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1、优秀学习资料欢迎下载静电场第一讲 基本知识介绍在奥赛考纲中，静电学知识点数目不算多，总数和高考考纲基本相同，但在个别知识点上，奥赛的要求显然更加深化了：如非匀强电场中电势的计算、电容器的连接和静电能计算、电介质的极化等。在处理物理问题的方法上，对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。如果把静电场的问题分为两部分，那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究，高考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题，而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中的静态问题。 也就是说， 奥赛关注的是电场中更本质的内容，关注的是纵向的深化和而非横向的综合。一、电场强度1、实验定律a、库仑定律内容；条件：点电荷，真空，点电荷
2、静止或相对静止。事实上，条件和均不能视为对库仑定律的限制，因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体，非真空介质可以通过介电常数将k 进行修正 （如果介质分布是均匀和“充分宽广” 的，一般认为 k= k /r） 。只有条件，它才是静电学的基本前提和出发点（但这一点又是常常被忽视和被不恰当地“综合应用”的）。b、电荷守恒定律c、叠加原理2、电场强度a、电场强度的定义电场的概念；试探电荷（检验电荷）；定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检测手段；电场线是抽象而直观地描述电场有效工具（电场线的基本属性）。b、不同电场中场强的计算决定电场强弱的因素有两个：场源（带电量和带电体精选学习资料
3、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载的形状）和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出点电荷： E = k2rQ结合点电荷的场强和叠加原理，我们可以求出任何电场的场强，如均匀带电环， 垂直环面轴线上的某点P：E = 2322)Rr (kQr，其中 r 和 R的意义见图7-1。均匀带电球壳内部： E内= 0外部： E外= k2rQ，其中 r 指考察点到球心的距离如果球壳是有厚度的的（内径R1、外径R2） ，在壳体中（ R1rR2） ：E = ，其中 为电荷体密度。这个式子的物理意义可以参照万有引力定律当中（条件
4、部分）的“剥皮法则”理解即为图7-2中虚线以内部分的总电量。无限长均匀带电直线（电荷线密度为） ： E = rk2无限大均匀带电平面（电荷面密度为） ： E = 2 k二、电势1、电势：把一电荷从P点移到参考点P0时电场力所做的功W 与该电荷电量q 的比值，即U = qW参考点即电势为零的点，通常取无穷远或大地为参考点。和场强一样，电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。2、典型电场的电势a、点电荷以无穷远为参考点，U = krQb、均匀带电球壳以无穷远为参考点，U外= krQ，U内= kRQ3、电势的叠加精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
5、- - -第 2 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载由于电势的是标量，所以电势的叠加服从代数加法。很显然，有了点电荷电势的表达式和叠加原理，我们可以求出任何电场的电势分布。4、电场力对电荷做功WAB = q（UA UB）= qUAB三、静电场中的导体静电感应静电平衡（狭义和广义）静电屏蔽1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义a、导体内部的合场强为零；表面的合场强不为零且一般各处不等，表面的合场强方向总是垂直导体表面。b、导体是等势体，表面是等势面。c、 导体内部没有净电荷； 孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。2、静电屏蔽导体壳（网罩） 不接地时， 可以实现外部对内部的屏
6、蔽，但不能实现内部对外部的屏蔽；导体壳（网罩）接地后，既可实现外部对内部的屏蔽，也可实现内部对外部的屏蔽。四、电容1、电容器孤立导体电容器一般电容器2、电容a、定义式C = UQb、决定式。决定电容器电容的因素是：导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类，所以不同电容器有不同的电容平行板电容器C = kd4Sr= dS，其中 为绝对介电常数（真空中0 = k41，其它介质中 = k41） ，r则为相对介电常数，r = 0。柱形电容器：C = 12rRRlnk2L球形电容器：C = )RR(kRR1221r3、电容器的连接精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
