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1、置 换 群(pormutation group) 本讲的教学目的和要求:置换群是一种特殊的变换群。换句话说，置换群就是有限集上的变换群。由于是定义在有限集上，故每个置换的表现形式，固有特点都是可揣测的。这一讲主要要求：1、 弄清置换与双射的等同关系。2、掌握置换轮换对换之间的联系和置换的奇偶性。3、置换的分解以及将轮换表成对换之积的基本方法要把握。4、对称群与交错群的结构以及有限群的cayley定理需要理解。本讲的重点与难点：对于置换以及置换群需要侧重注意的是：对称群和交错群的结构和置换的分解定理定理2 。注意： 由有限群的cayley定理可知：如把所有置换群研究清楚了。就等于把所有有限群都研
2、究清楚了，但经验告诉我们，研究置换群并不比研究抽象群容易。所以，一般研究抽象群用的还是直接的方法。并且也不能一下子把所有群都不得找出来。因为问题太复杂了。人们的方法是将群分成假设干类即附加一定条件；譬如有限群；无限群；变换群；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页非变换群等等。对每个群类进行研究以设法答复上述三个问题。可惜， 人们能弄清的群当今只有少数几类后面的循环群就是完全解决了的一类群大多数还在等待人们去解决。变换群是一类应用非常广泛的群，它的具有代表性的特征置换群，是现今所研究的一切抽象群的来源，是抽象代数创始人
3、E.Galais(1811-1832)在证明次数大于四的一元代数方程不可能用根号求解时引进的。一 置换群的基本概念A到自身的映射都叫做A的一个变换， 如果A是有限集且变换是一一变换双射 ，那么这个变换为A的一个置换。有限集合A的假设干个置换假设作成群，就叫做置换群。含有n个元素的有限群A的全体置换作成的群，叫做n次对称群。通常记为nS. 明示： 由定义 1 知道，置换群就是一种特殊的变换群即有限集合上的变换群 而n次对称群nS也就是有限集合A的完全变换群。现以321,aaaA为例，设：AA是A的一一变换。 即: 1a2a,2a3a, 3a1a, 利用本教材中特定的表示方法有：21aa，32aa
4、，13aa. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3,2,1A. 故此 . :12,23,31. 稍做修改 : ：213213=132321. 用=132321来描述A的一个置换的方便之处是显而易见的. 当然 , 上述的置换可记为123312，321213, 但习惯上都将第一行按自然序列排写这就可以让我们都统一在一种表示置换的方法内进行研究工作了. 习惯上称它为三元置换. 乘积 . 设3,2,1A的任二个置换132321,213321, 那么由于和都是一一变换, 于是也是A的一一变换 . 且有:11,22,33. 用
5、本教材的记法为:11,22,33. 换句话说 :321321123321132321例1. 计算以下置换的乘积: (1) , (2) 2, (3) 2. 解: 3213211323212133212133213213213213212精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页2133213213212133212注意 : 置换乘积中 , 是从左到右求变换值, 这是与过去的习惯方法不同的 . 例2. 设3,2,1A, 那么A的全部一一变换构成的三次对称群为5432103, S. 其中3213210, 2313211, 312
6、32121323213, 2133214, 1233215所以bS! 33. 其中00是3S的单位元 . 定理 1.n次对称群nS的阶是! n. 由于置换群也是变换群, 故必蕴含着变换群的一切特征. 譬如 , 不可交换性 : 231321312321213321132321312321231321三 循环置换及循环置换分解. (1) 循环置换 ( 轮换) 8761253487654321,的变换过程为153241,即其他元素都不改变, 假设将不发生改变的文字都删掉, 那么上述置换可写成循环置换的形式:53241精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
7、- -第 4 页，共 12 页注意 :循环置换是置换的另一种表达形式, 它以发生变化的文字的变化次序为序 , 表达成轮换的形式 .虽然表达形式简捷 , 但所含置换的原有文字的数目可能反映不出来. 这要求事先予以说明 . 例如. “8 元置换53241”. 一般地, 每个循环的表达方法不唯一, 例如. 324154153253241这是 因为, 每个循环置换都可视为一个首尾相接的圆环: 所以, 循环中的每个文字都可以置于首位. 一旦首位确定后 ,整个循环置换的表达形式也就确定了. 但习惯上 , 总是将循环置换中出现的最小文字置在首位. .8S的单位 ( 恒等置换 )3210同上, 习惯写成10.
