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1、1 第十三章 能量方法2WV 外力功的统一表达式外力功的统一表达式FW21F：广义力，：广义力， ：广义变形：广义变形31 1、轴向拉伸或压缩、轴向拉伸或压缩当沿杆件轴线的轴力当沿杆件轴线的轴力FN为变量时，长为为变量时，长为dx微段内的应变能为微段内的应变能为EAxxFV2)d(d2N13-1 杆件应变能的计算杆件应变能的计算EAlFlFWV2=21=2整个杆件的应变能为整个杆件的应变能为lEAxxFV02N2)d(4p2p2epeee222121GIlTGIlMGIlMMMWVlxGIxTV0p2d2)( 当扭矩当扭矩T沿杆件轴线为变量时，应变能为沿杆件轴线为变量时，应变能为5 3 3、弯
2、曲弯曲EIlMEIMlMMWV221212lxEIxMV02d2)(当弯矩当弯矩M沿杆件轴线为变量时，应变能为沿杆件轴线为变量时，应变能为6xEIxMxGIxTxEAxFVllld2)(d2)(d2)(2p22NxEIxMGIlTEAlFVld2)(222p22N或或78abABCF2F1例例1 拉杆在线弹性范围内工作拉杆在线弹性范围内工作. 受到受到F1和和F2 两个力作用两个力作用.(1) 若先在若先在 B 截面加截面加 F1 ， 然后在然后在 C 截面加截面加 F2 ；(2) 若先在若先在 C 截面加截面加 F2 ， 然后在然后在 B 截面加截面加 F1.分别计算两种加力方法拉杆的应变能
3、分别计算两种加力方法拉杆的应变能.9(1) 先在先在 B 截面加截面加 F1，然后在然后在 C 截面加截面加 F21.在在 B 截面加截面加 F1， B截面的位移为截面的位移为外力作功为外力作功为2.再在再在C上加上加 F2C截面的截面的位移为位移为F2 作功为作功为EAaFB11 EAaFBFW22121111 EAbaFCFW2)(2122222 EAbaFC)(22 abABCF2F1103.在加在加F2 后，后，B截面又有位移截面又有位移在加在加 F2 过程中过程中 F1 作功（常力作功）作功（常力作功）所以应变能为所以应变能为EAaFB22 EAaFFBFW21213 EAaFFEA
4、baFEAaFBFCFBFWV2122212122112)(22121abABCF2F111(2) 若先在若先在C截面加截面加F2 ，然后然后B截面加截面加F1.1.在在C截面加截面加F2 后，后， F2 作功作功2.在在B截面加截面加F1后，后， F1作功作功EAbaF2)(22 EAaF221abABCF2F13. 加加 F1引起引起 C 截面的位移截面的位移在加在加F1 过程中过程中F2作功（常力作功）作功（常力作功）EAaF1EAaFF21EAaFFEAbaFEAaFWV2122212)(2 所以应变能为所以应变能为12ABFlxxFxM )(EIlFxEIFxxEIxMVll6d2)
5、(-d2)(32022B21FW由由V=W 得得EIFl33BlxEIxMV02d2)(13 ql例例3 计算图示杆件的变形能。计算图示杆件的变形能。 xEIxMVld2)(2xEIqxqlxld22222EIlq240521415Fi ， Fj1、设在线弹性结构上作用力（系）、设在线弹性结构上作用力（系）一、功的互等定理一、功的互等定理13-2 互等定理互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功第二组力在第一组力引起的位移上所作的功. ii 由由Fi引起引起 ij 由由Fj引起引起 jj 由由Fj引起
6、引起 ji 由由Fi引起引起jijijiFF iiABFjFi jj ij jiij16二、位移互等定理二、位移互等定理若两组力系各只有若两组力系各只有1个力，且相等，则个力，且相等，则jiij 第一个力引起的在第二个力作用点沿第二个力的变形，第一个力引起的在第二个力作用点沿第二个力的变形，等于等于第二个力引起的在第一个力作用点沿第一个力的变形。第二个力引起的在第一个力作用点沿第一个力的变形。jijijiFF17BDBCADFDBBCADFDBBD例例例如：例如：欲求欲求BD18BCAPABMBABCA例如：例如：欲求欲求AB，令MP ABBA例例19思考思考：仅用一个挠度计，且只能安装一次，