7、 - - -第 3 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载a、串联C1= 1C1+2C1+3C1+ +nC1b、并联C = C1 + C2 + C3 + + Cn4、电容器的能量用图 7-3 表征电容器的充电过程，“搬运”电荷做功W 就是图中阴影的面积，这也就是电容器的储能E ，所以E = 21q0U0 = 21C20U= 21Cq20电场的能量。 电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场？正确答案是后者，因此，我们可以将电容器的能量用场强E表示。对平行板电容器E总= k8SdE2认为电场能均匀分布在电场中，则单位体积的电场储能w = k81E2。而且，这以结论适用于非匀强电场。五、电介质的极
8、化1、电介质的极化a、电介质分为两类：无极分子和有极分子，前者是指在没有外电场时每个分子的正、负电荷“重心”彼此重合（如气态的H2、O2、 N2和 CO2） ，后者则反之（如气态的H2O 、SO2和液态的水硝基笨）b、电介质的极化：当介质中存在外电场时，无极分子会变为有极分子，有极分子会由原来的杂乱排列变成规则排列，如图7-4 所示。2、束缚电荷、 自由电荷、极化电荷与宏观过剩电荷a、束缚电荷与自由电荷：在图7-4 中，电介质左右两端分别显现负电和正电， 但这些电荷并不能自由移动，因此称为束缚电荷，除了电介质， 导体中的原子核和内层电子也是束缚电荷；反之，能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上
9、，导体中存在束缚电荷与自由电荷， 绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷，只是它们的比例差异较大而已。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷，就是指图7-4 中电介质两端显现的电荷。而宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的，它是指可以自由移动的净电荷。宏观过剩电荷与极化电荷的重要区别是：前者能够用来冲放电，也能用仪表测量，但后者却不能。第二讲 重要模型与专题一、场强和电场力【物理情形1】试证明：均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。
10、如图 7-5 所示，在球壳内取一点P ，以 P为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体，锥体与球面相交得到球面上的两个面元S1和S2， 设球面的电荷面密度为 ，则这两个面元在P点激发的场强分别为E1 = k211rSE2 = k222rS为了弄清 E1和 E2的大小关系，引进锥体顶部的立体角 ，显然211rcosS= = 222rcosS所以E1 = kcos，E2 = kcos，即： E1 = E2，而它们的方向是相反的，故在P点激发的合场强为零。同理，其它各个相对的面元S3和S4、S5和 S6 激发的合场强均为零。原命题得证。【模型变换】半径为R 的均匀带电球面，电荷的面密度为，试求球心处的电场
11、强度。【解析】如图7-6 所示，在球面上的P处取一极小的面元S ，它在球心O 点激发的场强大小为E = k2RS，方向由P指向 O 点。无穷多个这样的面元激发的场强大小和S 激发的完全相同，但方向各不相同， 它们矢量合成的效果怎样呢？这里我们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载要大胆地预见由于由于在x方向、y 方向上的对称性， ixE= iyE= 0 ，最后的 E = Ez，所以先求Ez = Ecos= k2RcosS，而且 Scos 为面元在xoy 平面的投影，设为S所以Ez = 2RkS而 S
12、= R2【答案】 E = k ，方向垂直边界线所在的平面。学员思考 如果这个半球面在yoz 平面的两边均匀带有异种电荷，面密度仍为，那么，球心处的场强又是多少？推荐解法 将半球面看成4 个81球面，每个81球面在 x、y、z 三个方向上分量均为41k，能够对称抵消的将是y、z 两个方向上的分量，因此E = Ex答案 大小为 k，方向沿 x 轴方向（由带正电的一方指向带负电的一方）。【物理情形2】有一个均匀的带电球体，球心在O点，半径为R ，电荷体密度为 ，球体内有一个球形空腔，空腔球心在O点，半径为R，OO= a ，如图 7-7 所示，试求空腔中各点的场强。【模型分析】这里涉及两个知识的应用：
