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1、考研数学线代部分重难点总结线代这门课的特点 线性代数与高数和概率相比，特点之一是知识点比较细碎。如矩阵部分涉及到了各种类型的性质和关系，记忆量大而且容易混淆的地方较多；但线代更重要的特点在于知识点间的联系性很强。这种联系不仅仅是指在后面几章中用到前两章行列式和矩阵的相关知识，更重要的是在于不同章节中各种性质、定理、判定法则之间有着相互推导和前后印证的关系。历年考研真题中线代部分的题目都很灵活，在一道大题甚至小题中就可以考察到多个知识点，而且过渡自然、结构巧妙；有相当一部分题目可以找出多种解法。出现这种情况当然与出题专家水平高有关，但内在原因还是在于线性代数这门课“知识点间联系性强”的特点。所以
2、我们在复习线代的策略中，有必要考虑一下怎样才能做到“融会贯通”。“融会”可以理解为设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”可以理解为掌握前后知识点之间的顺承关系。这样做的目的就在于当看到题目的条件和结论、推测出其中涉及到的知识点时立刻就能想到与之有关联的其他知识点队列，从而大大提高解题效率、增加得分胜算。这样的复习策略虽然也能够用于高数和概率，但在线代复习中的作用体现的最为明显。以第三章向量、第四章线性方程组为例，“线性相关”、“线性表示”的概念与线性方程组的某些性质定理之间存在着相互推导和相互印证的关系；出题专家在编制题目时常常利用这些联系将两部分的内容结合起来出题，比如在历年真题中出
3、现频率很高的性质“齐次方程组是否有零解对应于A的列向量组是否线性相关；非齐次方程组Ax=b是否有解对应于向量b是否可由A的列向量线性表示”。再如一个貌似考察向量组线性无关的题目，做起来以后才发现实际考的是矩阵秩或行列式的内容，题眼就在于性质“方阵A可逆|A|=0A的列向量组线性无关r(A)=n”，依靠这一性质建立起了线性无关和矩阵秩两个知识点间的联系。以上简单分析了一下线代这门课本身的特点，在下面的小结中列出了对每章中一些具体知识点内在联系的分析和实战过程中发现的一些常用的和好用的性质，作为对具体知识点的讨论。正是因为具有这样的特点，线代与高数、概率相比，从难易程度上讲正是一门“学得不好就显得
4、特别的难，一旦学好以后就会变得特别容易”的科目，所以实际上把时间花在线代复习上很划算；即使你现在认为自己的线代水平还不好，那么也不应该有放弃线代的打算，因为，在一门“已经学得差不多”的课上继续投入时间的效果肯定要比投入等量时间在一门“学得不好但有更大提分空间”的课上的效果好，也就是说，试图把一门满分是100分、现在水平是80分的课提高到85分，一般要比把一门满分100现在只能拿40分的课提高10分、20分还要难得多。1.1 线代第一章行列式、第二章矩阵第一章行列式、第二章矩阵是线性代数中的基础章节，有必要熟练掌握。第一章行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具
5、体行列式的计算又有低阶和n阶两种类型；主要方法是应用行列式按行列展开定理和化为上下三角行列式求解，还可能用到的方法包括：行列式的定义（n阶行列式的值为取自不同行、不同列的n个元素的乘积的代数和）、性质（其中为矩阵A的特征值）、行列式的性质（如“数乘行列式等于用此数乘一行列式中的某一行或某一列”）。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、等的相关性质，在下面对第二章的讨论中会有小结。第二章矩阵中的知识点很细碎，但好在每个小知识点包括的内容都不多，没有什么深度。由历年考研真题可见，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、，的性质、矩阵可逆的判定条件、矩阵秩的性质、某些结
6、构特殊的矩阵和矩阵初等变换技巧等。所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致，一些做题时用到的性质和方法结合具体的题目就题论题才有最佳的效果，故在后面的评题中会有更充分的讨论；下面的表格分类列出了逆矩阵、伴随矩阵、矩阵转置的性质以供区别记忆：行列式性质特征值性质（为矩阵的特征值）运算性质秩的性质转置矩阵逆矩阵有特征值伴随矩阵有特征值、三者之间有一个即好记又好用的性质数乘矩阵、矩阵之积及矩阵之和有特征值，有特征值则有：若是可逆矩阵则有；同样，若可逆则有1.2 线代第三章向量、第四章线性方程组线代第三章向量、第四章线性方程组是整个线性代数部分的核心内容，相比之下，前两章行列式和矩阵可视作是为
7、了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节，后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立， 可以看作是对第三、四章核心内容的扩展。向量与线性方程组两章的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两章最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。解线性方程组可以看作是这两章内容的出发点和目标。线性方程组的系数矩阵是m行n列的，其有两种形式，一种是矩阵形式；其中是系数矩阵,；另一种是向量形式，其中 。向量就这样被引入了，可能早期的数学家研究向量就是为了更好的研究解方程组的问题。先讨论其