7、如：仅用一个挠度计，且只能安装一次，如何测得图示悬臂梁何测得图示悬臂梁1、2、3、4各点的挠度？各点的挠度？ P54321 54321P1551152013-3 虚功原理虚功原理 杆件在外力杆件在外力Fi（F1,F2,Fn）（广义力）作用下作用）（广义力）作用下作用点会有点会有（真实的）位移（真实的）位移。 如果再有另外的外力（如温度变化，人为假象施加如果再有另外的外力（如温度变化，人为假象施加等）施加在杆件上，则沿着原有力系各力作用线方向将等）施加在杆件上，则沿着原有力系各力作用线方向将会有新的位移，可称为会有新的位移，可称为虚位移虚位移 。*iv 由于此时原有外力由于此时原有外力Fi大小不
8、再变化，则大小不再变化，则Fi在虚位移上在虚位移上做的功做的功（虚功）（虚功）为为*22*11nnvFvFvFW21*22*11nnvFvFvFW 从变形角度考虑。考虑一个微段，一般情况下，在从变形角度考虑。考虑一个微段，一般情况下，在原力系原力系作用下存在内力作用下存在内力TMFFsN、相应的，把虚变形分解为相应的，把虚变形分解为*dddd、l*dddddNsWFlFMT 则微段上内力的虚功为则微段上内力的虚功为积分有总虚功积分有总虚功*ddddNsWFlFMT两式应相等，即为两式应相等，即为虚功方程（虚功原理）虚功方程（虚功原理）。WW由于虚加作用力，杆件此时会有由于虚加作用力，杆件此时会
9、有虚变形虚变形2213-4 单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分 通过建立单位力系统，以通过建立单位力系统，以真实的位移真实的位移（欲求）作为（欲求）作为单位力系统的单位力系统的虚位移虚位移。应用虚位移原理，可以得到杆件。应用虚位移原理，可以得到杆件在弹性变形内在弹性变形内任意点沿任意方向任意点沿任意方向的位移。的位移。F1F2AA23 取同样的梁，只在取同样的梁，只在A点点沿所求位移方向作用沿所求位移方向作用单单位力位力 考虑考虑(b)梁，将单位力看梁，将单位力看作作真实载荷真实载荷，将，将(a)中位中位移作为移作为虚位移虚位移，则：，则：建立单位力系统建立单位力系统 xMFlAd（a）F
10、1F2AA A（b）1F11vFdM真实力真实力虚位移虚位移 真实内力真实内力 虚变形虚变形单位力单位力 真实位移真实位移单位力内力单位力内力 真实变形真实变形这里这里Fs略去，略去，FN和和T不存在不存在24（a）F1F2AA A（b）1M如果求的是如果求的是A截面的转角截面的转角 A xMFlAd单位力单位力 真实位移真实位移单位力内力单位力内力 真实变形真实变形1M则在则在A处应该施加处应该施加单位力偶单位力偶25 xEIxMdd xEIxMxMlAd（a）F1F2AA A（b）1F在线弹性范围内在线弹性范围内 xMFlAd单位力单位力 真实位移真实位移单位力内力单位力内力 真实变形真实
11、变形1F式中式中所以所以26pNNGIdxTTEIdxMMEAdxFF二、莫尔积分的普遍形式二、莫尔积分的普遍形式一般地，如果杆件内力有多个，则一般地，如果杆件内力有多个，则pNNGIlTTEIdxMMEAlFF轴力和扭矩一般是常量，则轴力和扭矩一般是常量，则单位载荷法单位载荷法 莫尔积分莫尔积分TMFN,原有载荷原有载荷作用下杆件内力作用下杆件内力TMFN,单位载荷单位载荷作用下杆件内力作用下杆件内力27ipiiiiiiNiNiGIdxTTEIdxMMEAdxFF)()()(如果有多个杆件，则如果有多个杆件，则或或ipiiiiiiiiNiNiGIlTTEIdxMMEAlFF)()()(282
12、2)(2qxxqlxM )(0lx ql/2AqCll/2ql/229AB11/21/2CxxxM21)( )2(0lx )(3845)d22(2)d22(2)d()(422220EIqlxqxxqlEIxlxqxxqlEIxEIxxMxMll/l/lcxlxM2121)( )2(lxl 22)(2qxxqlxM )(0lx iiiEIdxMM)(单位载荷法单位载荷法ql/2AqCll/2ql/230AB11/l1/lx11)( xlxM)(0lx EIqlxqxxqllxEIEIxxMxMllA24)d221)(1)d()(320ql/2AqCll/2ql/2iiiEIdxMM)(22)(2
13、qxxqlxM )(0lx 单位载荷法单位载荷法31aABCFlEI1EI232aABCFlEI1EI2xxFxxM )(FaxM )(xxM )(axM )(ABC1lEI1EI2xxa)(3)d( )(1)d( )(1d)()(d)()(221302010201AEIlFaEIFaxaFaEIxxFxEIxEIxMxMxEIxMxMlala（自己假定正方向）（自己假定正方向）330)( xM1)( xMFxxM )(FaxM )(ABCFlEI1EI2xxaABClEI1EI2xxa20202011d)(1d)()(d)()(EIFalxFaEIxEIxMxMxEIxMxMllaB1（顺）