13、一是均匀带电球体的场强定式（它也是来自叠加原理，这里具体用到的是球体内部的结论，即“剥皮法则” ） ，二是填补法。将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电（电荷体密度相等） 的小球的集合， 对于空腔中任意一点P ， 设OP= r1，PO = r2，则大球激发的场强为E1 = k2131rr34 = 34kr1，方向由O指向 P “小球”激发的场强为E2 = k2232rr34 = 34k r2，方向由P指向 OE1和 E2的矢量合成遵从平行四边形法则，E的方向如图。又由于矢量三角形PE1 E和空间位置三角形OP O 是相似的，E的大小和方向就不难确定了。精选学习资料 - - - - - -
14、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载【答案】恒为34ka ，方向均沿O O，空腔里的电场是匀强电场。学员思考 如果在模型2 中的 OO连线上O一侧距离O 为 b（bR）的地方放一个电量为 q 的点电荷，它受到的电场力将为多大？解说 上面解法的按部就班应用答 34 k q23bR-23)ab(R 。二、电势、电量与电场力的功【物理情形1】如图 7-8 所示，半径为R 的圆环均匀带电，电荷线密度为，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO= r ，以无穷远为参考点，试求 P点的电势UP 。【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型
15、。先在圆环上取一个元段 L ，它在 P点形成的电势U = k22rRL环共有LR2段，各段在 P点形成的电势相同，而且它们是标量叠加。【答案】 UP = 22rRRk2思考 如果上题中知道的是环的总电量Q ，则 UP的结论为多少？如果这个总电量的分布不是均匀的，结论会改变吗？答 UP = 22rRkQ；结论不会改变。再思考 将环换成半径为R 的薄球壳，总电量仍为Q ，试问：（1）当电量均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？（2）当电量不均匀分布时，球心电势为多少？球内（包括表面）各点电势为多少？解说 （1）球心电势的求解从略；球内任一点的求解参看图7-5 U1 = k11
16、rS= k1rcosr21= kcosr1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载 U2 = k cosr2它们代数叠加成 U = U1 + U2 = kcosrr21而 r1 + r2 = 2Rcos 所以 U = 2Rk 所有面元形成电势的叠加U = 2Rk 注意：一个完整球面的 = 4（单位：球面度sr） ，但作为对顶的锥角， 只能是 2 ，所以U = 4 Rk = kRQ（2）球心电势的求解和思考 相同；球内任一点的电势求解可以从（1）问的求解过程得到结论的反证。答 （1）球心、球内任一点的电
17、势均为kRQ； （2）球心电势仍为kRQ，但其它各点的电势将随电量的分布情况的不同而不同（内部不再是等势体，球面不再是等势面）。【相关应用】如图7-9 所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为 R1和 R2，带有净电量+q ，现在其内部距球心为r 的地方放一个电量为 +Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为Q ，外壁的电荷量为+Q+q ，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以【答案】 Uo = krQ k1RQ+ k2RqQ
18、。反馈练习 如图 7-10 所示，两个极薄的同心导体球壳A 和 B， 半径分别为RA和 RB，现让 A 壳接地，而在B 壳的外部距球心d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求： （1）A 球壳的感应电荷量； （2）外球壳的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载电势。解说 这是一个更为复杂的静电感应情形，B 壳将形成图示的感应电荷分布（但没有净电量），A 壳的情形未画出（有净电量），它们的感应电荷分布都是不均匀的。此外，我们还要用到一个重要的常识：接地导体 （A 壳）的电势为零。 但值得注意的是，这
19、里的“为零”是一个合效果，它是点电荷q 、A 壳、 B 壳（带同样电荷时）单独存在时在 A中形成的的电势的代数和，所以，当我们以球心O 点为对象，有UO = kdq+ kAARQ+ kBBRQ= 0 QB应指 B 球壳上的净电荷量，故QB = 0 所以QA = dRAq 学员讨论： A 壳的各处电势均为零，我们的方程能不能针对A 壳表面上的某点去列？（答：不能，非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式！）基于刚才的讨论，求B 的电势时也只能求B 的球心的电势（独立的B 壳是等势体，球心电势即为所求）UB = kdq+ kBARQ答 （1）QA = dRAq ； （2）UB = kdq(1BAR
