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1、专题05 平面解析几何1【2019年高考全国卷理数】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点若，则C的方程为ABCD【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有在中，由余弦定理推论得在中，由余弦定理得，解得所求椭圆方程为，故选B法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有在和中，由余弦定理得，又互补，两式消去，得，解得所求椭圆方程为，故选B【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养2【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=A2 B3 C4 D8【答案】
2、D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（2，0），排除A，同样可排除B，C，从而得到选D3【2019年高考全国卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点若，则C的离心率为ABC2D【答案】A【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，又，为以为直径的圆的半径，又点在圆上，即，故选A【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半
3、径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率4【2019年高考全国卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则PFO的面积为ABCD【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，故选A【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆
4、锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积5【2019年高考北京卷理数】已知椭圆（ab0）的离心率为，则Aa2=2b2B3a2=4b2Ca=2bD3a=4b【答案】B【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.6【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到原点的距离都不超
5、过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3其中，所有正确结论的序号是ABCD【答案】C【解析】由得，所以可取的整数有0，1，1，从而曲线恰好经过(0，1)，(0，1)，(1，0)，(1，1)， (1，0)，(1，1)，共6个整点，结论正确.由得，解得，所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论正确.如图所示，易知，四边形的面积，很明显“心形”区域的面积大于，即“心形”区域的面积大于3，说法错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整
6、点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为ABCD【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有，.故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.8【2019年高考浙江卷】渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是AB1CD2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为
7、，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=_，=_【答案】，【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.10【2019年
8、高考浙江卷】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_【答案】【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，由中位线定理可得，设，可得，与方程联立，可解得（舍），又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，由中位线定理可得，即，从而可求得，所以.【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解
9、决，则更为简洁.11【2019年高考全国卷理数】设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为_.【答案】【解析】由已知可得，设点的坐标为，则，又，解得，解得（舍去），的坐标为【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养解答本题时，根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.12【2019年高考全国卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【答案】2【解析】如图，由得又得OA是三角形的中位线
10、，即由，得，又OA与OB都是渐近线，得又，又渐近线OB的斜率为，该双曲线的离心率为【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.13【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 .【答案】【解析】由已知得，解得或，因为，所以.因为，所以双曲线的渐近线方程为.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线
11、标准方程中的密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.14【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .【答案】4【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由，得，即切点，则切点Q到直线x+y=0的距离为，故答案为【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.15【2019年高考全国卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P
12、（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；（2）若，求|AB|【答案】（1）；（2）.【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.16【2019年高考全国卷理数】已知点A(2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为.记M的轨迹为曲线C.（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第
13、一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.（i）证明：是直角三角形；（ii）求面积的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（1）由题设得，化简得，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为由得记，则于是直线的斜率为，方程为由得设，则和是方程的解，故，由此得从而直线的斜率为所以，即是直角三角形（ii）由（i）得，所以PQG的面积设t=k+，则由k0得t2，当且仅当k=1时取等号因为在2，+）单调递减，所以当t=2，即k=1时，S取得最大值，最大值为因此，PQG面积的最大值为【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利
14、用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.17【2019年高考全国卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或.【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故 .整理得设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE
15、的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.18【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=2py经过点（2，1）（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=1分别交直线OM，ON于点A和点B求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.【解析
16、】（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点，则，.令，即，则或.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19【2019年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，上顶点为已知椭圆的短轴长为4，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上若（为原点），且，求直线的斜率【
17、答案】（1）；（2）或【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，又，可得，所以，椭圆的方程为（2）由题意，设设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率在中，令，得由题意得，所以直线的斜率为由，得，化简得，从而所以，直线的斜率为或【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力20【2019年高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:的焦点为F1（1、0），F2（1，0）过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，l与圆F2:交于点A，与椭圆C交于点D.
