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1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学专题讲解之抛物线考点1 抛物线的定义：平面上与一个定点F和一条直线（F不在上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线。抛物线的定义中条件“F不在上”不可遗漏，否则，如果F在上，则轨迹为过F且与垂直的直线。题型： 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1、（1）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 （2）抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0例2、求平面内到原点与直线距离相等的点的轨迹
2、方程，并指出轨迹所表示的曲线。例3、求到点A的距离比到直线的距离小1的点的轨迹方程。巩固练习：1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有 （）A B C D. 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 3.已知方程的抛物线上有一点M，点M到焦点F的距离为5，求m的值。4、在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为( ) A1B1BAP(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)考点2 抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例4、求满足下列条件的抛物线的标准方
3、程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上巩固练习：1、若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 2、 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）3、 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程考点3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 ()：标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）题型：
4、抛物线中的最值问题：例5、求抛物线上的点P到直线的距离的最小值，并求出P点的坐标。例6、给定抛物线，设A，P是抛物线上的一点，且，求的最小值。例7、长度等于3的线段的两个端点在抛物线上运动，求AB的中点M到y轴的距离的最小值。题型：抛物线与直线的位置关系问题：例8、设A、B是抛物线上的点，且满足（O为坐标原点），求证：直线AB过定点，并求出此定点。例9、已知正方形ABCD的两个顶点A、B在抛物线上，另两个顶点C、D在直线上，如图，求此正方形的边长。例10、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A、B是抛物线C上的两个动点（AB不垂直于x轴）但，线段AB的垂直平分线经过定点Q，求抛
5、物线的方程。例11、设点O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若，求的面积。例12、 如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积.例13、已知抛物线y2=2px(p0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|2p.(1)求a的取值范围.(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.解：(1)设直线l的方程为：y=xa,代入抛物线方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a
6、2=0|AB|=2p.4ap+2p2p2,即4app2又p0,a.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p,则有x=p.线段AB的垂直平分线的方程为yp=(xap),从而N点坐标为(a+2p,0）点N到AB的距离为从而SNAB=当a有最大值时，S有最大值为p2.基础巩固训练1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在2.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标
7、为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 63.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D4. 如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）A5 B6 C 7 D9 5、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）A B C D6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 题型、焦点弦问题例14、已知抛物线，过焦点F的弦AB的直线倾斜角为，求AB的弦长。例15、若AB是抛物线
8、的焦点弦（过焦点的弦），且，则：，。例16、已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：为定值。例17、已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。BAMNQPyxOF(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相切。与准线l相切例18、若抛物线方程为，过（，0）的直线与之交于A、B两点，则OAOB。巩固练习：1、若直线经过抛物线的焦点，则实数 2、过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 题型、中点弦问题：例19、过点A，作直线交抛物线于B、C两点，求BC中点P
9、的轨迹方程。例20、若抛物线上存在两点PQ关于直线对称，求m的取值范围。巩固练习：1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标2、已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？3、设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O4、椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.5、
10、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.课后作业：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）Ax2
11、+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2 y +1=0Dx2+ y 2-x-2 y +=03抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是（ ）A（1，1）B（）CD（2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）AmB 2mC4.5mD9m5平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8x Dy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A y 2=-2xB y 2=-
12、4xC y 2=2xD y 2=-4x或y 2=-36x7过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|=（ ）A8B10C6 D48把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是（ ）ABCD 9过点M（2，4）作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有（ ）A0条B1条C2条D3条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A2aB C4a D 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11抛物线y
13、2=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为4，则焦点到AB的距离为 12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 13P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 14抛物线的焦点为椭圆的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 三、解答题（本大题共6小题，共76分）15已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程(12分)16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值（12分）17动直线y =a，与抛物线相交于A点，动点B的坐
14、标是，求线段AB中点M的轨迹的方程(12分)18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)19如图，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6建立适当的坐标系，求曲线段C的方程(14分)20已知抛物线过动点M（，0）且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，（）求的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大
15、值(14分)参考答案一选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案ADABCBACCC二填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）112 12 13（1，0） 14 三、解答题（本大题共6题，共76分）15（12分）解析：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为16 (12分)解析：设抛物线方程为，则焦点F（），由题意可得 ，解之得或， 故所求的抛物线方程为，17（12分）解析：设M的坐标为（x，y），A
16、（，），又B得 消去，得轨迹方程为，即18（12分）解析：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为，由题意可知，B（4，-5）在抛物线上，所以，得， 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A（），由得，又知船面露出水面上部分高为075米，所以=2米19(14分) 解析：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点由题意可知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点设曲线段C的方程为， 其中分别为A、B的横坐标， 所以， 由，得 联立解得将其代入式并由p0解得，或因为AMN为锐角三角形，所以，故舍去 p=4，由点B在曲
17、线段C上，得综上得曲线段C的方程为20(14分) 解析：（）直线的方程为，将，得 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，则 又， ， 解得 （）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得， 又 为等腰直角三角形， ， 即面积最大值为1、抛物线的准线方程是 。2、已知是抛物线上的动点，是抛物线的焦点，则线段的中点轨迹方程是 。3抛物线关于直线对称的抛物线方程是 。4、顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为_ 5、25、如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长
18、的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为_米. 6.5米 6、设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若则|FA|+|FB|+|FC|=（ B）(A)9(B)6(C) 4 (D) 37、已知点及抛物线，若抛物线上点满足，则的最大值为（ ）（A） （B） （C） （D）8已知：点P与点F（2，0）的距离比它到直线40的距离小2，若记点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的方程。（2）若直线L与曲线C相交于A、B两点，且OAOB。求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标。解：（1）解法（A）：点P与点F（2，0
19、）的距离比它到直线40的距离小2，所以点P与点F（2，0）的距离与它到直线20的距离相等。 -由抛物线定义得：点在以为焦点直线20为准线的抛物线上， 抛物线方程为。 -) 解法（B）：设动点，则。当时，化简得：，显然，而，此时曲线不存在。当时，化简得：。（2）， -(1分)，即， -分)直线为，所以 -(分) -(分)由（a）（b）得：直线恒过定点。9、已知抛物线,椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。（1）求椭圆的方程；（2）若P是椭圆上的点，设T的坐标为（是已知正实数），求P与T之间的最短距离。解：（1）抛物线的焦点为（1，0），设椭圆方程为，则所以椭圆方程为。（2）设，则 。 当时，即时，； 当时，即时，；综上，。10、（1）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，证明：； （2）直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于 两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明：直线经过原点。11、已知抛物线，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线(1)若直线l与抛物线交于两点A、B，且(O是坐标原点，M是垂足)，求动点M的轨迹方程；(2)若C、D两点在抛物线上，且满足，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标专心-专注-专业