20、R) 。【物理情形2】图 7-11 中，三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒，每根棒上的电荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点A 是 abc的中心，点B 则与 A 相对 bc棒对称，且已测得它们的电势分别为UA和 UB。试问：若将ab 棒取走， A、B 两点的电势将变为多少？【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根细棒也没有构成环形，故前面的定式不能直接应用。若用元段分割叠加，也具有相当的困难。所以这里介绍另一种求电势的方法。每根细棒的电荷分布虽然复杂，但相对各自的中点必精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 1
21、8 页优秀学习资料欢迎下载然是对称的，而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相同。这就意味着：三棒对A 点的电势贡献都相同（可设为U1） ；ab 棒、 ac 棒对 B 点的电势贡献相同（可设为U2） ； bc棒对 A、B两点的贡献相同（为U1） 。所以，取走ab 前3U1 = UA2U2 + U1 = UB取走 ab 后，因三棒是绝缘体，电荷分布不变，故电势贡献不变，所以UA= 2U1UB= U1 + U2【答案】 UA= 32UA；UB= 61UA + 21UB。模型变换 正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成，各导体板带电且电势分别为U1、U2、U3和 U4，则盒子中心点O 的电势 U 等于
22、多少？解说 此处的四块板子虽然位置相对O 点具有对称性，但电量各不相同，因此对O点的电势贡献也不相同，所以应该想一点办法我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观：先将每一块导体板复制三块，作成一个正四面体盒子， 然后将这四个盒子位置重合地放置构成一个有四层壁的新盒子。在这个新盒子中， 每个壁的电量将是完全相同的（为原来四块板的电量之和）、电势也完全相同 （为U1 + U2 + U3 + U4） ，新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体，故新盒子的中心电势为U = U1 + U2 + U3 + U4最后回到原来的单层盒子，中心电势必为U = 41U答 U = 41（U1 + U2
23、 + U3 + U4） 。学员讨论： 刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形2”？（答： 不行， 因为三角形各边上电势虽然相等，但中点的电势和边上的并不相等。）反馈练习 电荷 q 均匀分布在半球面ACB 上，球面半径为R ，CD 为通过半球顶点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载C 和球心 O 的轴线，如图7-12 所示。 P、Q 为 CD 轴线上相对O 点对称的两点，已知P 点的电势为 UP，试求 Q 点的电势UQ。解说 这又是一个填补法的应用。将半球面补成完整球面，并令右边内、外层均匀地带上
24、电量为q 的电荷，如图7-12 所示。从电量的角度看，右半球面可以看作不存在，故这时 P、Q 的电势不会有任何改变。而换一个角度看，P、Q 的电势可以看成是两者的叠加：带电量为2q 的完整球面；带电量为 q 的半球面。考查 P 点， UP = kRq2+ U半球面其中U半球面显然和为填补时Q 点的电势大小相等、符号相反，即U半球面= UQ以上的两个关系已经足以解题了。答 UQ = kRq2 UP。【物理情形3】如图 7-13 所示， A、B 两点相距2L ，圆弧DCO是以 B 为圆心、 L为半径的半圆。 A 处放有电量为q 的电荷， B处放有电量为q 的点电荷。试问： （1） 将单位正电荷从O
25、点沿DCO移到 D 点，电场力对它做了多少功？（2）将单位负电荷从 D 点沿 AB的延长线移到无穷远处去，电场力对它做多少功？【模型分析】电势叠加和关系WAB = q（UA UB）= qUAB的基本应用。UO = kLq+ kLq= 0 UD = kL3q+ kLq= L3kq2U= 0 再用功与电势的关系即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载【答案】（1）L3kq2； （2）L3kq2。【相关应用】在不计重力空间，有A、 B 两个带电小球，电量分别为q1和 q2，质量分别为 m1和 m2，
26、被固定在相距L 的两点。试问： （1）若解除A 球的固定，它能获得的最大动能是多少？（ 2）若同时解除两球的固定，它们各自的获得的最大动能是多少？（3）未解除固定时，这个系统的静电势能是多少？【解说】第（ 1）问甚间；第（2）问在能量方面类比反冲装置的能量计算，另启用动量守恒关系；第（3）问是在前两问基础上得出的必然结论（这里就回到了一个基本的观念斧正：势能是属于场和场中物体的系统，而非单纯属于场中物体这在过去一直是被忽视的。在两个点电荷的环境中，我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。）【答】 （1）krqq21； （ 2）Ek1 = 212mmmkrqq21，Ek2 = 211mmmkrqq
