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1、学而不思则惘，思而不学则殆第四章多重共线性第一节违背基本假定的一般描述一、基本假定的回顾1、零均值假定。2、同方差假定。3、无自相关假定。4、解释变量与随机误差项不相关。5、无多重共线性假定。6、正态性假定。除此之外，还有一些需要注意的地方，回归模型关于参数线性；在重复抽样中 X 值是固定的（或X 是非随机的）；X 的值要有变异；模型设定是正确的。二、假定 1 和假定 6 违背的讨论1、违背假定 1 的情况。（1）正确理解零均值假定是掌握所有假定的关键（参见Wooldridge，计量经济学导轮现代观点， pp.23-25） 。（2）假定 1 不满足的数学描述。设一元线性回归模型为1212121
2、212,1,2,()0,iiiiiiiiiiYXuinE ukE YXE uXkkXX如果有则有（）（ ）（）由上式表明，这时在0）（iuE下，改变的只是截距项，而对模型的线性结构并不影响。（3）对假定 1 被破坏的解释。通常在这种情况下，我们认为是变量所取的数据可能出现了异常表现， 即有异常值。 因为按照零均值的意义， 要求各个散点是均匀地分布在回归线的周围。修正的方法将在后面虚拟变量部分介绍。例如， 我们分析江苏省社会商品消费品零售总额与江苏省城乡居民可支配收入之间的关系，发现在1991 年该省的社会消费品零售总额存在异常值，表现为样本回归模型的残差在1991 年有估计值与实际值存在明显的
3、差异。见下图和下精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆表Dependent Variable: JSSHEHSP Method: Least Squares Date: 10/16/04 Time: 09:38Sample: 1980 1998 Included observations: 19 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -70.48491 25.87473 -2.724083 0.0144 JSCZNC 0.243
4、263 0.005811 41.85896 0.0000 R-squared 0.990391 Mean dependent var 751.2384 Adjusted R-squared 0.989826 S.D. dependent var 728.4301 S.E. of regression 73.47491 Akaike info criterion 11.53107 Sum squared resid 91775.55 Schwarz criterion 11.63048 Log likelihood -107.5451 F-statistic 1752.172 Durbin-Wa
5、tson stat 1.905133 Prob(F-statistic) 0.000000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆另一方面，有时通过变量的时序数据的样本折线图也可直接观察到样本是否存在异常表现。如我们根据全国国有经济单位职工人数（万人）从 1952年到 1998年的数据绘制了折线图为从图形中我们可以看到，在1958 年、1959年、1960年这三年中，全国国有经济单位职工人数存在异常情况， 其背景是这几年为国家大跃进时期，国有单位职工人数增加迅速。因此，要依据这一数据建立模型，
6、零均值假定就不一定成立。2、违背假定 6 的情况。在随机误差项不再服从正态分布的条件下，如果建立回归模型的目的仅是估计参数的话， 则这一假定是否成立并不重要。 但如果利用参数估计对总体进行统计推断，则这一假定不满足将对分析会产生影响。当在大样本情况下， 根据中心极限定理， 随机误差项应近似地服从正态分布。基于上述描述， 对假定 6 是否成立可弱化看待。三、对违背假定2、3、4、5 讨论的思路给出违背假定的定义； 提出违背假定时对模型的影响后果；对违背假定的各种表现的检验（诊断） ；修正违背假定的表现（其中假定4 的讨论将在第七章第四节、第九章第三节和第十一章第一节介绍）。精选学习资料 - -
7、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆第二节什么是多重共线性一、一个多重共线性的例子下表为利用丰田公司提供的有关货车的数据，所估计出的样本回归模型各个参数的情况。被解释变量为车辆累计维修费（样本容量n=57）变量模型 A 模型 B 模型 C 截距项-626.24 (-5.98) -796.07 (-5.91) 7.29 (0.06) 购买年限7.35 (22.16) 27.58 (9.58) 累计英里数53.45 (18.27) -151.15 (-7.06) d.f.( 自由度 ) 55 55 54 2R0.89