8、定义2. nS中的一个将1i变到2i，2i变到kii,3变回到1i而其余文字如果还有其他文字不发生变化的置换，叫做k循环置换或称k循环 , 记为 (kiiii321,) 例 3在5S中. 3215413254321叫作 3循环置换 . 543211543254321叫作 5循环置换 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页15432154321叫作 1循环置换 . 2循环置换分解很容易发现，并不是每个置换都能成为循环置换. 比方 5 元置换1254354321不可能是循环置换，但我们会发现(*)42531523415
9、432114523543211254354321可见，虽不是循环置换，但它是循环置换之积。定义 3. 设kiii,21和sjjj,21都是循环置换 . 如果与 不含相同的文字，那么称与是不相连的 . 定理 2. 每一个n元置换都可以写成假设干个不相连的循环置换的乘积 . 循环置换分解定理【证明】 . 设是nS中任一个n元置换，下面对中改变文字的个数用数学归纳法。如果使n, 3, 2, 1中每个文字都不发生改变，则是恒等置换 . 即1，定理 2 成立 . 假设最多变动)(1nrr个文字时， 定理成立。 现考察变动了r个元的情形：首先在被变动的文字中随意取一个文字1i，从1i出发找到1i在下的象2
10、i, 再找2i的象3i, , 直到找到ki，其中：1iik. 于是1321iiiiik因为只变动了rr个文字，故rk. 如果rk，则本身就是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页一个r循环置换 :kiii,21定理证毕。如果rk， 模仿(*)的做法。nrrknrrkkiiiiiiiiiiiiii11132112112111111121111111111321121knrrkknrkknnrrkknrrkknrrknrrkkiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii由于中只变
11、动了r个文字，1中只能变动rkr个文字 . 由归纳假设，1必可以写成假设干个不相连的循环置换之积:m211还需特别说明:1中的所有循环置换m,21中不可能再出现kiii,21, 否则 , 当kpiigpt因为m,21是互不相连 ,pi只在t中出现 .1将gpii，但前面已有nrrkknrrkkiiiiiiiiiiiiii112111211即1将使pi保持不动，这样就导出了矛盾. 这恰说明：mkiii2121是互不相连的循环置换之积. 明示： 将置换写成不互相连的循环置换之积是表示置换的第二种方法 . 四循环置换的性质问题 1.3S是一个 3 阶群三次对称群 ，所以3S中每个精选学习资料 - -
12、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页元素的阶自然都是以有限的，那么具体是多少呢？比方：321132321, 则2313213212, 132123123.3这里是 3- 循环置换，恰好的阶是3. 这不是巧合 , 我们有：结论 1. k循环置换kiii21的阶就是k解释：k循环置换kii i21的一次方则将1i变成2i，二次方则将1i变成3i，k次方则将1i变回到1i，其余文字也是如此。所以，当km时，1m而1k. k.问题2. 每个置换都是双射，那么的逆置换也必是双射必也是置换，那么1会是什么样子呢？设31452543215432123
13、51423514543211假设将表成循环置43521253411说明： 循环置换的逆置换1就是将每个文字的变动方向反向 . 结论2:k循环置换kiii21的逆置换也是循环置换且1211iiiikk问题 3. 由前已知 , 两个变换一般是不能交换的, 所以 , 两个置换一般也不能交换的. 但是我们会发现. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页设54,231结论 3. 两个不相连的k循环置换是可以交换的。结论 4. 任一个k循环置换kkkkkkkkiiiiiiiiiiiiiiiiii i1321111312121定义