27、21； （3）krqq21。思考 设三个点电荷的电量分别为q1、q2和 q3，两两相距为r12、r23和 r31，则这个点电荷系统的静电势能是多少？解 略。答 k（1221rqq+2332rqq+3113rqq） 。反馈应用 如图 7-14 所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m 、电量均为q ，用长度为L 的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。解 设剪断的是1、3 之间的绳子，动力学分析易知，2 球获得最大动能时，1、2 之间的绳子与2、3 之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知
28、，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2 球的速度为v ，1球和 3 球的速度为v，则动量关系mv + 2m v = 0 能量关系3kLq2= 2 kLq2+ kL2q2+ 21mv2 + 212m2v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载解以上两式即可的v 值。答 v = qmL3k2。三、电场中的导体和电介质【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板A 和 B，面积都是S ，间距为d（d 远小于金属板的线度） ，已知 A 板带净电量 +Q1，B 板带尽电量 +Q2，且 Q2Q1，试求：（1）两板内外
29、表面的电量分别是多少；（2）空间各处的场强； （ 3）两板间的电势差。【模型分析】由于静电感应，A、B 两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布（金属板虽然很薄，但内部合场强为零的结论还是存在的）；这里应注意金属板“很大”的前提条件，它事实上是指物理无穷大，因此，可以应用无限大平板的场强定式。为方便解题，做图7-15，忽略边缘效应，四个面的电荷分布应是均匀的，设四个面的电荷面密度分别为1、2、3和4，显然（1 + 2）S = Q1（3 + 4）S = Q2A板内部空间场强为零，有 2 k（1- 2-3- 4）= 0 A板内部空间场强为零，有 2 k（1+ 2+ 3- 4）= 0 解以上四式易得
30、1= 4 = S2QQ212= - 3 = S2QQ21有了四个面的电荷密度，、空间的场强就好求了如E =2 k（1+ 2-3- 4）= 2 kSQQ21 。最后， UAB = Ed【答案】（1）A 板外侧电量2QQ21、A 板内侧电量2QQ21，B 板内侧电量 -2QQ21、B板外侧电量2QQ21； （2）A 板外侧空间场强2kSQQ21，方向垂直A 板向外， A、B板之间空间场强2kSQQ21，方向由A 垂直指向B，B 板外侧空间场强2kSQQ21，方向垂直B板向外；（3）A、B两板的电势差为2kdSQQ21，A板电势高。学员思考 如果两板带等量异号的净电荷，两板的外侧空间场强等于多少？（
31、答：为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载零。 ）学员讨论 （原模型中）作为一个电容器，它的“电量”是多少（答：2QQ21）？如果在板间充满相对介电常数为r的电介质，是否会影响四个面的电荷分布（答：不会）？是否会影响三个空间的场强（答：只会影响空间的场强）？学员讨论 （原模型中）我们是否可以求出A、B 两板之间的静电力？答：可以；以A 为对象，外侧受力2QQ212E（方向相左），内侧受力2QQ212E（方向向右） ，它们合成即可，结论为F = Sk2Q1Q2，排斥力。【模型变换】如图7-16 所
32、示，一平行板电容器，极板面积为S ，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为r的均匀电介质，当两极板分别带上+Q 和- Q的电量后，试求： （1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强； （3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q1，介质部分电量为Q2，显然有Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有U1 = U2即11CQ= 22CQ，即kd42/SQ1= kd42/SQr2解以上两式即可得Q1和 Q2。场强可以根据E = dU关系求解，比较常规（上下