8、7 0.856 0.946 2?(回归误差的方差 ) 135861 190941 72010 MAPE( 绝对平均百分比误差) 227.9 278.2 47.3 表中括号内为 t 统计值。再例如，有人研究中国的货币供应与宏观经济总量的关系，被解释变量为GDP，解释变量为M2（广义货币供应量） 、商业银行贷款总量。按照我们国家对 M2 的定义是现金加上所有的存款，而贷款一经形成马上转化为存款，因此从经济意义上判断， M2 与贷款总量之间存在很强的（不完全）共线性。二、多重共线性的定义1、完全多重共线性的定义。按照变量之间线性相关的解释，即对于变量23,kXXX ，如果存在不全为零的数,32k使得
9、22220kkXXX成立，则称变量23,kXXX 之间存在 完全的多重共线性 。在经济现象中完全多重共线性十分少见。因为，实际数据不会有这么巧的精确的数学关系式。 但是个别情况也是存在的， 如某一商品的出口量和它的价格有关，如果在回归模型中同时用国内价格和国外价格作为解释变量，就很有可能出精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆现完全的多重共线性。 再如消费与收入有关， 如果用劳动收入和财产收入作为解释变量，还要用总收入作为解释变量，而总收入 =劳动收入 +财产收入这就存在完全多重共线性的危险，
10、 在这种情况下，只能得到总收入对消费的影响，而无法区分劳动收入、 财产收入各自对消费的影响。因此，在建模过程中需要特别注意。完全多重共线性只是共线性的一种极端情况，大多数经济现象是下面的不完全多重共线性，怎样表示才符合在经济学中解释的那种变量之间的非精确关系呢？2、不完全多重共线性的定义。解释变量之间的共线性非精确表示，就是一种 近 似 的 关 系 。 所以 ， 在 上 述 表 达 式 中 引 入 随 机 误 差项 ， 即 对 于 变 量23,kXXX ，如果存在不全为零的数,32k使得22220kkXXX成立，其中为随机误差项，或者是线性相关的一种近似关系22220kkXXX则称变量23,k
11、XXX 之间存在 不完全的多重共线性 ，或者说是近似的多重共线性。也可以用矩阵或矩阵的秩来表述不完全多重共线性。即()0Rank X XkX X或例如， 用收入和财富作为解释变量来对消费支出作回归分析。数据见下表，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆其中， Y 为家庭消费水平（元），X2为家庭的可支配收入（元） ，X3为家庭的财富（元） 。根据数据作回归，得如下样本回归函数。从估计结果看，有如下特点： （1）从整体看，拟合效果不错。 （2）从个体看，经济意义不对，显著性检验通不过。 （3）从
12、经济意义分析，财富与收入之间通常存在某种关系，如果这种关系是线性的，则这一关系就是不完全多重共线性。为什么是不完全多重共线性？事实上家庭的财富不仅要受到收入的影响，还要受到其它因素的影响， 如家庭对财产的选择偏好、 价格指数等。 下面以收入为解释变量，作财富对收入的线性回归。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆由 EViews 计算结果，我们发现财富对收入的回归拟合效果相当不错，说明收入对财富的形成有显著性影响。 还可以得到消费水平分别对收入和财富的回归，以及变量之间的简单相关系数表，可进一
13、步观测变量之间这种关系的特征。下面， 通过一个例子来看完全多重共线性与不完全多重共线性之间的区别与联系。设模型为12233YXXu解释变量所取的数据为X2X3 X3*10 50 52 15 75 75 18 90 97 24 120 129 30 150 152 在表中，很明显看到：有线性关系X3=5X2（即 5X2-X3=0） 。但 X2与 X3*之间的关系是一种近似表示X3=5X2+，其中=2，0，7，9，2 为随机数。尽管X2与X3*之间是一种近似，但X2与 X3*之间的相关系数高达0.9959（X2与 X3之间的相关系数为多少？）。我们称前者是完全多重共线性，后者是不完全多重共线性。显
14、然，无论是哪一种情况， 无法区分变量 X2、X3、X3*对被解释变量的单独影响。需要特别注意， 解释变量之间不存在线性关系，不一定不存在非线性关系。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆如231234YXXXu式中 Y 为生产总成本， X 为产量。三、产生多重共线性的背景从经济学角度看， 多重共线性存在的最根本原因是，在经济现象中， 许多要素之间具有内在联系。 经济系统中各要素之间是相互依存、相互制约的， 在数量上就必然有一定的联系。 从这个意义上讲， 多重共线性现象是计量经济学建立模型中不可
15、避免的问题， 只是影响的程度有大小。 依据经济学与经验， 多重共线性的产生有如下原因。1、经济变量在随时间的变化过程中存在共同变化趋势。2、用截面数据建立模型， 解释变量之间常常在经济意义上有密切的关联度。3、模型中引进大量的滞后变量。4、由于变量选择不当。这一情况跟模型的设定有关（设定误差）。5、在抽样中，变量的个数大于观测的次数（此时肯定有矩阵为非满秩。为什么？） 。第二节多重共线性产生的后果一、 完全多重共线性下的后果如果解释变量之间存在完全的多重共线性，则从结论上看有1、参数估计值不确定。设有两个解释变量的线性回归模型为12233iiiYXXu其样本回归模型用离差形式表示为2233?i
