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1、精选优质文档-倾情为你奉上平面向量专题讲义知识点一：向量的概念1向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段表示，其中A为起点，B为终点. 向量的长度又称为向量的模； 长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.注意: （1）有向线段的起、终点决定向量的方向，与表示不同方向的向量；（2）有向线段的长度决定向量的大小，用表示，.2方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行. 平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.3长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等. 任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与
2、起点无关.知识点二：向量的加法、减法1向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量与的和为,记作:.（起点相同）2向量加法的三角形法则根据向量相等的定义有:，即在ADC中，.首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.规定:零向量与向量的和等于.3. 向量的减法向量与向量叫做相反向量.记作:.则.知识点三：实数与向量的积1定义：一般地，实数与向量的积是一个向量,记作，它的长与方向规定如下：（1）；（2）当0时，的方向与的方向相同； 当0时，的方向与的方向相反； 当=0时，；2运算律设，为实数，则（1）；（2）；（3）3向量共线的充要条件已知向量、是两个非零共线向量，即
3、，则与的方向相同或相反.、共线时，必存在实数，使得成立.4平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使.我们把不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点四：平面向量的坐标运算1平面向量的坐标表示选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量，为基底，由平面向量基本定理，该平面内任一向量表示成的形式，由于与数对（x,y）是一一对应的，因此把（x,y）叫做向量的坐标表示.2平面向量的坐标运算已知，则（1）（2）3平行向量的坐标表示已知，则（）知识点五：向量的数量积1.定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量
4、积（或内积），记作，即.规定：零向量与任一向量的数量积为0.注意：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 .（2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0180.此外，由于向量具有方向性，一定要找准是哪个角.2.平面向量的数量积的几何意义的几何意义：数量积等于的长度与 在方向上的投影的乘积.3.性质：（1） （2） 当与同向时，；当与反向时，.特别地 4.运算律设已知向量、和实数，则向量的数量积满足下列运算律：(1) (交换律)(2) (3) 5.向量的数量积的坐标运算已知两个非零向量，那么 ；.二典型例题分析例1.在下列各命题中为真命题的是(
5、 )若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则=x1y1+x2y2若A(x1,y1)、B(x2,y2)，则=若=(x1,y1)、=(x2,y2),则=0x1x2+y1y2=0若=(x1,y1)、=(x2,y2)，则x1x2+y1y2=0。A、 B、 C、 D、 例2.已知=(2,1), =(1,3),若存在向量使得：=4, =9，试求向量的坐标。 例3.对于向量的集合A=(x,y)x2+y21中的任意两个向量、与两个非负实数、；求证：向量+ 的大小不超过+。 例4已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半轴上求点C，使ACB最大。例5.如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上
6、的一点，PECF是矩形，用向量法证明(1)PA=EF； (2)PAEF。 例6.已知与的夹角为,若向量与垂直, 求k. 例7.如果ABC的三边a、b、c满足b2 + c 2 = 5a2,BE、CF分别为AC边与AB上的中线, 求证：BECF. 例8.如图所示，在正ABC中，O为其内心，P为圆周上一点，满足，两两不共线，求证：(+)(+)=0。例9.例10.如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中，则的值为()。A. B. C. D.例11.在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m(2bc，cosC)，n(a，cosA)，
7、且mn.(1)求角A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos(2B)的值域例12.在平面直角坐标系内，已知两点A(1,0)、B(1,0)，若将动点P(x，y)的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q(x，y)，且满足1.(1)求动点P所在曲线C的方程；(2)过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由 平面向量练习一、选择题：1、下列各式中正确的是（ ） （1）(a) b=(a b)=a (b), （2）|ab|=|a|b|, （3）(a b) c=a (b c), （
8、4）(a+b) c= ac+bc A（1）（3） B（2）（4） C（1）（4） D以上都不对.2、在ABC中,若(+)()=0,则ABC为（ ） A正三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D无法确定3、若|a|=|b|=|ab|,则b与a+b的夹角为（ ） A30 B60 C150 D1204、已知|a|=1,|b|= ,且(ab)和a垂直,则a与b的夹角为（ ） A60 B30 C135 D455、若 + = 0,则ABC为（ ）A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰直角三角形6、设|a|= 4,|b|= 3, 夹角为60, 则|a+b|等于（ ） A37 B13 C D 7、己知|
9、a|=1,|b|=2, a与b的夹角为600,c =3a+b, d =ab ,若cd,则实数的值为（ ） A B C D 8、设 a,b,c是平面内任意的非零向量且相互不共线,则（ ） (ab)c(ca)b=0 |a| |b| |ab| (bc)a(ca)b不与c垂直 (3a+2b)(3a2b)= 9|a|24|b|2 其中真命题是（ ） A B C D9.已知ABC中，=a，=b，ab0，SABC=,|a|=3,|b|=5,则a与b的夹角是( )A.30B.150C.150D.30或15010.若20，则ABC必定是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形二、填空题：11
10、、已知e是单位向量,求满足ae且ae=18的向量a=_.12、设a=(m+1)i3j, b=i+(m1)j, (a+b) (ab), 则m=_.13.已已知：|1，|，0，点C在AOB内，且AOC30，设mn(m，nR)， 则_.14.知向量a与b的夹角为，且|a|1，|b|4，若(2ab)a，则实数_.三、解答题：13、已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求： ab ；(2ab) (a+3b) 14.四边形ABCD中,= a, = b,= c, = d,且ab=bc=cd=d a，判断四边形ABCD是什么图形？ 15.三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m(ca，ba)，n(ab，c)，若mn.(1)求角B的大小；(2)若sinAsinC的取值范围16. 如图，O方程为x2y24，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，O交y轴于点N，且.(1)求点M的轨迹C的方程；(2)设F1(0，)、F2(0，)，若过F1的直线交(1)中曲线C于A、B两点，求的取值范围专心-专注-专业