18、连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1已知DF1=（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c.因为F1(1，0)，F2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因为DF1=，AF2x轴，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，从而a=2.由b2=a2c2，得b2=3.因此，椭圆C的标准方程为.（2）解法一：由（1）知，椭圆C：，a=2，因为AF2x轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x1) 2+y2=16，解得y=4.因为点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(1，0)，所以直线AF1
19、：y=2x+2.由，得，解得或.将代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直线BF2：.由，得，解得或.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.将代入，得.因此.解法二：由（1）知，椭圆C：.如图，连结EF1.因为BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，从而BF1E=B.因为F2A=F2B，所以A=B，所以A=BF1E，从而EF1F2A.因为AF2x轴，所以EF1x轴.因为F1(1，0)，由，得.又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以.因此.【名师点睛】本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运
20、算求解能力.21【2019年高考浙江卷】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧记的面积分别为（1）求p的值及抛物线的准线方程；（2）求的最小值及此时点G的坐标【答案】（1）p=2，准线方程为x=1；（2）最小值为，此时G（2，0）【解析】（1）由题意得，即p=2.所以，抛物线的准线方程为x=1.（2）设，重心.令，则.由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得，故，即，所以.又由于及重心G在x轴上，故，得.所以，直线AC方程为，得.由于Q在焦点F的右侧，故.从而.令，则m0，.当时，取得最小值
21、，此时G（2，0）【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.22【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科数学（二）】经过点作圆的切线，则的方程为AB或CD或【答案】C【解析】，所以圆心坐标为，半径为，当过点的切线存在斜率，切线方程为，圆心到它的距离为，所以有，即切线方程为，当过点的切线不存在斜率时，即，显然圆心到它的距离为，所以不是圆的切线.因此切线方程为，故本题选C.【名师点睛】本题考查了求圆的切线.本题实际上是过圆上一点求切线，所以只有一条.解答本题时，设直线存在斜率，点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求
22、出斜率，再讨论直线不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写出直线方程，综合求出切线方程.23【广东省深圳市深圳外国语学校2019届高三第二学期第一次热身考试数学试题】已知椭圆的离心率为，椭圆上一点到两焦点距离之和为12，则椭圆短轴长为A8B6C5D4【答案】A【解析】椭圆的离心率：，椭圆上一点到两焦点距离之和为，即，可得：，则椭圆短轴长为.本题正确选项为A.【名师点睛】本题考查椭圆的定义、简单几何性质的应用，属于基础题解答本题时，利用椭圆的定义以及离心率，求出，然后求解椭圆短轴长即可24【山东省德州市2019届高三第二次练习数学试题】已知椭圆（ab0）与双曲线（a0，b0）的焦点相同，则双曲线
23、渐近线方程为ABCD【答案】A【解析】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同，可得：，即，可得，双曲线的渐近线方程为：，故选A【名师点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题解答本题时，由题意可得，即，代入双曲线的渐近线方程可得答案.25【江西省新八校2019届高三第二次联考数学试题】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为ABCD【答案】B【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为.由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得：，解得：，本题正确选项为B.【名师点睛】本题考查抛物线的
24、定义和几何性质的应用，关键是能够利用焦半径公式中的倾斜角构造出方程，从而使问题得以解决.26【福建省厦门市厦门外国语学校2019届高三最后一模数学试题】双曲线的焦点是，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是_.【答案】【解析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为与或与，不妨设等腰三角形的腰为与，且点在第一象限，故，等腰有一内角为，即，由余弦定理可得，由双曲线的定义可得，即，解得：.【名师点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.解答本题时，根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为与或与，不妨设等腰三角形的腰
25、为与，故可得到的值，再根据等腰三角形的内角为，求出的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.27【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知椭圆的左顶点为，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意可得：，得，则.所以椭圆.（2）当直线与轴重合时，不妨取，此时；当直线与轴不重合时，设直线的方程为：，联立得，显然，.所以.当时，取最大值.此时直线方程为，不妨取，所以.又，所以的面积.【名师点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题.（1）
26、由左顶点M坐标可得a=2，再由可得c，进而求得椭圆方程.（2）设l的直线方程为，和椭圆方程联立，可得，由于，可用t表示出两个交点的纵坐标和，进而得到关于t的一元二次方程，得到取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出的面积.28【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，由得，.所以，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.