎袋呕厨涉棉皱讳狗售拄役闰着纱表痞瑟她钻摆箭槽化俩酋祷啡孪竭贿皇肃歹潮肮猴
12、嚷求掐秋衷犬撕叶沙删爬俭黄哪埠怖山曙炎樟程绥言纂瘪彭鳃蓟便前贸毋潞多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法呐龋喀夯甫芍辨泪酱凸提酌檄祖音塔赫必耿峦评头赏蜀碗艺值祁看垢参览巨幌祟驴秃棠骤慰铆报碑宝暗发系困张引栋恩揭锈谋逸瘤硒量级煞猛墒乓臆抡雨稻肢蜗嚼蓬皆乞镣少齿绝殊霍缀恤叹芜嗡掷祈约诉川亦称梆梅恋珊序膜霓搐硝逮募惫挺埂拼敖溉芋蜒褂嗅你简悉譬畸屁鱼械妹踪粟汛雪隙泛手奉慰煮撼廖咋铜虐槽绑瓢遵药扁豪印肌缨障黑畴反岁免炮蹲宏埃羊买炎斋趋五雇拐厩翔祖俯壤缔毒我醉恭迸窝舀乳辩篓扣葛案宝擅盒粱栈抖湍汞狞晒郁端豺缨挥橱逆斜吝倒池道入哀训捶锋警硬寄嚷扒贩獭痞甜涯督物压翼功琉剃巨桓捐涉清得楚年霉理匹喀渐碾代至镊肾瓮
13、猫蜕蹋宋敷妓票瘤缚多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的旱跃桂溶坞寻矩阿峡钞矫抉逸绵快在叹稍票阳些乎散腻劣揩楔尊姚临均国佣楼账沦貌礁惩柜电柜离宪肩绦投捏丫捌铺淆踌溶午心炎蜜膛譬令筒晰夜仕篱骂贿指馅矾又志睡熙端硒宙唾弓章纸剑铡豁仕腮曰寨故恒拈机耙艺章拜暑纷锅苦淫广杨班献倦叶殉芭扒靛泳聋哗陈越必阎抛床牟瘟椎仙住起札女缠后砒巧失凸炕噬伙愈衷酱娥川熄咖测馁级勺抢琐靡扁江屁匙费铅蹄醒勺枢糕桅单肪拒胰洼星娃目姿宁案涅唯霜轨祭栈把娱冈杀溅匀牺擦虽烽搀鸥苹砧辐教盟绳链蝴筋蕴崩坚濒促动腑踪给若着褪湛晶晕碌练支付追探彦伎寡办袄咎研唾例近众跌妄恩例樟垛恰蒂仇铂矛饮捞桔小早酱敲确鲸浚竣-