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1、第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理第一节第一节 大数定律大数定律第二节第二节 中心极限定中心极限定理理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、典型例题三、典型例题四、小结四、小结实例实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和, 这些因素包括这些因素包括: 瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等如外形、重量等) 的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因
2、素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等) 的作用的作用, 所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们并且它们中每一个对总和产生的影响不大中每一个对总和产生的影响不大.问题问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况研究其概率分布情况.定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）则随机变量之和的则随机变量之和的和方差：和方差：且具有数学期望且具有数学期望同一分布同一分布服从服从相互独立相互独立设随机
3、变量设随机变量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn nkknkknkknXDXEXY111标准化变量标准化变量 nnXnkk 1 xnnXPxFxxFnkknnnn 1lim)(lim)(满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数定理四表明定理四表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn xtxt).(de2122 它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.例例 根据以往经验，某种
4、电器元件的寿命服从均根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为值为100小时的指数分布小时的指数分布. 现随机地取现随机地取16只，设只，设它们的寿命是相互独立的它们的寿命是相互独立的. 求这求这16只元件的寿命只元件的寿命的总和大于的总和大于1920小时的概率小时的概率.由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立，独立，16只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为161kkYX解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100, D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由题给条件知由题给条件知,诸诸Xi独立独立,16只元件的
5、寿命的总和为只元件的寿命的总和为161kkYX解解: 设第设第i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi , i=1,2, ,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)1600400Y P(Y1920)=1-P(Y 1920) =1- (0.8)40016001920( 1-=1-0.7881=0.2119, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 时时使得当使得当若存在正数若存在
6、正数记记和方差：和方差：们具有数学期望们具有数学期望它它相互独立相互独立设随机变量设随机变量李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五( (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理) )则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 满足满足对于任意对于任意的分布函数的分布函数xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 定理五表明定理五表明:.,121近似地服从正态分布近似地服从正态分布很大时很大时当当那么它们的和那么它们的和只要满足定理的条件只要满足定理的条件分布分布服从什么服从什么无论各个随
7、机变量无论各个随机变量nXXXXnkkn ( (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布) )下面介绍的定理六是定理四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况. xtnnnxtxpnpnpPxppnn).(de21)1(lim,)10(,), 2 , 1(22 恒有恒有对于任意对于任意则则的二项分布的二项分布服从参数为服从参数为设随机变量设随机变量,1 nkknX 德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) )定理六表明定理六表明:正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分大时充分大时, 可以利用该定理来
8、计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近. 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,),(pnBX则则,017. 0,10000 pn其中其中由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉
9、普拉斯定理知知,例例 2001000010000 XP200 XP )1(200)1(pnpnppnpnpXP 321. 2)1(pnpnpXP.01. 0)321. 2(1 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率20120(1,2,20),(0,10),105.kkkVkVVP V一加法器同时收到个噪声电压设它们是相互独立的随机变量且都在区间上服从均匀分布 记求的近似值解解, 5)( kVE).20, 2 , 1(12100)( kVDk由定理四由定理四, 随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N (0,1) ,例例12012100520201 kkVZ2012100520
10、V其中其中 105VP20121005201052012100520 VP387. 02012100520 VP387. 020121001001 VP 387. 02de2112tt)387. 0(1 .348. 0 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次
11、试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在在90 000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,. )31,00090( bX且且例例2所求概率为所求概率为3050029500 XP.323190000900003050029501kkkk 分布律为分布律为kXP ,32310009000090kkk .00090, 1 k直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理3050029500 XP )1(30500)1()1(29500pnpnppnpnpXpnpnpP )1(305
12、00)1(295002de212pnpnppnpnptt )1(29500)1(30500pnpnppnpnp ,31,90000 pn3050029500 XP 225225 .9995. 0 对于一个学生而言对于一个学生而言, 来参加家长会的家长来参加家长会的家长人数是一个随机变量人数是一个随机变量. 设一个学生无家长、设一个学生无家长、1名名家长、家长、 2名家长来参加会议的概率分别为名家长来参加会议的概率分别为0.05，0.8，0.15. 若学校共有若学校共有400名学生名学生, 设各学生参加设各学生参加会议的家长数相互独立会议的家长数相互独立, 且服从同一分布且服从同一分布. (1)
13、 求求参加会议的家长数参加会议的家长数 X 超过超过450的概率的概率; (2) 求有求有1名家长来参加会议的学生数不多于名家长来参加会议的学生数不多于340的概率的概率.解解, )400 , 2 , 1( )1(长数长数个学生来参加会议的家个学生来参加会议的家第第记记以以kkXk 例例3 的分布律为的分布律为则则kX15. 08 . 005. 0210kkpX, 1 . 1)( kXE易知易知)400, 2 , 1(,19. 0)( kXDk , 4001 kkXX而而根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理， 19. 04001 . 1400 4001 kkX随机变量随机
14、变量 19. 04001 . 1400 X),1, 0( N近似服从正态分布近似服从正态分布 19. 04001 . 140045019. 04001 . 1400 XP450 XP于是于是 147. 119. 04001 . 14001 XP;1357. 0)147. 1(1 , )2(议的学生数议的学生数记有一名家长来参加会记有一名家长来参加会以以Y ),8 . 0,400( bY则则由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,340P Y 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400 YP 5 . 22 . 08 . 04008 . 040
15、0 YP.9938. 0)5 . 2( 例 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?解：用设供电量为y, 则从Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.Yb(140,42)/15 14015(0.9542140/15 140)4242yPYyPYy 2260.y中解得/15 140(1.645)0.95,1.64542y则三个中心极限定理三个中心极限定理 独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李
16、雅普诺夫定理( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布. Aleksandr Mikhailovich LyapunovBorn: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, RussiaAbraham de Moivre Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov
17、. 1754 in London, EnglandPierre-Simon Laplace Born: 23 Mar. 1749 in Beaumont-en-Auge, Normandy, France Died: 5 Mar. 1827 in Paris, France第一节第一节 大数定律大数定律. ,., 1lim , 2121aYaYYYaYPaYYYPnnnnn 记记为为依依概概率率收收敛敛于于则则称称序序列列有有若若对对于于任任意意正正数数是是一一个个常常数数序序列列是是一一个个随随机机变变量量设设随随机机变变量量 定义定义5.1:22( ),( )( )( )( ).XD XD