16、iiyxx式中，222333?,iiiiiiyYYxXXxXX，则2和3的估计式为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆2233232222232323222332222323?()?()iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiy xxy xx xxxx xy xxy xx xxxx x如果变量2X 与3X 存在如下关系，23iiXX（注意这时仍然有23iixx ） ，其中0。将上述关系式代入2和3的估计式，得2233232222223323223333222222332233333322
17、2223333()?()()0()()0()()()0?()0iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiy xxy xx xxxx xy xxy xxxxy xxy xx xxxx x2、参数估计值的方差会无限大。仍以二元回归模型为例，这时参数估计的方差为2322222232322232222323?()()?()()iiiiiiiiiixVarxxx xxVarxxx x如果变量存在完全的共线性，即23iixx ，0，则有223322222223333222222322223333?()()0?()()0iiiiiiiiiiiixxVarxxx xxxVarxxx x说明这
18、时参数估计的方差变为无穷大。二、不完全多重共线性下的后果1、有可能求出参数的估计值，但估计值很不稳定。仍以二元回归模型为例，这时由于是不完全的共线性，设23iiixxv ，式中0，iv 为误差项，且满足30iix v。以参数3的估计为例，有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆23222332222323?()iiiiiiiiiiiyxxy xx xxxx x222233333222222333?iiiiiiiiiiiiiy xxvy xy vxxvxx对比完全共线性的情况2233333322
19、2223333()()()0?()0iiiiiiiiiiiyxxy xx xxxx x表明，在共线性存在的情况下，参数是能够估计的，但随着iv 越趋近 0，得到3?就越不确定。同样道理，对于2的估计也有类似的情况。2、参数估计值的方差会随多重共线性（近似）程度的提高而增大。当 X2与 X3存在不完全的共线性时，它们的简单相关系数的平方为2232232223x xrxx将其代入2的估计的方差，得232222223232223222223222223?()111xVarxxx xx xxxxxr同理可得2322323?()1Varxr从2?()Var和3?()Var可以看出，当2X 与3X 的共线
20、性越强时，2?()Var和3?()Var将会越大。在2?()Var和3?()Var的表达式中，定义22311VIFr为方差扩大因子 ，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆22222323?()?()VarVIFxVarVIFx表明参数估计的方差与方差扩大因子成正比例关系。通过一个例子看到在不完全共线性下，参数估计的不稳定性。 例如，在2X 与3X 存在不完全多重共线性时，将3X 的数据稍微调整，得变量3Z 。经估计，有如下结果。232232322?1.19390.44630.0030(0
21、.7737)(0.1848)(0.0851)(1.5431)(2.4151)(0.0358)0.6202,4.2665,0.5523?1.21080.40140.0270(0.7480)(0.2721)(0.1252)(1.6187)(1.4752)(0.2158)0.6286,4.3857,YXXRFrYXZRFr30.8285上述估计结果中第一行括号为参数估计值的标准差，第二行括号为t 统计量值。可以看出，无论是参数的估计，还是估计的效果都十分糟糕。不过，两个模型从整体看，可决系数与F 统计量值都比较稳定（为什么？） 。导致的直接影响结果是 ：1、对总体参数的区间估计将会降低精确度（区间变
22、宽）。评价区间估计的两个标准设在给定的显著性水平下，未知参数 有如下区间估计12?()1P精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆则衡量区间估计的两个标准是：(1) 估计的可靠度。置信度1反映了区间估计的可靠度。置信水平1=0.95，说明估计区间12? ?(,)以 95% 的概率包含总体的参数 。或者说， 100个这样的估计区间中，平均有95 个包含了总体参数 。(2) 估计的精确度。区间的长度21?反映了区间估计的精确度。当区间的长度愈大，估计区间包含真值的可能性也就愈大，但是估计也愈不精确
23、。可靠度和精确度是相互矛盾的。2、对总体参数的显著性检验（t 检验）在统计上将会不显著。需要注意， 如果模型是应用于预测，不完全多重共线性的存在对预测的影响不大（为什么？）。第三节多重共线性的检验一、简单相关系数矩阵法1、简单相关系数。X2X3X4Xk kkkkkkkrrrrrrrrrrrr43233433322242322注意：简单相关是两两相关、 线性相关。该方法只能作为判断解释变量存在共线性的参考， 准确的判断应该来自偏相关系数。2、偏相关系数的定义。判断多个变量之间的关系时，如果其它变量不变，只考虑iX 与jX)(ji之间的相关程度， 则这种相关称为偏相关， 偏相关的度量为偏相关系数。