8、次线性方程组与线性相关、无关的联系。齐次线性方程组可以直接看出是一定有解的，因为当式等式一定成立，印证了第三章向量部分的一条性质“0向量可由任何向量线性表示”，即当中的时一定存在一组数使等式成立，至少在全为0时可以满足。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：1.有唯一零解；2.有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而第三章向量部分中判断向量组是否线性相关无关也正是由这个等式定义出的。线性相关的定义为：设为一组向量，如果存在一组不为零的数使得等式成立，则称向量组线性相关；如果等式当且仅当时成立，则称向量组线性无关。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐
9、次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵A的列向量组是否线性相关。（这些联系肯定不是简单的巧合，很有可能正是数学史上前后相承的发展，说不定线性相关无关的概念正是数学家在研究线性方程组问题的过程中发现的。其实如果按照数学发展史的进程来编制数学教科书的话，虽然逻辑性和系统性会不如现在的分章节教材，但肯定会大大方便学习者的理解和领悟，因为这更接近于人思维自然进展的节奏，非常有利于学习者认识各种概念定理的来龙去脉，而“不明白自己学的到底是什么”正是很多同学对数学感到困惑的根源。即使不能做到编制教材，也可以在教材中做一些介绍）。假如线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的，那同样可以认为
10、秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“极大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的极大线性无关组中有n个向量，即线性无关，也即等式只有0解。所以，经过“秩线性相关无关线性方程组解的判定”的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有0解。当时，按照齐次线性方程组解的判定法则，此时有非零解，且有n-r个线性无关的解向量。这又与另一条性质相和：如果齐次线性方程组方程个数小于未知量个数则必有非零解。若方程组的系数矩阵是m行n列的，则方程个数小于未知量个数时有mn；因为矩阵的秩等于行秩也等于列秩，所以必有，根据齐次方程组解的判定定理有非零解。对于非齐次方程组来说，其解的判定
11、定理与“线性表示”的概念前后联系：非齐次方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示。线性表示的定义为：对于向量组若存在一组数使等式成立，则称向量可由向量组线性表示。而使上述等式成立的就是非齐次方程组的解，故齐次方程组有性质“齐次线性方程组是否由非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性向关”，非齐次方程组也由对应性质“非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量线性表示”。当非齐次线性方程组与对应齐次线性方程组满足时，根据线性方程组解的判定法则，齐次方程组有零解，非齐次方程组有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。
12、以上讨论了线性相关、线性表示的概念与齐次、非齐次线性方程组之间的内在联系，这样做不仅仅是为了透彻理解知识点，更是为了有效应对考试题。线代部分的学习并不容易“保持平庸”，一般不是学的很好、做起题来左右逢源、挥洒自如；就是收效欠佳、总感觉摸不准题目的脉络；其差距就在于对线性代数这门课各章节知识的联系是不是真正把握领悟了。线代部分的题目难就难在考点的跨度大，出题老师可以借助各知识点之间天然的内在联系来编制出非常灵活的题目，而我们如果仅仅掌握零散知识点，那怕对这些孤立的点掌握的再透彻，在作题时也会被题目给弄的晕头转向。我记得当时上线代课时也常常是听的一头雾水、莫名其妙，感觉这门课很难；但在考研备考时经
13、过这样“抓本质联系”的复习后却感觉线代部分反而是考研数学三科中最容易的。每们科目都有其自身的特点，出题老师和我们考生都可以加以利用出题专家们利用线性代数“知识点间联系复杂”的特点可以编制出灵活的试题，我们则可以根据各知识点之间的联系来进行归纳、对比和总结，从而深化对知识点的掌握程度。以上所讨论的各种联系可以归纳为下面几条非常重要的定义与性质，其涵盖了大量的题眼，在实际做题时非常好用。其含金量之高不仅在线代中是独一无二的，在高数和概率两门课的知识点中也很少见，希望你能重视：三个双重定义：1. 秩的定义 a.矩阵秩的定义：矩阵中非零子式的最高阶数 b.向量组秩定义：向量组的极大线性无关组中的向量个
14、数2.线性相关无关的定义：a. 对于一组向量，若存在不全为零的数使得成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当全为0时才成立。b. 向量组线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出；线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。2. 线性方程组的两种形式：a. 矩阵形式：b. 向量形式：两条性质：1.对于方阵有：方阵可逆存在方阵使得的行列向量组均线性无关可由克莱姆法则判断有唯一解，而仅有零解。对于一般矩阵则有：的列向量组线性无关仅有零解，有唯一解。3. 齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是