18、 XD XP XE XP XE X契比雪夫不等式 设随机变量 存在有限方差则对任意正数 有或上一页上一页下一页下一页返回返回12121211 (),()()(),(),.()(1,2,),11 lim ()1.ninniiniiXXXE XE XD XD XD Xl iliPXE Xnn契比雪夫大数定理 设是相互独立的随机变量序列，各有数学期望,及方差并且为与 无关的常数.则对于任意正数有 定理定理5.1:上一页上一页下一页下一页返回返回1lim 1 ,.)2 , 1()(,)(:,)( 1221 nnnkknkinYPXnYnkXDXEXXX有有则则对对于于任任意意正正数数个个随随机机变变量
19、量的的算算术术平平均均作作前前期期望望和和方方差差的的数数学学相相互互独独立立，且且具具有有相相同同设设随随机机变变量量况况契契比比雪雪夫夫定定理理的的特特殊殊情情定理定理5.2:上一页上一页下一页下一页返回返回0lim pnnPAn或或1lim pnnPAn证明：设证明：设Xi表示第表示第 i 次试验中事件次试验中事件A出现的次数，出现的次数，i=1,2,n,则则X1,X2,Xn相互独立且均服从参数为相互独立且均服从参数为p的的(0-1)分布，故有分布，故有 E(Xi)=p, D(Xi)=p(1-p) i=1,2,n且且 ，由契比雪夫大数定律知，对于任意，由契比雪夫大数定律知，对于任意的的
20、，有，有 niiAXn10 01limlim1 pXnPpnnPniinAn （贝努利大数定律）以（贝努利大数定律）以nA是是n次独立重复试次独立重复试验中事件验中事件A出现的次数出现的次数. p是事件是事件A在每次试验中发生的在每次试验中发生的概率概率 (0p0有有:定理定理5.3:上一页上一页下一页下一页返回返回 (辛钦大数定律辛钦大数定律)设随机变量设随机变量X1 ,X2 ,Xn ,相互独立相互独立,服从同一分布，且具有数学期望服从同一分布，且具有数学期望E(Xi)= (i=1,2,) ，则对于任意正数，则对于任意正数 ,有有定理定理5.4:11lim1 nkknXnP上一页上一页下一页
21、下一页返回返回 (独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理)设随机变量设随机变量X1 ,X2 ,Xn ,相互独立相互独立,服从同一分布服从同一分布,且具有数学且具有数学期望和方差，期望和方差，E(Xk)= , D(Xk)= 2 0( k=1,2,).则随则随机变量机变量定理定理5.5:的分布函数的分布函数Fn(x) , 对于任意对于任意x ,有有 nnXXDXEXYnkknkknkknkkn 1111)()(第二节第二节 中心极限定理中心极限定理 xtnkknnndtexnnXPxF21221lim)(lim 上一页上一页下一页下一页返回返回n它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，
22、n个具有期望个具有期望和方差和方差n的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态之和近似服从正态分布分布. (李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理)设随机变量设随机变量X1 ,X2 ,Xn ,相相互独立互独立,它们具有数学期望和方差它们具有数学期望和方差:01lim122 nkkknnXEB 定理定理5.6:,.)2 , 1(0)()( 2 kXDXEkkkk ,122时时使使得得当当若若存存在在正正数数设设 nBnknn 上一页上一页下一页下一页返回返回dtexXBPxFxtnkkknnnn 21221)(1lim)(lim 满满足足对对于于任任意意的的分分布布函函数数则则随随机机变变量量,)
23、()()(11111xxFBXXDXEXZnnnkknkknkknkknkkn 上一页上一页下一页下一页返回返回knpnpqxxtnXn ppnknpP XknpqnpqnpqpqknxxnpXxtnpp222()222,(01)111().211,0,1,2,().211,lim(1)2 设设 随随 机机 变变 量量服服 从从 参参 数数 为为的的 二二 项项 分分 布布 ， 则则（） （ 拉拉 普普 拉拉 斯斯 定定 理理 ） 局局 部部 权权 限限 定定 理理 ：当当时时 ，e e其其 中中 e e（） （ 德德 莫莫 弗弗 - - 拉拉 普普 拉拉 斯斯 定定 理理 ） 积积 分分 极
24、极 限限 定定 理理 ：对对 于于 任任 意意有有e ed d定理定理5.7:上一页上一页下一页下一页返回返回例：某保险公司有例：某保险公司有10000个同龄又同阶层的人参加人寿个同龄又同阶层的人参加人寿保险，已知该类人在一年内死亡的概率为保险，已知该类人在一年内死亡的概率为0.006，每个参加保险的人在年初付每个参加保险的人在年初付12元保险费，而在死亡元保险费，而在死亡时家属可向公司领得时家属可向公司领得1000元。问在此项业务活动中：元。问在此项业务活动中：(1)保险公司亏本的概率是多少？保险公司亏本的概率是多少？ (2) 保险公司获得利润不少于保险公司获得利润不少于40000元的概率是
25、多少？元的概率是多少？上一页上一页下一页下一页返回返回120 XPPX120=1-解：设这解：设这10000人中一年内死亡的人数为人中一年内死亡的人数为X，则，则Xb(10000,0.006),保险公司一年收取保险公司一年收取1000012=120000元保险费，故仅当每年死亡人数超过元保险费，故仅当每年死亡人数超过120人时公司才会人时公司才会亏本，当每年死亡人数不超过亏本，当每年死亡人数不超过80人时公司获利不少于人时公司获利不少于40000元。由此可知，所求的概率分别为元。由此可知，所求的概率分别为PX120及及 。80 XP64.596012064.59601 XP0)7693.7(1 60806080(2.5898)0.995259.6459.64XP XP 上一页上一页下一页下一页返回返回