24、 它的计算依据于简单相关系数，以三个变量为例，设123,XXX ，则它们的偏相关系数分别为，假定3X 不变，1X 与2X 的偏相关系数是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆)1)(1 (2232132313123.12rrrrrr式中231312,rrr分别是变量1X 与2X ，1X 与3X ，2X 与3X 的简单相关系数。 这样1X与3X ，2X 与3X 的偏相关系数分别为)1)(1()1)(1(2132121312231.232232122312132.13rrrrrrrrrrrr用上
25、述关系计算偏相关系数， 可以推广到一般的情况。 详细公式可参见李长风编著， 经济计量学，上海财经大学出版社1996 年版，第 64 页。3、在 EViews 上的操作。二、t 检验与 F 检验的综合判断该方法的思想是，利用对参数的t 检验与对模型整体的F 检验的不一致，判断模型中解释变量之间存在不完全多重共线性。如果当计算出的2R或2R很大，F 值显著性地超过给定显著性水平下所对应地临界值，但变量所对应地偏回归系数的 t 统计量值不显著，则说明该模型中的解释变量存在多重共线性。三、辅助回归法在k个 解 释 变 量23,kXXX中 ， 求 每 一 个jX对 剩 余 变 量211,jjkXXXX
26、的回归，即211(,)jjjkXfXXXX式中为随机误差项，并计算出相应的2R，记为2jR ；同时观察对应的F 统计量值的大小。如果2R很大， F 统计量值超过给定的临界值水平，则说明模型中解释变量存在不完全多重共线性。四、方差扩大（膨胀）因子法在上述辅助回归的基础上，当计算出2jR 时，可以得到第 j 个解释变量jX 参数估计的方差精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆222221?()1jjjjjVarVIFxRx其中，称jVIF 为jX 的方差扩大因子，即211jjVIFR由方差扩大因
27、子表达式可以看到1、2jR 越接近 1，则jVIF 越大，这时表明解释变量之间的共线性越强。2、2jR 越接近 0，则jVIF 越接近 1，这时表明解释变量之间的共线性越弱。在计算机中可利用相关信息计算出jX 的方差扩大因子jVIF ，具体计算过程见教材第 113页。五、特征值与病态指数法1、X X的特征值。根据矩阵的知识，矩阵行列式可以表示成矩阵特征根的连乘积，如果0X X，则X X的特征根至少有一个近似为0；反之，当X X的特征根至少有一个近似为 0 时，X 的列向量之间（也就是解释变量之间）存在多重共线性。由矩阵的特征根知，设为矩阵X X的一个近似为 0的特征根，c是属于X X的单位特征
28、向量，则XX cc（由矩阵特征根定义）由于近似为 0，所以0X Xcc于是0c X Xc（c 是单位特征向量）则0Xc。这正是 k 个解释变量之间具有共线性的关系式。2、病态指数。病态指数是基于特征根来确定的，它度量了X X的特征根分散程度，以此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆判断多重共线性存在的强弱。记X X的最大特征根为m，对于i 个解释变量所构成矩阵的特征根为,0,1,2,3,iik，有miiCICI 取 值 的 讨 论 ，当010CI时， 则考 察的 变量 之间 无共 线 性
29、； 当1 01 00CI时，表明所考察的变量之间存在共线性；当100CI时，则变量之间共线性严重。第四节多重共线性的补救措施一、增加样本容量。设模型为12233YXXu对模型中参数32,的估计值32?,?，求出其方差分别为)1()?()1 ()?(2231232322312222rxVarrxVarniinii式中假设2为已知，在共线性关系一定的情况下，当n 增大时，222311nniiiiXX和都将增大， 从而使得参数估计值的方差)?(2Var、)?(3Var变小，可相对改善参数估计值的估计精度。受条件的限制，增加样本容量是很困难的工作。也可考虑剔除引起共线性的变量（即剔除变量法）。二、利用
30、先验信息1、一个生产函数的例子。设经典生产函数为tuttteKALQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆式中 Q 为产出量， L 为劳动力的投入， K 为资本的投入， u 为随机误差。对上式两端取对数ttttuKLAQlnlnlnln由于资本与劳动力随时间的变化过程中呈高度相关，如果已知先验信息： 产出与投入要素为规模报酬不变，即1。利用这一关系，可得tuttteKALQ1则tutttteKLAKQ取对数得tttttuKLAKQ)l n (ln)ln(其中ttKQ和ttKQ均有明确得经济含
