7_梅森公式的证明及应用.ppt

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1、电子工程系电子工程系无无2222班班喻浩喻浩赵欣赵欣肖元章肖元章马存庆马存庆蔡金蝉蔡金蝉梅梅森森公式公式 大家都知道，用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数）其表达式为：nkkkPP11式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：PnkP梅森公式的回顾梅森公式的回顾.1fedcbaLLLLLL（正负号间隔）式中： 流图中所有不同回路的回路传输之和；aL 所有互不接触回路中，每次取其中两个回 路传输乘积之和； cbLL 所有互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和

2、；fedLLL第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；k梅梅森森公式公式梅梅森森公式的推导公式的推导梅森公式的推导（先梅森公式的推导（先 用一个一般性的图来证明）用一个一般性的图来证明）1bdelk1gfhmRCV1V2V3如右图已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVVRfbVVVkdehglm01101321于是可求得该方程组的系数行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(

3、11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012梅梅森森公式的推导公式的推导根据克莱姆法则得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是传递函数为mkedlhmhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路

4、。 梅梅森森公式的推导公式的推导图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有单独回路增益之和为 两两互不接触回路增益乘积之和为 dlhmhmkeLLkjkj,而值就是 mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。 梅逊公式的推导梅逊公式的推导梅梅森森公式的推导公式的推导 如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示 前向通道

5、前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1梅逊公式的推导梅逊公式的推导1bdelk1gfhmRCV1V2V3mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,梅梅森森公式的推导公式的推导故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为 kkkPsRsCs)()()(梅逊公式的推导梅逊公式的推导传递函数的分子等于系数行列式除以R(s)。而 恰好为 R2bgdlmfbdePPPPRkkk)1 (3322112前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1ml

6、dR V1 V2 CP3=bg3=1梅梅森森公式的推导公式的推导 以上我们用一个比较简单但是又不是一般性的图导出了梅森定理。对于一般性的情况，证明也是类似的。 一般情况的证明是很麻烦的，下面简述其证明过程中的关键步骤。梅梅森森公式的推导公式的推导 梅森定理证明的关键步骤: 从上面的证明可以看出，信号流图中的一些量与写出来的节点方程组得系数矩阵的一些量是由一定的联系的，事实上它们之间是必然联系的。 为了了解这其中的联系，我们引进信号流图的矩阵描述。 信号流图有两个显著的特点，即支路和节点的关联，即支路和节点的赋权。因此，我们自然联想到用矩阵来描叙它。梅梅森森公式的推导公式的推导 定义下列矩阵 分

7、支矩阵分支矩阵B B是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列 对应于支路。 B=bij，bij= 因为每条支路只能有一个起点，故每列只能有一个元素为1。 汇总矩阵汇总矩阵S S也是一个节点-支路关联矩阵。行对应于节点，列对应于支路。 S=sij，sij= 因为每条支路只能有一个终点，故梅列也只能有一个元素为1。1ji0，若支路 的起点是， 否则1ji0，若支路 的起点是节点， 否则梅梅森森公式的推导公式的推导 显然B-S即为有向图中的节点-支路的关联矩阵A。 关联矩阵A A=aij，aij= 支路的权矩阵支路的权矩阵W W是一个b阶对角矩阵（b是图中的支路数）。 W=wij，wij= 上述B

8、，S，W三个矩阵完全描叙了信号流图。1ji1ji0，若支路的起点是节点，若支路的终点是节点， 否则wiji=jwiji0ij，是支路的权，即支路传输， 梅梅森森公式的推导公式的推导 下面介绍一些定理和性质。 对于下列方程组： AX=Y （1） 式中 A= ，Y= 有下定理成立： 定理定理1 设矩阵为B，S和W的信号流图描叙了方程组（1），则有： 式中I是单位矩阵，阶数n。是B的转置。121n212nn1n21.1.1aaaaaa12n.yyy梅梅森森公式的推导公式的推导 定理定理2 设B（或S）的方子矩阵F包括K个节点（1，2，3，K）和条支路（b1,b2,bk）。当且仅当K个节点中的每个节点

9、正好有一条出（或入）支路在（b1,b2,bk）中，则F为非奇异矩阵奇异矩阵。 定理定理3 B和S对应方子矩阵F1和F2(它们有同样的行和列所定义)均为非奇异的，当且仅当对应于F1和F2的列的支路形成环或不接触环集。不接触环集是由一些不接触环组成的集合。不接触的意义是该集合众人和两个环都没有公共节点。梅梅森森公式的推导公式的推导 定理定理4 设F1和F2分别为B和S的非奇异子矩阵，令L1，L2，Lr为对应于F1和F2的列的支路所形成的不接触环集。N为环集（L1，L2，Lr）中有偶数支路的环数。当且仅当N为偶数时。F1 和F2的行列式（即都为1和-1）。 定理定理5 设F1和F2分别为B和S的非奇

10、异子矩阵。支路b1,b2,bk对应于F1和F2的列。L1 ， L2，Lr是由支路b1,b2,bk所构成的不接触环集，则当且仅当K和r同时为偶数或奇数时，F1和F2的行列式|F1|和|F2|才相等。梅梅森森公式的推导公式的推导 定理定理6 设G为方程组AX=Y所对应的信号流图。A为式（1）所定义的矩阵。G中的环级为（L1，L2，Lr）。Wi为环Li （i=1，2r）的传输，则A的行列式 |A|=1-Wi+WiWj +WiWjWm 式中a是（i,j,m）中的元素数，即最多的不接触环集中的环数，又称图行列式，用文字说明就是: |A|=1 -（所有环的环传输之和）+（所有两个不接触环的环数）+ （所有

11、a个不接触环的环传输之和）梅梅森森公式的推导公式的推导 定理定理7 设Aij是行列式|A|中aij 余因式，则当ij时，Aij= Pkk 式中Pk是从节点i到j的第K条路的传输。k是不接触从i到j的第K条路的图行列式。他是在图G中取掉Pk的所有节点和这些节点所关联的支路后按（1-42）式算出的图行列式。 表示所有可能的从节点i到j的路求和。 由定理6和7很容易推出梅森公式。梅梅森森公式的推导公式的推导 梅森公式不仅能求输入输出函数的比值的（传输函数），对与流图中的任意一个节点的信号与输入结点信号的比值也同样是成立的。这个很好理解，因为输出节点并没有什么特殊的地方，也仅仅是流图中的一般点，只是我

12、们赋予了它特殊的含义罢了。下面就就举一例说明梅森公式对流图中任一点与输入点的信号的比值的作用。梅梅森森公式公式例：使用Mason公式计算下述结构图的传递函数)()(,)()(sRsEsRsC解：在结构图上标出节点，如上。然后画出信号流图，如下：+-1G2G3G4G1H2HRECRCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPP

13、kkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：213212311,HHGGGHGHG213121321231111HHGGHHGGGHGHGLLLcba11211, 1HG21312132123111431433212111HHGGHHGGGHGHGHGGGGGGGGPPkkk求 ：前向通道有二，分别为:)()(sRsC,3211GGGP 432GGP RCE1G2G3G1H2H21HH4G梅梅森森公式公式梅梅森森公式注意事项公式注意事项注意：梅森公式只能求系统的总增益，即输出对输入的增益。而输出对混合节点（中间变量）的增益就不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地通过引出一条增益为一的支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点的所有输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点的传递函数，然后把它们的结果相比，即可得到输出对该混合节点的传递函数。