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1、线性代数2015-9上海海事大学数学系1第一章第一章 行列式行列式1.1n 阶行列式的定义及性质,211222112121221aaaababax021122211aaaa22221211212111bxaxabxaxa211222111212112aaaababax二阶行列式用于解二元一次联立方程组当时，1112112212212122aaDa aa aaa11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa 1221a a 二阶行列式的计算二阶行列式的计算对于二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa若记若记,22211211aaaaD 系数行列式
2、系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为：则二元线性方程组的解为：1122221111122122babaDxaaDaa1112122211122122ababDxaaDaa当当0D时时12212211221221b aa ba aa a ，11212111221221a bb aa aa a 1212232121xxxx求解二元线性方程组:例解071223D14112121D21121232D211DDx322DDx9,3122133321
3、12322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa333231232221131211aaaaaaaaa由由9 9个元素排成三行三列的式子定义的表达式个元素排成三行三列的式子定义的表达式称为称为三阶行列式三阶行列式。10333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa沙路法沙路法.312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的
4、乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 12说明说明 1. 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. .333323113123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa设三元线性方程组03332
5、31232221131211aaaaaaaaaD当时，3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD DDxDDxDDx332211,其中,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaa
6、aaa高阶行列式如何定义？高阶行列式如何定义？在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的余子式，记作的余子式，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的代数余子式的代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aa
7、aaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别18131312121111AaAaAa 以上三阶行列式是用比其低一阶的二阶行列式以上三阶行列式是用比其低一阶的二阶行列式定义的。定义的。 于是，我们可以得到更一般的行列式的定义。于是，我们可以得到更一般的行列式的定义。111213212223313233aaaaaaaaa
8、定义定义 由由n2 2个数个数aij( (i, ,j=1,2,=1,2, ,n) )组成的组成的n n 阶行列式是阶行列式是一个算式一个算式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211当当n=1=1时，时， Da1111当当n 2 2时时, ,1.1.1 1.1.1 n n 阶行列式的定义（递归法）阶行列式的定义（递归法）其中：其中：aij称为行列式的第称为行列式的第i行，第行，第j列的元素列的元素; ;是划去是划去D的第的第i行第行第j列后的列后的n 1阶行列式阶行列式;ijMnnAaAaAaD1112121111ijjiijMA) 1(定义定义上式也称为上式也称为行列式按第一行
9、展开行列式按第一行展开。元素元素aijaij的余的余子式子式元素元素aijaij的代数余子式的代数余子式练习：计算行列式练习：计算行列式123461.2.40537012 100022003.3330nnnnL LL LL LLLLLL L1.1.2 n阶行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的
10、地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .例如例如,571571 266853266853.825825 361567567361推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 . 0 D,DD 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa
11、212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnnii
12、niiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnnininnninnniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2122222111121121222221111211例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变nnnjninnjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111nnnjnjninnjjinjjijiaakaaaaakaa
13、aaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如性质性质7 7 行列式等于它的任一行（列）的各元素行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaaaaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行
14、（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjnijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质nkikjk 1D ,ij,a A0 ,ij; 当当当当nikjkk 1D ,ij,a A0 ,ij; 当当当当例：设3142313150111253D求： 4131211114131211 , MMMMAAAA解： 43-1-4-23131-50111111 14131211AAAA03141313150111251 4131211141312111AAAAMMMM练习1：计算行列式72016110264082113D练习2：计算行列式 0532004140013202527102135D 40， -1080注意观察按哪一行或哪一列展开