31、义，前者为资本产出率，后者为劳动力对资本的投入率。此结果避免了共线性。从此例可以看出，思路是利用先验信息，实现对变量的降维（即减少解释变量的个数）。最终达到修正多重共线性目的。2、数据的结合。设模型为12233ttttYXXu式中 Yt为商品销售量， X2t为商品的价格， X3t为消费者收入，如果商品的价格与消费者的收入存在 （线性）关联性，则考虑用抽样调查得到某一时点上消费者收入的边际消费倾向3的估计值3?，使得上述模型变换为33122?ttttYXXu且*122tttYXu其中*33?tttYyX，这样经过如此变换，将二维变量降为一维变量，从而达到精选学习资料 - - - - - - -
32、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆修正共线性的目的。由于研究的是商品的消费问题， 则可将名义收入变量除以价格指数，转变为实际收入，这时模型变为3122ttttXYuX也可避免共线性。三、变换模型的形式设模型为12233ttttYXXu且2tX与3tX 之间存在共线性。令1222133311,ttttttttttttYYYXXXXXXuuu则2233ttttYXXu上述为对变量进行差分，还可将变量转换为增量形式（留作练习）。四、逐步回归法该方法的做法是：1、求Y对每一个解释变量(2,3, )jXjk 的回归，选择出最优的方程作为基
33、本回归方程，以此逐一引入变量。2、新引入的变量，按可决系数最大化原则，结合经济意义，能使可决系数提高，每一个参数能通过t 显著性检验，则可采纳该变量。反之放弃该变量（有检验的含义）。3、新引入的变量不能造成与其它变量的共线性，但舍去该变量也要慎重，否则会引起模型的设定误差和随机干扰与解释变量的相关性。4、在所有新引入的变量中，结合经济意义，选择拟合效果最好的（有检验的含义） 。所以逐步回归法是集检验与修正为一体的综合方法。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆例如， 分析天津市粮食销售量Y，
34、考虑如下影响因素：市常住人口X2，人均收入 X3，肉销售量 X4，蛋销售量 X5，鱼销售量 X6。具体数据见下表。根据数据首先选取所有变量的数据，估计参数得样本回归函数，然后进行检验。234562?0.50410.12830.07062.70633.31924.3406( 0.1684)(2.1725)(1.8778)(2.1267)(1.3516)( 1.9798)0.951251.6704. .5.7657YXXXXXRFse1、根据所估计结果进行判断和分析。（1）经济意义。（2）统计检验。A 简单相关系数表B 综合判断法。由对参数的 t 检验和对模型的 F 检验，可以看到存在t 检验结果
35、与 F 检验结果相悖的情况。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学而不思则惘，思而不学则殆（3）逐步回归法。截距项X2X3 X4 X5 X6R2 2R-90.9207 （-4.7038）0.3169 (12.1516) 0.9248 99.6135 (15.4890) 0.0815 (7.5871) 0.8275 74.6482 (9.0057) 4.8927 (8.8927) 0.8627 108.9038 (18.3117) 5.7457 (6.8215) 0.7950 113.3747 (18.6560) 3
36、.0808 (6.0137) 0.7509 -40.9357 (-1.4623) 0.2294 (5.0645) 0.0274 (2.2289) 0.9388 -39.7948 (-1.5908) 0.2115 (4.6696) 1.9092 (2.6365) 0.9456 -46.2970 (-1.6031) 0.2428 (5.4082) 1.7013 (1.9357) 0.9338 -51.8875 (-1.8980) 0.2531 (6.0830) 0.8377 (1.8657) 0.9325 -37.8893 (-1.3538) 0.02102 (4.3864) 1.7376 (1.
37、4870) 0.2478 (0.1930) 0.9404 -40.8233 (-1.5317) 0.2105 (4.4165) 2.1448 (1.5650) -0.1574 (-0.2063) 0.9404 -40.1560 (-1.3454) 0.2287 (4.7864) 0.0242 (0.9182) 0.2550 (0.1412) 0.9328 -38.5557 (-1.3124) 0.2213 (4.4623) 0.0472 (1.1430) -0.7227 (-0.5035) 0.9344 -34.7768 (-1.2507) 0.2065 (4.3028) 0.0094 (0.4980) 1.4556 (1.2333) 0.9416 注：表中括号内的数值为t 统计量值。2324234?40.93570.22940.0274(1)?39.79480.21151.9092(2)?34.77680.20650.00941.4556(3)YXXYXXYXXX经过综合比较，认为模型（1）为最佳。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页