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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date第6讲.排列与组合.学生版智康教学部高中数学教研组排列与组合高考要求要求层次重难点加法原理、乘法原理分类加法计数原理、分步乘法计数原理B分类加法计数原理、分步乘法计数原理 理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理； 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题C排列与组合排列、组合的概念B排
2、列与组合 理解排列、组合的概念 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 能解决简单的实际问题排列数公式、组合数公式C用排列与组合解决一些简单的实际问题C知识内容1基本计数原理加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，在第类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称加法原理乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，做第个步骤有种不同的方法那么完成这件事共有种不同的方法又称乘法原理加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成
3、这件事的方法数时，使用分类计数原理如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理2 排列与组合排列：一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列（其中被取的对象叫做元素）排列数：从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示排列数公式：，并且全排列：一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列的阶乘：正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示规定：组合：一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做
4、从个元素中任取个元素的一个组合组合数：从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示组合数公式：，并且组合数的两个性质：性质1：；性质2：（规定）3排列组合问题的解题策略排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分
5、步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答具体的解题策略有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空插板法：个相同元素
6、，分成组，每组至少一个的分组问题把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！错位法：编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题典例分析版块一两个基本原理【例1】 高二年级一班有女生人，男生人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问
7、选取代表的方法有几种【例2】 若、是正整数，且，则以为坐标的点共有多少个？【例3】 用这个数字，可以组成_个大于，小于的数字不重复的四位数【例4】 公园有个门，从一个门进，一个门出，共有_种不同的走法【例5】 将个不同的小球放入个盒子中，则不同放法种数有_【例6】 如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种【例7】 六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【例8】 若自然数使得作竖式加法均不产生进位现象则称为“可连数”例如：是“可连数”，因不产生进位
8、现象；不是“可连数”，因产生进位现象那么，小于的“可连数”的个数为（ ）A B C D【例9】 由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【例10】 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种（以数字作答）【例11】 如图，一环形花坛分成四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ）A96B84C60D48版块二排列组合问题的常用方法直接法：优先考虑特殊元素或者特殊位置，或者直接分类讨论求解【例12】 在平面直角坐标系中，轴正半轴上有个点，轴正半轴有个点，将轴上
9、这个点和轴上这个点连成条线段，这条线段在第一象限内的交点最多有（ ）A个 B个 C个 D个【例13】 有名划船运动员，其中人只会划左舷，人只会划右舷，其余人既会划左舷也会划右舷从这名运动员中选出人平均分在左、右舷划船参加比赛，有多少种不同的选法？【例14】 若，则，就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）A B C D【例15】 某城市街道呈棋盘形，南北向大街条，东西向大街条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种【例16】 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用步走完，则上楼梯的方法有_种【例17】
10、 亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例18】 甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这个回答分析，人的名次排列共有_（用数字作答）种不同情况【例19】 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同
11、的选择方案共有_种（用数字作答）【例20】 给定集合，映射满足：当时，；任取，若，则有则称映射：是一个“优映射”例如：用表1表示的映射：是一个“优映射” 表1 表212323112343已知表2表示的映射：是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；若映射：是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_【例21】 设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）A50种 B49种 C48种 D47种【例22】 已知集合，函数的定义域、值域都是，且对于任意设是的任意的一个排列，定义数表，若两个数表的对应位置上至少有一个数不同
12、，就说这是两张不同的数表，那么满足条件的不同的数表的张数为（ ）ABCD间接法：直接分类讨论求解种类比较多的时候，常常采用间接法【例23】 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？【例24】 以三棱柱的顶点为顶点共可组成 个不同的三棱锥【例25】 设集合，集合是的子集，且满足，那么满足条件的子集的个数为（ ）A B C D【例26】 对于各数互不相等的正数数组（是不小于的正整数），如果在时有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”例如，数组中有顺序“”，“
13、”，其“顺序数”等于若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是，则的“顺序数”是_【例27】 已知集合，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为（ ）A B C D【例28】 甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）【例29】 在排成的方阵的个点中，中心个点在某一个圆内，其余个点在圆外，在个点中任选个点构成三角形，其中至少有一顶点在圆内的三角形共有（ ）A个 B个 C个 D个挡板法：用来处理名额分配等相同物体的分配问题【例30】 某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天
14、只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 种【例31】 有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例32】 不定方程中不同的正整数解有 组，非负整数解有 组【例33】 将个完全相同的小球任意放入个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？插空法：处理排队问题中部分元素不能相邻的问题【例34】 从个自然数中任取个互不连续的自然数，有多少种不同的取法【例35】 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（ ）A B16 C
15、24 D32【例36】 要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有_种【例37】 马路上有编号为l，2，3，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_种 （用数字作答）【例38】 为配制某种染色剂， 需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂， 其中有机染料的添加顺序不能相邻现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响， 总共要进行的试验次数为 （用数字作答）【例39】 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多
16、少中插入方法？捆绑法：常用于当需排的元素中包含必须相邻的元素时【例40】 四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种【例41】 停车站划出一排个停车位置，今有辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的个空车位连在一起，则不同的停车方法共有_种【例42】 四个不同的小球放入编号为的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_种（用数字作答）除序法：一般用于解决平均分堆问题，或者整体中部分顺序固定的排队问题。对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列【例43】 6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例44】 用1，2，3，4
17、，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，若偶数2，4，6次序一定，有多少个？若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？ 【例45】 一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？递推法【例46】 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？版块三排列组合问题的常见模型排队问题【例47】 7名同学排队照相 若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？ 若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法
18、？ 若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ 若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不同的排法？【例48】 个人坐在一排个座位上，问 空位不相邻的坐法有多少种? 个空位只有个相邻的坐法有多少种? 个空位至多有个相邻的坐法有多少种?【例49】 用1到8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，3与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻，这样的八位数共有_ _个（用数字作答）【例50】 在的任一排列中，使相邻两数都互质的排列方式共有（ ）种A B C D数字问题【例51】 从到的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两
19、偶数都不相邻的七位数有几个？上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例52】 用排成一个数字不重复的五位数，满足的五位数有多少个？【例53】 用这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是，则这样的四位数共有多少个？【例54】 用数字组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有_个（用数学作答）【例55】 求无重复数字的六位数中，能被整除的数有_个【例56】 在由数字组成的所有没有重复数字的位数中，大于且小于的数共有（ ）个A个B个C个D个【例57】
20、 从中任选三个不同元素作为二次函数的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?分堆问题【例58】 有6本不同的书甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【例59】 把一同排6张座位编号为的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多
21、分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（ ）ABC D【例60】 七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；选出6个人，分成两组，每组都是3人；选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土染色问题【例61】 如图，正五边形中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（ ）A 30种B 27种 C 24种 D 21种【例62】 将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有_【例63】 将个和个共个字母填在如图所示的个小方格内，每个
22、小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有_种（用数字作答）【例64】 如图所示、为个区域，现备有种颜色为个区域涂色，涂色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？错位排列【例65】 编号为的五人入座编号也为的五个座位，至多有人对号的坐法有_种【例66】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，问：共有多少种旅游方案?【例67】 7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，问：共有多少种旅游方案?课后作业1. 从集合与中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）每排中字母和数字至多只能出现一个的不同排法种数是_
23、（用数字作答）2. 古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种（结果用数值表示）3. 位男生和位女生共位同学站成一排，若男生甲不站两端，位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）AB CD4. 将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（ ）A 540 B 300 C 180 D 1505. 某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种（用数字作答）-