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1、第23练 高考大题突破练导数与不等式基础保分练1(2018苏州质检)已知函数f(x)lnxa(x1)，aR，在(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)2xk(x1)成立，求k的取值范围2已知f(x)a(xlnx)，aR.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a1时，证明：f(x)f(x)对于任意的x1,2恒成立3设函数f(x)x2aln(x2)，且f(x)存在两个极值点x1，x2，其中x1x2.(1)求实数a的取值范围；(2)证明：不等式10恒成立，求a的值；(2)求证：ln(n1)(nN*)答案精析1解(1)由已知可得f(
2、x)的定义域为(0，)f(x)a，f(1)1a0，a1，f(x)1，令f(x)0得0x1，令f(x)1，f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，)(2)不等式f(x)2xk(x1)可化为ln xxk(x1)令g(x)ln xxk(x1)(x1)，则g(x)x1k，令h(x)x2(1k)x1，x1，h(x)的对称轴为x，当1，即k1时，易知h(x)在(1，x0)上单调递减，h(x)h(1)1k，若k1，则h(x)0，g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递减，g(x)g(1)0，不合题意若1k0，必存在x0使得x(1，x0)时g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递增，g(x
3、)g(1)0恒成立，符合题意当1，即kh(1)1k0，g(x)0，g(x)在(1，x0)上单调递增g(x)g(1)0恒成立，符合题意综上，k的取值范围是(，1)2(1)解f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.当a0，x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，x(1，)时，f(x)0时，f(x).当0a1，当x(0,1)或x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)2时，00，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减综上所述，当a0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当0a2时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明由
4、(1)知，当a1时，f(x)f(x)xlnxxlnx1，x1,2设g(x)xlnx，h(x)1，x1,2，则f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，当且仅当x1时取得等号又h(x)，设(x)3x22x6，则(x)在区间1,2上单调递减因为(1)1，(2)10，所以存在x0(1,2)，使得当x(1，x0)时，(x)0，当x(x0,2)时，(x)g(1)h(2)，即f(x)f(x)对于任意的x1,2恒成立3(1)解由题意f(x)2x(x2)，函数f(x)存在两个极值点x1，x2，且x1x2，关于x的方程2x0，即2x24xa0在(2，)内有两个不相等实根令(x)2x2
5、4xa，则解得2a0.实数a的取值范围是(2,0)(2)证明由(1)知x22(x22)ln(x2)4，令x2x，则0x1，且x2(x2)lnx4，令F(x)x2(x2)lnx4(0x1)，则F(x)12lnx2lnx1(0x1)，令H(x)2lnx1(0x1)，H(x)，0x1，H(x)F(1)10，F(x)在(0,1)上是增函数，F(x)F(1)1，即1，10.4(1)解f(x)，当a0恒成立，f(x)在(0，)上单调递增，当x(0,1)时，f(x)0时，x时，f(x)0，f(x)单调递增，f(x)minf1lna0.令g(a)1lna，则g(a)，当a(0,1)时，g(a)0，g(a)单调递增；当a(1，)时，g(a)1(nN*)，则有ln ，n2n21，ln，ln(n1)ln n，累加得ln(n1)(nN*)，原命题得证