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1、精品资料欢迎下载第一篇、复合函数问题一、复合函数定义：设 y=f(u) 的定义域为A，u=g(x) 的值域为 B，若 AB，则 y 关于 x 函数的 y=fg(x) 叫做函数f 与 g 的复合函数， u 叫中间量 .二、复合函数定义域问题：（一）例题剖析：(1)、已知f x( )的定义域，求f g x( )的定义域思路：设函数fx( )的定义域为D，即xD，所以f的作用范围为D，又 f 对g x( )作用，作用范围不变，所以Dxg)(，解得xE，E为f g x( )的定义域。例 1. 设函数f u( )的定义域为（ 0，1） ，则函数fx(ln)的定义域为 _。解析：函数f u( )的定义域为
2、（ 0，1）即u()01，所以f的作用范围为（0，1）又 f 对 lnx 作用，作用范围不变，所以01ln x解得xe()1，故函数fx(ln)的定义域为（ 1，e）例 2. 若函数f xx( )11，则函数ff x( )的定义域为 _。解析：由f xx( )11，知x1即 f 的作用范围为xR x|1，又 f 对 f(x)作用所以fxRfx( )( )且1，即ffx( )中 x 应满足xf x11( )xR xx|12且（2） 、已知f g x( )的定义域，求f x( )的定义域思路：设f g x( )的定义域为D，即xD，由此得g xE( )，所以 f 的作用范围为E，又 f 对 x作用
3、，作用范围不变，所以xEE，为fx( )的定义域。例 3. 已知fx()32的定义域为x12，则函数f x( )的定义域为 _。解析：fx()32的定义域为12，即x12，由此得3215x，即函数fx( )的定义域为15，例 4. 已知fxxx()lg22248，则函数fx( )的定义域为 _。解析：先求 f 的作用范围，由fxxx()lg22248，知xx2280 f x( )的定义域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页精品资料欢迎下载()4，（3） 、已知f g x( )的定义域，求f h x( )的定义域思路：
4、设f g x( )的定义域为D，即xD，由此得g xE( )，f的作用范围为E， 又 f 对h x( )作用，作用范围不变，所以h xE( )，解得xF，F 为f h x( )的定义域。例 5. 若函数fx()2的定义域为11，则fx(log)2的定义域为 _。解析：fx()2的定义域为11，即x11，由此得2122x，f的作用范围为122，又 f 对log2x作用，所以log2122x，解得x24，即fx(log)2的定义域为24，（二）同步练习：1、 已知函数)x(f的定义域为 1,0，求函数)x(f2的定义域。答案： 1, 12、 已知函数)x23(f的定义域为 3, 3，求)x(f的定
5、义域。答案： 9, 33、 已知函数)2x(fy的定义域为)0, 1(， 求|)1x2(|f的定义域。答案：)23, 1()0,21(三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数)(xgfy. 若)(xgu在区间ba,(）上是减函数，其值域为(c ，d) ，又函数)(ufy在区间 (c,d)上是减函数，那么，原复合函数)(xgfy在区间ba,(）上是增函数 . 证明：在区间ba,(）内任取两个数21, xx，使bxxa21因为)(xgu在区间ba,(）上是减函数，所以)()(21xgxg, 记)(11xgu, )(22xgu即),(,21,21dcuuuu且因为函数)(ufy在区间 (c,d)
6、上是减函数，所以)()(21ufuf, 即)()(21xgfxgf，故函数)(xgfy在区间ba,(）上是增函数 . （2） 复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页精品资料欢迎下载)(ufy增 减 )(xgu增 减 增 减 )(xgfy增 减 减 增 以上规律还可总结为： “同向得增，异向得减”或“同增异减”. （3）、复合函数)(xgfy的单调性判断步骤：确定函数的定义域；将复合函数分解成两个简单函数：)(ufy与)(xg
7、u。分别确定分解成的两个函数的单调性；若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数)(xgfy为增函数；若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数)(xgfy为减函数。（4）例题演练例 1、 求函数)32(log221xxy的单调区间，并用单调定义给予证明解 ： 定 义 域130322xxxx或。 单 调 减 区 间 是),3(设2121),3(,xxxx且则)32(log121211xxy) 32(log222212xxy)32(121xx)32(222xx=)2)(1212xxxx312xx012xx021
8、2xx)32(121xx) 32(222xx又底数1210012yy即12yyy在), 3(上是减函数同理可证：y在)1,(上是增函数例 2、讨论函数)123(log)(2xxxfa的单调性 . 解由01232xx得函数的定义域为.31, 1|xxx或则当1a时，若1x，1232xxu为增函数，)123(log)(2xxxfa为增函数 . 若31x，1232xxu为减函数 .)123(log)(2xxxfa为减函数。当10a时 ， 若1x， 则) 123(l o g)(2xxxfa为 减 函 数 ， 若31x， 则) 123(l o g)(2xxxfa为增函数 . （5）同步练习：精选学习资料
9、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页精品资料欢迎下载1函数 y21log（x23x2）的单调递减区间是（）A （， 1）B （2，） C （，23）D （23，） 答案： B 2 找出下列函数的单调区间. （1）) 1(232aayxx； （2）.2322xxy答案： (1)在23,(上是增函数，在),23上是减函数。（2）单调增区间是 1 , 1，减区间是 3 , 1 。3、讨论)0,0(),1(logaaayxa且的单调性。答案：, 1a时),0(为增函数，01a时，)0,(为增函数。变式练习一、选择题1函数 f（x）)1(l
