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1、第21练 利用导数研究函数零点问题基础保分练1.已知函数f(x)ex2xa有零点，则a的取值取值范围是_.2.已知函数f(x)若对任意实数k，总存在实数x0，使得f(x0)kx0成立，则实数a的取值集合为_.3.已知yf(x)为R上的连续可导函数，且xf(x)f(x)f(x)，则函数g(x)(x1)f(x)在(1，)上的零点个数为_.4.已知函数f(x)alnxx2(a2)x恰有两个零点，则实数a的取值范围是_.5.已知当x(1，)时，关于x的方程1有唯一实数解，则距离k最近的整数为_.6.(2018苏州模拟)已知函数f(x)与g(x)6xa的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是_.7.若函
2、数f(x)x2exa恰有三个零点，则实数a的取值范围是_.8.若关于x的方程1k(x2e)lnx0在(1，)上有两个不同的解，其中e为自然对数的底数，则实数k的取值范围是_.9.函数f(x)aexx有两个零点，则a的取值范围是_.10.若关于x的方程kx1lnx有解，则实数k的取值范围是_.能力提升练1.已知函数f(x)g(x)f(x)2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为_.2.若函数f(x)aexx2a有两个零点，则实数a的取值范围是_.3.对于函数f(x)，g(x)，设x|f(x)0，x|g(x)0，若存在，使得|1，则称f(x)，g(x)互为“零点相邻函数”.若函
3、数f(x)ex1x2与g(x)x2axa3互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是_.4.已知函数F(x)2(a1)1a有三个不同的零点x1，x2，x3(其中x1x2x3)，则2的值为_.5.已知函数f(x)(x1)exax2，若yf(cosx)在x0，上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为_.6.若函数f(x)lnxax2bxa2b有两个极值点x1，x2，其中a0，且f(x2)x2x1，则方程2af(x)2bf(x)10的实根个数为_.答案精析基础保分练1.(，2ln222.3.04.(1,0)解析由alnxx2(a2)x0得a，令g(x)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递
4、减，在(1，)上单调递增，所以g(x)ming(1)1，又当x(0,1)时，x22x0，g(x)1)，令g(x)(x1)，则g(x)，令h(x)xlnx2，则h(x)1，由x(1，)可得h(x)0，函数h(x)单调递增.因为h(3)1ln30，h(3.5)1.5ln3.50，则存在x0(3,3.5)满足h(x0)0，所以g(x0)是函数g(x)的最小值.若满足唯一实数解，则kg(x0).由h(x0)0得lnx0x02，则g(x0)x0，所以kx0(3，3.5).据此可得距离k最近的整数为3.6.7.8.解析若方程存在两个不同解，则k0，(x2e)lnx，x1，设g(x)(x2e)lnx，则g(
5、x)lnx1在(1，)上单调递增，且g(e)0，g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，g(x)ming(e)e，g(1)g(2e)0，g(x)0).若k0，则f(x)0，f(x)为(0，)上的增函数.x0时，f(x)，f(x)有且只有一个零点，即此时方程kx1lnx有解.若k0，令f(x)0，得0x，即f(x)在上为增函数；令f(x)，即f(x)在上为减函数.要使函数f(x)有零点，需f0，即lnk20，解得k.0k时，f(x)有零点，即此时方程kx1lnx有解.综上所述，k.能力提升练1.解析由y(2xx2)ex(x0)求导，得y(2x2)ex，故y(2xx2)ex(x0)在
6、(，0上单调递增，在(，)上单调递减，且当x0时，恒有y(2xx2)ex0)在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，所以可作出函数yf(x)的图象，如图.由图可知，要使函数g(x)恰有两个不同的零点，需2k0或2k或32k0时，令f(x)0，得xln，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(x)的最小值为f1ln2a1lna2a.令g(a)1lna2a(a0)，g(a)2.当a时，g(a)单调递增；当a时，g(a)单调递减，g(a)maxgln20，f(x)的最小值为f0，y是增函数，当x(e，)时，y0，故a1，不妨设方程的两个根分别为t1，t2，且t1(，0)，t2，若a4，与t
7、1且t2相矛盾，故不成立；若a1，则方程的两个根t1，t2一正一负，结合y的性质可得，t1，t2，t2，故2(1t1)2(1t2)(1t2)1(t1t2)t1t22，又t1t21a，t1t21a，21.5.解析函数f(x)(x1)exax2，可得f(x)x(ex2a)，令x(ex2a)0，可得，x0或ex2a.当a0时，导函数只有一个零点，并且x0是函数的一个极小值点，并且f(0)10时，函数两个极值点为x0，xln(2a)，如果ln(2a)0，因为f(ln(2a)0，因为f(0)10，解得x.x1x2，a0，x1，x2.而方程2af(x)2bf(x)10的10，此方程有两解且f(x)x1或x2，即有0x10，又x1x21，x21，f(1)b0，f(x1)0.根据f(x)画出f(x)的简图，f(x2)x2，由图象可知方程f(x)x2有两解，方程f(x)x1有三解.方程f(x)x1或f(x)x2共有5个实数解.即关于x的方程2af(x)2bf(x)10共有5个不同实根.