14、（顺）34CFabAB35Fab1abxxABBACCFxxM )(xxM )(0)(N xF0)(N xFxxFaxM )(axM )(FxF )(N1)(N xF36xxFxFEAxxMxMEIC)d()(1)d()(1NN)(323EAFbEIbFaEIFaxaFaEIxxFxEIbad )(1d )(100 xFEAbd1)(10Fab1abxxABBACCxx单位载荷法单位载荷法37A1A2BCllFF38lxM )(FlxM )(FxxM )(xxM )(FxxM)(xxM)(FFxxxA1A2BCll11A1A2BC39)( 35 )d)(-(-)d)()d)(-(-13000靠
15、近EIFlxxFxx-l-FlxxFxEIllllxM )(FlxM )(FxxM )(xxM )(单位载荷法单位载荷法A1A2BCFFFxxM)(xxM)(40FaaFABCDE132456789a41FaaABCDE132456789aFaaFABCDE132456789a桁架求位移的单位载荷法为桁架求位移的单位载荷法为11 niiiiEAlFF1NN42iFNiFNiliiilFFNNF2F221 / 21 / 21 / 21 / a2a22Fa/2Fa/2Fa/EAFa.EAFaEAlFFiiiiAC124)232(91NN niiiiEAlFF1NN列表求解列表求解)(靠近FaaFA
16、BCDE132456789aFaaABCDE132456789a11Fa)232(43lxEIxMxMd)()(xEAxFxFld)()(NNxGIxTxTlpd)()(xxMxMl)d()(13-5 计算莫尔积分的图乘法计算莫尔积分的图乘法44满足三个条件满足三个条件1、 、 中至少有一个是中至少有一个是x的线性函数。的线性函数。2、要积分的杆段是直线。、要积分的杆段是直线。3、所要积分的杆段的、所要积分的杆段的EI是常数。是常数。)(xM)(xM可以用图乘法计算上述积分可以用图乘法计算上述积分xxMxMl)d()(45BxAxM )(xxMxBxxMAxxMBxAxxMxMllll)d()
17、d()d()(d )()(000 xxMl 0)d()(xM其中其中M图的面积图的面积ClxxxxM0)d(xdxM(x)xx)(xMlxcC形形心心46ClxxxM 0)d()()d()d(d )()(00CClllxBAxBAxxMxBxxMAxxMxMxxMl 0)d(CxBA BxAxM)(M(x)xlx)(xMxcC形形心心CMCMBxAxM )(47Cd )()(d )()(1MxxMxMxxMxMEIllEIMC M(x)xlx)(xMxcCCM48balh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线3bl 3al 2hl 85l83llh 3249lh顶点顶点cN 次抛物线
18、次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3hl 1 nhllnn2)1( 2 nl50折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，折线的转折点为界，把积分分成几段，逐段使用图乘法，有时有时M(x)图为连续光滑曲线，而图为连续光滑曲线，而为折线，则应以为折线，则应以M(x)然后求和。然后求和。注意注意EIMC EIMiiC51Cq522428323221qllqlllMC3254851CqC1EIMEIMCCC22114l12825l/ 1CM2CM82ql解：解：C2C1EIMC)(384532524243EIqllqlEI2CM53FCABalq54FCABalqMql2/8Fa1A
19、BalCaM1CM2CMC2C1C23CM321EIMEIMEIMEIMC33C22C11C322(1aFaaEIC)2123aql322aFal0)(83alaqlF55ABPl，EI例例11 求悬臂梁中点挠度。求悬臂梁中点挠度。AB1l/2Pl123)231()2221(12/1lPllEI)232()221(lPllABPl，EIPl123)221()22(12/1lPllEI)232()2221(lPll EIPl4853练习练习56CFabAB练习练习571abBACFabABCFaFaaa)3(1)322(1322FabFaEIaFaaFabEIC58FabABCFaFa)2(1) 121(122FaFabEIFaFabEIC1abBAC11