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1、黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三上学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简求得的坐标得答案【详解】 ，在复平面内，复数对应的点的坐标为，位于第四象限故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题2.若，则=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果【详解】若，则，故选：A点睛】本题主要考查利用诱
2、导公式化简式子，属于基础题3.，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得，计算即可得答案【详解】根据题意，且，则.故选：C【点睛】本题考查分段函数的解析式的应用，注意分析的值，属于基础题4.已知在等比数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设公比为，由等比数列的通项公式可得，由此求出的值，再由 求得结果【详解】设公比为，由等比数列的通项公式可得，即，解得， 故选：D【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题5.等差数列中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质，所以，
3、再将转化为含有的算式即可【详解】因为数列为等差数列，所以，则，故选：B【点睛】本题考查了等差数列的性质、等差中项和等差数列的前n项和属于基础题6.已知向量，则“”是“与反向”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】与反向则存在唯一的实数，使得，即 所以是“与反向”的充要条件故选C7.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，即可得出答案.【详解】利用向量的三角形法则，可得，为的中点，为的中点，则，又 .故选D.【点睛】本题考查了向
4、量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法：一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）8.在中，、分别为内角、的对边，若，则（ ）A. B. 或C. D. 或【答案】A【解析】【分析】根据题意，由的值求出的值，结合正弦定理可得，计算可得的值，比较、的大小，分析可得答案【详解】根据题意，在中,，则，且为锐角；又由，可得，所以.又由，
5、则，则；故选：A【点睛】本题考查三角形中正弦定理的应用，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题9.对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）A. 若，则=B. 若，则C. 若，则在上的投影为D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由平面向量数量积的性质及其运算逐一检验即可得解，【详解】对于选项，若，所以，所以=或或与垂直，所以故错误，对于选项，若，所以，则，故正确，对于选项，若，则在上的投影为，故错误，对于选项，若，不能推出，例如 时也成立，故错误，综上可知：选项B正确，故选：B【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.10.已知函数是定义在上的奇函数，对任意的都有，当时，则（ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，对变形可得，则函数是周期为的周期函数，据此可得，结合函数的解析式以及奇偶性求出与的值，相加即可得答案【详解】根据题意，函数满足任意的都有，则，则函数是周期为的周期函数，又由函数是定义在上的奇函数，则，时，则，则；故；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性与周期性、对称性的应用，关键是求出函数的周期，属于基础题11.已知，则函数值域和单调增区间分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间【
7、详解】 ， ， ，即，则的值域为由，可得：，由余弦函数的图像得单调增区间为：故选：A【点睛】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题12.在中，、分别为内角、的对边，点为线段上一点，则的最大值为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由，结合余弦定理可求，结合三角形的面积公式可求，再由，结合，均为单位向量，和平行线分线段成比例可得，结合基本不等式可求【详解】，化简可得，且，均为单位向量，过分别作，垂足分别为，则，两式相加可得，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，解可得，则的最大值为故选：B【点睛】本题综合考查了
8、余弦定理，平面向量的运算法则，三角形的面积公式，基本不等式的综合应用，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.数列满足，则数列的前项和_【答案】120【解析】【分析】，利用是等比数列可得的通项公式，从而可得【详解】，又，数列是首项为，公比为的等比数列，故答案为【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题14.函数（，）的部分图象如图所示，则的解析式为_【答案】【解析】【分析】由函数的部分图象，求出、和的值，即可写出的解析式【详解】由函数的部分图象知， ， ，由时，解得，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，考查了三角函数的解析式