33、部分的场强相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E = 2k（单面平板） ，当 k 、同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看， k 的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E2，所以E2 = 4k（- ） = 4k（2/SQ2-2/SQ）请注意：这里的 和 Q是指极化电荷的面密度和总量；E = 4 k 的关系是由两精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18
34、 页优秀学习资料欢迎下载个带电面叠加的合效果。【答案】（1）真空部分的电量为r11Q ，介质部分的电量为rr1Q ； （2）整个空间的场强均为S)1 (kQ8r； （3）11rrQ 。思考应用 一个带电量为Q 的金属小球，周围充满相对介电常数为r的均匀电介质，试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。解 略。答 Q = rr1Q 。四、电容器的相关计算【物理情形1】由许多个电容为C 的电容器组成一个如图7-17 所示的多级网络，试问：（1）在最后一级的右边并联一个多大电容C，可使整个网络的A、B两端电容也为C？（2）不接 C，但无限地增加网络的级数，整个网络A、B 两端的总电容是多少？【模型
35、分析】这是一个练习电容电路简化基本事例。第（1）问中，未给出具体级数，一般结论应适用特殊情形：令级数为1 ，于是CC1+ C1= C1解 C即可。第（ 2）问中，因为“无限” ，所以“无限加一级后仍为无限”，不难得出方程总CC1+ C1= 总C1【答案】（1）215C ； （2）215C 。【相关模型】 在图 7-18 所示的电路中， 已知 C1 = C2 = C3 = C9 = 1F ， C4 = C5 = C6 = C7 = 2F ， C8 = C10 = 3F ，试求 A、B之间的等效电容。【解说】对于既非串联也非并联的电路，需要用到一种“ Y型变换”，参见图 7-19，根据三个端点之间
36、的电容等效，容易得出定式Y型： Ca = 3133221CCCCCCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载Cb = 1133221CCCCCCCCc = 2133221CCCCCCCY型： C1 = cbacaCCCCCC2 = cbabaCCCCCC3 = cbacbCCCCC有了这样的定式后，我们便可以进行如图7-20 所示的四步电路简化（为了方便， 电容不宜引进新的符号表达，而是直接将变换后的量值标示在图中）【答】约 2.23F 。【物理情形2】如图 7-21 所示的电路中，三个电容器完全
37、相同，电源电动势1 = 3.0V ，2= 4.5V，开关 K1和 K2接通前电容器均未带电，试求K1和 K2接通后三个电容器的电压Uao、Ubo和 Uco各为多少。【解说】 这是一个考查电容器电路的基本习题，解题的关键是要抓与o 相连的三块极板（俗称“孤岛”）的总电量为零。电量关系：CUao+CUao+CUao= 0 电势关系： 1 = Uao + Uob = Uao- Ubo精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载2 = Ubo + Uoc = Ubo- Uco解以上三式即可。【答】 Uao =
38、3.5V ，Ubo = 0.5V ， Uco = - 4.0V 。【伸展应用 】如图 7-22 所示，由n 个单元组成的电容器网络，每一个单元由三个电容器连接而成，其中有两个的电容为3C ，另一个的电容为3C 。以 a、b 为网络的输入端，a、 b为输出端，今在 a、b 间加一个恒定电压U ，而在 a b间接一个电容为 C 的电容器，试求： （1）从第k 单元输入端算起，后面所有电容器储存的总电能；（2）若把第一单元输出端与后面断开，再除去电源， 并把它的输入端短路，则这个单元的三个电容器储存的总电能是多少？【解说 】 这是一个结合网络计算和“孤岛现象”的典型事例。（1）类似“物理情形1”的计
39、算，可得C总= Ck = C 所以，从输入端算起，第 k 单元后的电压的经验公式为Uk = 1k3U再算能量储存就不难了。（2）断开前，可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图7-23中的左图所示。这时，C1的右板和C2的左板（或C2的下板和C3的右板）形成“孤岛”。此后，电容器的相互充电过程（C3类比为“电源”）满足电量关系： Q1 = Q3Q2 + Q3 = 3Q电势关系：C3Q3+ C3Q1= C2Q2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页优秀学习资料欢迎下载从以上三式解得Q1= Q3 = 7Q，Q2 = 21Q4，这样系统的储能就可以用21CQ2得出了。【答 】 （1）Ek = 1k2232CU； （2）63CU2。学员思考 图 7-23 展示的过程中，始末状态的电容器储能是否一样？（答：不一样；在相互充电的过程中，导线消耗的焦耳热已不可忽略。）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页