15、否可以由的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁：性质2性质1中的“|A|0A的列向量组线性无关”行列式 线性相关 线性方程组 性质1中的“r(A)=nA的列向量组线性无关”秩 以上这些是大量扩展性定理性质的逻辑基础，也是出题人考虑跨章节出题和考察大跨度知识点时的必经之路“兵家必争之地”，怎么重视都不为过。 另外，线性代数部分在考试时会经常直接考一些“虽不要求掌握、但却可以用要求掌握的一些定理推论推导出来”的性质和结论，所以有必要扩大一些知识面，说不定在考试时就会有意外收获：1. 一个线性无关的向量组不可能由一个所含向量个数比它少的向
16、量组线性表示。如果向量组可由向量组线性表示，则有。等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；任何一个向量组都与它的极大线性无关组等价。2. 常见的线性无关组：齐次方程组的一个基础解系；、这样的单位向量组；不同特征值对应的特征向量。3. 关于秩的一些结论：；若有、满足，则；若是可逆矩阵则有；同样若可逆则有。非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解，若有无穷多解则有非零解；若有两个不同的解则有非零解；若是矩阵而则一定有解，而且当时是唯一解，当时是无穷多解，而若则没有解或有唯一解。1.3 线代第五章特征值和特征向量相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重
17、点，历年考研真题都有相关题目，而且最有可能是综合性的大题。特征值和特征向量之所以会得到如此青睐，大概是因为解决相关题目要用到线代中的大量内容即有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”；着重考察这样的知识点，在保证了考察面广的同时又有较大的出题灵活性。从我们的角度来看，特征值特征向量这一章的内容即少且条理清晰，虽然涉及其它很多知识，但需要探究的深层次联系很少，故学好这个“必考点”实际上要比学好高数中的那些必考点如曲线、曲面积分要容易的多，这一点也是前面说复习线代这门课很划算的原因之一。本章知识要点如下：1. 特征值和特征向量的定义及计算方法。就是记牢一系列公式如、和。在历年真题
18、中常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值 ，则有；若矩阵有特征值，则、分别有特征值、，且对应特征向量等于所对应的特征向量，而若、分别为矩阵、的特征值，则不一定为的特征值。2. 相似矩阵及其性质。定义式为，需要区分矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有；当中的、互逆时就变成了矩阵相似（）的定义式，即有，此时满足、，并且、有相同的特征值。矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。由以上定义可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与必等价，反之不成立；合同与等价之间没有必然联系。3. 矩阵可相似对角化的条件。包括两个充要条件和两
19、个充分条件，充要条件1是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件2是的任意重特征根对应有个线性无关的特征向量；充分条件1是有个互不相同的特征值；充分条件2是为实对称矩阵。4. 实对称矩阵极其相似对角化。阶实对称矩阵必可正交、相似于对角阵，即有正交阵使得而且正交阵由对应的几个正交的特征向量组成。 其实本章的内容从中也可以找到类似于第三章向量与第四章线性方程组之间的那种前后印证、相互推导的关系：以求方阵的幂作为思路的起点，直接乘来求比较困难，但如果有矩阵使得满足（对角阵）的话就简单多了，因为此时，而对角阵的幂就等于代如上式即得。而矩阵相似对角化的定义式正是。所以可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便
20、求矩阵的幂，引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因为，不但判断矩阵的相似对角化时要用到特征值和特征向量，而且中的、也分别是由的特征向量和特征值决定的。以上思路在本章的地位并不重要，因为与第三、四章知识点的互联关系不同，考试时这条思路一般不会被用到。而考察线性相关和线性方程组的题目却频繁用到前面提到的各种内在联系，甚至一些题目的题眼就是小结中的某一句话。所以前面的讨论可以用来辅助理解，但对于做题时打开思路用处不大。1.4 线代第六章二次型本章内容较少，大纲要求包括掌握二次型及其矩阵表示和掌握用正交变换化二次型为标准型的方法，对于其它知识点仅要求了解。在理年真题中本章知识点出现次数不多，但也考过大题。本章所讲的内容从根本上讲是第五章特征值和特征向量的一个延伸，因为化二次型为标准型的核心知识为“对于实对称矩阵存在正交矩阵使得可以相似对角化”，其过程就是上一章相似对角化在为实对称矩阵时的应用。将本章与上一章中相似对角化部分的内容作比较会有助于理解记忆“化二次型为标准型”的步骤及避免前后混淆，但因为大纲对本章要求不高，所以不必深究。