10、og21x的定义域是（） A （1，）B （2，）C （， 2）D21( ，解析： 要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，所以0) 1(log0121xx解得 1x2答案： D 2函数 y21log（x23x2）的单调递减区间是（） A （， 1）B （2，）C （，23）D （23，）解析： 先求函数定义域为（o，1）（ 2，），令 t（x） x23x2，函数 t（x）在（， 1）上单调递减，在（2，）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y21log（x23x2）在（2，）上单调递减答案： B 3若 2lg（x2y）lgxlgy，则xy的值为（） A4 B1 或41C
11、1 或 4 D41错解： 由 2lg（x2y）lgxlgy，得（ x2y）2xy，解得 x4y 或 xy，则有xy41或yx1答案： 选 B 正解： 上述解法忽略了真数大于0 这个条件，即x2y0，所以 x2y所以 xy 舍掉只有 x4y答案： D 4若定义在区间 （ 1，0）内的函数 f（x）a2log（x1）满足 f（x）0，则 a 的取值范围为 （）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页精品资料欢迎下载 A （0，21）B （0，21）C （21，）D （0，）解析： 因为 x（ 1，0） ，所以 x1（ 0，1）
12、 当 f（x） 0 时，根据图象只有02al，解得 0a21（根据本节思维过程中第四条提到的性质）答案： A 5函数 ylg（x121）的图象关于（） Ay 轴对称Bx 轴对称C原点对称D直线 yx 对称解析： ylg（x121）xx11lg，所以为奇函数形如yxx11lg或 yxx11lg的函数都为奇函数 答案： C 二、填空题已知 yalog（ 2ax）在 0，1上是 x 的减函数，则a 的取值范围是 _解析： a0 且 a1（x）2ax 是减函数，要使yalog（2ax）是减函数，则a1，又 2ax0a32（0 x1）a2，所以 a（ 1，2） 答案： a（ 1，2）7函数 f（x）的图
13、象与g（x）（31）x的图象关于直线yx 对称，则 f（2xx2）的单调递减区间为_解析： 因为 f（x）与 g（x）互为反函数，所以f（x）31logx则 f（2xx2）31log（2xx2） ，令（x） 2xx20，解得 0 x2（x） 2xx2在（ 0，1）上单调递增，则f（x） 在（ 0，1）上单调递减；（x） 2xx2在（ 1，2）上单调递减，则f（x） 在 1，2）上单调递增所以 f（2xx2）的单调递减区间为（0，1） 答案： （0，1）8已知定义域为R 的偶函数 f（x）在 0，上是增函数，且f（21） 0，则不等式 f（log4x）的解集是 _解析： 因为 f（x）是偶函数，
14、所以f（21）f（21）0又 f（x）在 0，上是增函数，所以 f（x）在（， 0）上是减函数所以f（log4x） 0log4x21或 log4x21解得 x2 或 0 x21答案： x2 或 0 x21三、解答题10设函数 f（x）532xxx2323lg，（1）求函数 f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明；（3）已知函数f（x）的反函数 f1（x） ，问函数 yf1（x）的图象与 x轴有交点吗 ?若有，求出交点坐标；若无交点，说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页精品资料欢迎下载解：
15、（1）由 3x50 且xx23230，解得 x35且23x23取交集得23x23（2）令（x） 3x5，随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数；xx2323 1x236随着 x 增大，函数值减小，所以在定义域内是减函数又 ylgx 在定义域内是增函数，根据复合单调性可知，yxx2323lg是减函数， 所以 f （x）532xxx2323lg是减函数（3）因为直接求f（x）的反函数非常复杂且不易求出，于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解设函数 f（x）的反函数 f1（x）与工轴的交点为（x0，0） 根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知， f（x）与 y 轴的交点是（
16、 0，x0） ，将（ 0，x0）代入 f（x） ，解得 x052所以函数yf1（x）的图象与 x轴有交点，交点为（52，0） 。一 指数函数与对数函数同底的指数函数xya与对数函数logayx互为反函数；（二）主要方法：1解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域；2指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3比较几个数的大小的常用方法有：以0和1为桥梁；利用函数的单调性；作差（三）例题分析：例 1 （1）若21aba，则logbba，logba，logab从小到大依次为；（2）若235xyz，且x，y，z都是正数，则2x，3y，5z从小到大依次为；（3）设0 x，且1xxab（0a，0b） ，则a与b的大小关系是（）（A）1ba（B）1ab（C）1ba（D）1ab解： （1）由21aba得baa，故logbbalogba1logab（2）令235xyzt，则1t，lglg 2tx，lglg 3ty，lglg5tz，2lg3lglg(lg9lg8)230lg 2lg3lg 2 lg3tttxy，23xy；同理可得：250 xz，25xz，325yxz （3）取1x，知选（B） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页