14、4. 每个2循环置换都叫做一个对换. 利用结论 4, 我们有 : 定理 3. 每个n元置换都能表示成假设干个对换的乘积。例 4.)71)(73)(75)(72()72)(12)(32)(52(71352结论 4 是 “因地制宜” 用现有的文字构成对换之积，有时我们需要一些其他文字“加入”对换之中, 于是有了结论 5. 设kiiij21. 且12121ijiiijiiikk五. 置换的奇偶性 . 虽然由结论4,5 可知 , 每个置换都能写成对换之积. 且对换之积的表示形式不是唯一的. ( 比方4321432143124321) 但对换个数的奇偶性是不会改变的。结论 6. 任意一个置换表成对换之积
15、时，表示式中对换个数的奇偶性不变. 定义 5. 一个置换叫做偶 ( 奇置换可以表成偶 ( 奇)数个对换之积 . 利用结论 4 知. 我们能很容易地判断出循环置换的奇偶性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页k循环置换是偶 ( 奇)置换k为奇 ( 偶) 数. 考察下面的例子:24! 44S. 而4S中全部偶置换共有12个:);341();431();241();421();231();321();1(4)32)(41();42)(31 ();43)(21();342();432(A那么4A就是4S中的一切偶置换组成的
16、集合, 对于置换的乘法,能发现 : 4A中乘法封闭4A中乘法满足结合律4A中有单位元14A中每个置换有逆元, 逆元也在4A中( 由结论2) 所以4A是一个群 , 这个特殊的置换群习惯是上称为4 次交换群 . 定义 6.n次对称群nS中全部偶置换组成的集合nA n次交错群 .其中 :2!21nSAnn. 定义 7 n次对称群nS中两个置换,称1为的共轭。定义 8 设1212, 0,ssnrrrrrr称12( ,)sr rr为n的一个划分。设n元置换表示为互不交换的轮换的乘积1112111121()()(),ssrrrrrrrra aaaaaa其中12( ,)sr rr为n的一个划分，称它是由确定
17、的划分。结论 8 nS中两个置换,共轭它们确定的划分相同。证明略课堂训练 : 给出以下 6 元置换 . 254613654321;456132654321;245316654321精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页1) 求1,1,1; 2) 求, 3) 求, 和的组织置换表达式, 并求出1和1,. 4) 求,. 5) 将,和写成对换之积 , 并判断其奇偶性. 解:1)；456213654321145362654321113541626543211 -2)365124654321456132654321245316
18、6543214523616543212546136543214561326543213)26316432154261；654231643215462113654164321542614)46236234；，；，5)216131643121542161；54613121546321263154261是奇置换；是奇置换；是奇置换；是偶置换 . 对称性变换与对称群精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页例 1 证明等腰三角形的两底角相等。定义 1：保持长度不变的变换称为正交变换。定义 2; 平面上空间中图形，假设平面上空间中
19、的一个正交变换把变成与自己重合，称此变换是的对称性变换。命题 1 图形的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。的对称性群。例 1 正方形的对称性群。 4 个旋转， 4 个反射。例 2 等边三角形的对称性群。 3 个旋转， 3 个反射 . 定义3 设12(,)nf xxx为域F上一多项式，为任意n元置换，假设在12(,)nf x xx的各文字的脚标上进行置换后不变，称12(,)nf xxx为域F上一个n元对称多项式。例 3 2212121212(,)f x xx xx xx x定义 4 设12(,)nf xxx为域F上一多项式，为任意n元置换，假 设1212(,)(,),nnf x xxf x xx换 后 不 变 ， 称为12(,)nf xxx的一个对称变换。命题 2 12(,)nf xxx的全体对称性变换在变换的乘法下是一个群。 12(,)nf xxx的对称性群。例 4 考虑12341234(,)f xxxxx xx x的全部对称性变换。介绍晶体及晶体对称性定律。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页