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1、21平面向量的实际背景及根本概念一、选择题1如下列图，点O是正六边形ABCDEF的中心，那么以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有()A6个B7个C8个 D9个答案D解析与向量共线的向量有：，故共有9个2在以下判断中，正确的选项是()长度为0的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；向量的长度都相等；向量都是同方向；任意向量与零向量都共线A BC D答案D解析由定义知正确，由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确显然，、正确，不正确，所以答案是D.3假设|且，那么四边形AB
2、CD的形状为()A平行四边形 B矩形C菱形 D等腰梯形答案C解析，四边形ABCD为平行四边形，又|，四边形为菱形4圆心为O的O上三点A、B、C，那么向量、是()A有相同起点的相等向量B长度为1的向量C模相等的向量D相等的向量答案C解析圆的半径r|不一定为1，应选C.5以下关于向量的结论：(1)假设|a|b|，那么ab或ab；(2)向量a与b平行，那么a与b的方向相同或相反；(3)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；(4)假设向量a与b同向，且|a|b|，那么ab.其中正确的序号为()A(1)(2) B(2)(3)C(4) D(3)答案D解析(1)中只知|a|b|，a与b的方向不知，故
3、(1)不对；不要让实数的性质|x|a，那么xa，错误迁移到向量中来(2)没告诉是非零向量，故(2)不对，因为零向量的方向是任意的(3)正确对于任一个向量，只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同(4)向量与数不同，向量不能比较大小6四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，那么以下关系不一定成立的是()A|B.与共线C.与共线D.与共线答案C解析三个四边形都是菱形，|，ABCDFH，故与共线，又三点D、C、E共线，与共线，故A、B、D都正确当ABCD与其它两个菱形不共面时，BD与EH异面A向量a与b共线，向量b与c共线，那么向量a与c共线
4、B向量a与b不共线，向量b与c不共线，那么向量a与c不共线C向量与是共线向量，那么A、B、C、D四点一定共线D向量a与b不共线，那么a与b都是非零向量答案D解析当b0时，A不对；如图a，c，b与a，b与c均不共线，但a与c共线，B错在ABCD中，与共线，但四点A、B、C、D不共线，C错；假设a与b有一个为零向量，那么a与b一定共线，a，b不共线时，一定有a与b都是非零向量，故D正确8以下说法正确的选项是()向量与是平行向量，那么A、B、C、D四点一定不在同一直线上向量a与b平行，且|a|b|0，那么ab0或ab0向量的长度与向量的长度相等向量都相等A BC D答案D解析对于，向量平行时，表示向
5、量的有向线段所在直线可以是重合的，故错对于，由于|a|b|0，a，b都是非零向量，ab，a与b方向相同或相反，ab0或ab0.对于，向量与向量方向相反，但长度相等对于，向量不仅仅长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等而且方向相同选D.二、填空题9如图ABCD是菱形，那么在向量、和中，相等的有_对答案2解析，.其余不等(1)零向量没有方向；(2)假设|a|b|，那么ab；(3)向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)两相等向量假设其起点相同，那么终点也相同；(6)假设ab，bc，那么ac；(7)假设ab，bc，那么ac；(8)假设四边形ABCD是平行四边形，那么，.答案(5)(6)a|b|
6、只是说明这两向量的模相等，但其方向未必相同；a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故ac；b0，那么对两不共线的向量a与c，也有a0,0c，但a c；，.11A、B、C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，那么m_.答案0解析A、B、C不共线，与不共线，又m与、都共线，m0.三、解答题12如下列图，点O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形在图中所示的向量中：(1)分别写出与，相等的向量；(2)写出与共线的向量；(3)写出与的模相等的向量；(4)向量与是否相等？解析(1)，；
7、(2)与共线的向量为：，；(3)|；(4)不相等13如下列图，四边形ABCD中，N、M是AD、BC上的点，且.求证：.解析，|且ABCD.四边形ABCD是平行四边形|，且DACB.又与的方向相同，.同理可证：四边形CNAM是平行四边形，.|，|，|，DNMB，即与的模相等且方向相同.14如下列图，43的矩形(每个小方格都是正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：(1)与相等的向量共有几个；(2)与平行且模为的向量共有几个？(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？分析非零向量平行(共线)包括两种情况：一种是方向相同，另一种是方向相反解析(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)
8、(2)与向量平行且模为的向量共有24个(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个15如下列图，ABCD，AOBE，ACFB，ACGD，ACDH，点O是ABCD的对角线交点，且a，b，c.(1)写出图中与a相等的向量；(2)写出图中与b相等的向量；(3)写出图中与c相等的向量解析(1)在OAEB中，a；在ABCD中，a，所以a.(2)在ABCD中，b；在AOBE中，b，所以b.(3)在ABCD中，c；在ACGD中，c，所以c.16飞机从甲地按北偏东30的方向飞行2000km到达乙地，再从乙地按南偏东30的方向飞行2000km到达丙地，再从丙地按西南方向飞行1000km到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？解析如下列图，A、B、C、D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC为正三角形，AC2000km.又ACD45，CD1000，ACD为直角三角形，即AD1000km，CAD45.答：丁地在甲地的东南方向，距甲地1000km.