9、的求法，是基础题15.已知向量，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】设与的夹角为，由条件，平方可得，由此求得的值【详解】设与的夹角为，则由，平方可得，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，向量的模的计算，已知三角函数值求角的大小，属于中档题16.已知数列的前项和满足：，数列，前项和为，则满足的最小正整数_【答案】6【解析】【分析】先求出，再利用等比数列求和公式得，再解不等式可得的最小值【详解】时，时， ，又，是以为首项，为公比的等比数列， ，由得，得，时，时，故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了利用项和公式求数列的通项，考查了等比数列的求和，属中档题三、解答题（本大
10、题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为零的等差数列的前项和为，若，且，成等比数列（）求数列的通项公式；（）设数列满足，求数列前项和【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）设公差为，根据题意列方程组可得，由此可得； （）使用裂项相消求和可得【详解】（）设的公差为，则， ，又，（）， 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，考查了数列求和，属中档题18.已知的内角，所对的边分别为，且（）求角的大小；（）若，求的值【答案】（1）（2）2.【解析】（）由，得，即，故（）由，得，即，又，由可得，所以【点睛】利用正、余弦定理进行“边转角”或“角转边”是近几年高考的热点，常求三角形的边、角及三角形的面
11、积.要灵活运用正弦定理进行“边转角”或“角转边”，结合余弦定理和面积公式，注意运用 三者的关系解题.19.已知数列中，且 （）求，；并证明是等比数列；（）设，求数列的前项和【答案】（），证明见解析；（）.【解析】【分析】（）根据递推式逐步代入算出和的值，再根据题意将的递推式代入进行计算化简最终会得到和的关系，最终得证数列是等比数列；（）先根据（）求得的通项公式，得到，由通项公式的特点可根据错位相减法得到数列的前项和【详解】（）由题意，可知： ， 当时，当时， 数列是以为首项，为公比的等比数列（）由（），可知：， ， -，可得： ，【点睛】本题第（）题主要考查根据递推公式逐步代值，以及根据递推公
12、式求出通项公式；第（）题主要考查利用错位相减法来求数列的前项和本题属中档题20.已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线有相同的焦点（）求椭圆的标准方程；（），是椭圆的右顶点和上顶点，直线和椭圆交于，点若四边形面积为，求该直线斜率【答案】（）；（）.【解析】【分析】（）由抛物线方程求得焦点，得到，再由离心率求得，则椭圆的标准方程可求； （）联立直线方程与椭圆方程，求解的坐标，得到，再由点到直线的距离公式求得，到的距离，代入面积公式求【详解】（）由抛物线，得焦点，则，又，得，椭圆的标准方程为；（）由椭圆方程可得：，如图，联立，得， 到直线距离为，到直线的距离为四边形面积 ，解得：【点睛】本题考查椭圆方程
13、的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题21.已知（）列表求在的所有极值；（）当时，（i）求证：；（ii）若恒成立，求的取值范围【答案】（）列联表见解析；（）（i）证明见解析；（ii）.【解析】【分析】（）求出函数的导函数，由导函数大于求其增区间，导函数小于求其减区间；（）（i）构造辅助函数，把问题转化为求时， ，（ii）构造辅助函数，把问题转化为求时，然后对的值进行分类讨论，求在不同取值范围内时的的最小值，由最小值大于等于得到的取值范围；【详解】（）因为，所以 ，的变化关系如下表：递增极大值递减递增所以函数的极大值为，极小值为.（）（i）令，令，则对恒成立，在上是增函数，
14、则，恒成立，在上为增函数，；（ii）令要使恒成立，只需当时，令，由（i）得，当时，恒成立，在上为增函数，满足题意；当时，上有实根，在上是增函数，则当时，不符合题意；当时，恒成立，在上减函数，不符合题意，即【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想以及三角函数的性质，是一道综合题22.在直角坐标系中，曲线，曲线（为参数）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系（）求，的极坐标方程；（）射线的极坐标方程为，若分别与，交于异于极点的，两点求的取值范围【答案】（），；（）.【解析】【分析】（）根据互化公式可得的极坐标方程，消去参数得曲线的直角坐标方程，再
15、根据互化公式可得的极坐标方程.（）联立射线与，的极坐标方程，利用极径的几何意义以及三角函数的性质可得【详解】（）由曲线得，得，得；由曲线（为参数）消去参数可得，得，即；（）联立解得，联立，解得， ，设，由于函数f(t)是减函数，时，取得最小值，时，取得最大值，所以的取值范围是【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程和直角坐标方程法互化，考查了函数最值的求法，考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题23.已知函数（）若，求不等式的解集；（）若，且，求证：【答案】（）；（）证明见解析.【解析】【分析】（）利用分类讨论法解不等式求不等式的解集；（）先用绝对值不等式的性质求得，再根据基本不等式可得，利用不等式的传递性可得【详解】（）时，或或，解得，故不等式的解集为；（）时，当且仅当时，取等.， 当且仅当时取等故【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了三角绝对值不等式的应用，考查了基本不等式求最值，属中档题