备战2020年高考数学一轮复习第10单元空间向量在立体几何中的应用单元训练A卷理.doc

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1、此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 单元训练金卷高三数学卷(A)第10单元 空间向量在立体几何中的应用注意事项:1答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

2、要求的1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是,那么这条斜线与平面所成的角是( )A90B30C45D602平面经过三点,则平面的法向量可以是( )ABCD3若直线的方向向量为,平面的法向量为,则( )ABCD与相交4如图,在平行六面体中,为的中点,设,则( )ABCD5在长方体中,点为的中点,则异面直线与所成角的正切值为( )ABCD6正方体中,直线与平面所成角的正弦值为( )ABCD7对于空间任意一点和不共线的三点,且有,则,是四点共面的( )A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分又不必要条件8已知二面角,其中平面的一个法向量,平面的一个法向量,则二面角的大

3、小可能为( )ABC或D9已知在平行六面体中,则的长为( )ABCD10如图,已知矩形与矩形全等,二面角为直二面角,为中点,与所成角为,且,则( )A1BCD11在空间直角坐标系中,四面体各顶点坐标分别为,则该四面体外接球的表面积是( )ABCD12如图,四边形,现将沿折起,当二面角的大小在时,直线和所成角为,则的最大值为( )ABCD第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13已知点关于坐标原点的对称点为,关于平面的对称点为,关于轴的对称点为,则线段的中点的坐标为_14在直三棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为_15如图,在正方体中,、分别为的中点,则平面和平面所成二面角的正弦值为_16将

4、直角三角形沿斜边上的高折成的二面角,已知直角边,那么下面说法正确的是_(1)平面平面;(2)四面体的体积是;(3)二面角的正切值是;(4)与平面所成角的正弦值是,三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(10分)如图,在正四棱柱中,分别为棱的中点,(1)证明:平面平面;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值18(12分)如图,是以为直径的半圆上异于的点,矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面,且,(1)求证:平面平面;(2)若的长度为,求二面角的正弦值19(12分)如图,在多面体中,四边形是边长为的菱形,与交于点,平面平面,(1)求证:平面;(2)若为等边

5、三角形,点为的中点,求二面角的余弦值20(12分)已知四棱锥的底面是菱形,底面,是上的任意一点(1)求证:平面平面;(2)设,是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为?如果存在,求出点的位置,如果不存在,请说明理由21(12分)如图所示,等腰梯形ABCD中,ABCD,AD=AB=BC=1,CD=2,E为CD中点,AE与BD交于点O,将ADE沿AE折起,使点D到达点P的位置(P平面ABCE)(1)证明:平面POB平面ABCE;(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为,求二面角的余弦值22(12分)如图,已知四棱锥的底面为边长为的菱形,为中点,连接(1)求证:平面平面;(2)若平面平面,且二面

6、角的余弦值为,求四棱锥的体积单元训练金卷高三数学卷(A)第10单元 空间向量在立体几何中的应用 答 案第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1【答案】D【解析】,又由题意知,答案D2【答案】D【解析】设平面的法向量为,对于A选项,故A选项错误;对于B选项,故B选项错误;对于C选项,故C选项错误;对于D选项,由于,故D选项符合题意所以本题选D3【答案】C【解析】直线l的方向向量为,平面的法向量为,故选C4【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到故选A5【答案】A【解析】以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,则,设异面直线与所成

7、角为,则,异面直线与所成角正切值为,故选A6【答案】A【解析】如图,以点为坐标原点,以,方向分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设棱长2,则,所以,因为在正方体中,平面,所以,又,所以平面,因此向量为平面的一个法向量,设直线与平面所成的角为,则故选A7【答案】B【解析】空间任意一点和不共线的三点,且,则四点共面等价于,若,则,所以四点共面,若四点共面,则,不能得到,所以,是四点共面的充分不必要条件,故选B8【答案】C【解析】,设与之间的夹角为,二面角的大小可能为和9【答案】D【解析】在平行六面体中,则,故选D10【答案】C【解析】以A为原点,AF为x轴,AB为y轴,AD为z轴,建立空间直角坐

8、标系,设AB2a,BC2b,则F(2b,0,0),M(0,a,0),B(0,2a,0),D(0,0,2b),(2b,a,0),(0,2a,2b),FM与BD所成角为,且,整理得,解得,或(舍),故选C11【答案】B【解析】如图,在空间坐标系里画出四个点,可得面,因此可以把四面体补成一个长方体,其外接球的半径,所以外接球的表面积为,故选B项12【答案】C【解析】取BD中点O,连结AO,CO,ABBDDA4BCCD,COBD,AOBD,且CO2,AO,AOC是二面角的平面角,以O为原点,OC为x轴,OD为y轴,过点O作平面BCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,B(0,2,0),C(2,0,0),

9、D(0,2,0),设二面角的平面角为,则,连AO、BO,则AOC,设AB、CD的夹角为,则,cos的最大值为故选C第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13【答案】【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为,点关于xOz平面的对称点A2的坐标为,点关于z轴的对称点A3的坐标为,线段AA3的中点M的坐标为14【答案】【解析】因为,所以角为直角,又直棱柱中,侧棱与底面垂直,所以两两垂直,以点为坐标原点,以方向分别为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设异面直线与所成角为,则故答案为15【答案】【解析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体

10、的棱长为2,则E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,0),C1(0,2,2),设平面EFC1B的法向量,则,取,得,平面BCC1的法向量,设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为,则,所以,故填16【答案】(3)(4)【解析】画出图像如下图所示,由图可知(1)的判断显然错误;由于,故是二面角的平面角且平面,故过作交的延长线于,由于,故是三棱锥的高在原图中,所以,故(2)错误;以为坐标原点,分别为轴建立空间直角坐标系,设平面的法向量为,则,令,则,即平面的法向量是设二面角的平面角为,由图可知为锐角,故,则其正切值为故(3)判断正确;平面的法向量为,设直线和平面所成的角为,则,故(4)

11、判断正确综上所述,正确的有(3),(4)三、解答题:本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)证明:在正四棱柱中,底面,又,平面,则,则,平面又平面,平面平面(2)以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,则,设是平面的法向量,即,令,得,由(1)知,平面ABE的一个法向量为,故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为18【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)证明:平面平面,两平面交线为,平面,平面,平面,是直角,平面,平面,平面平面(2)如图,连结,以点为坐标原点,在平面中,过作的垂线为轴,所在的直线为轴,在平面

12、中,过作的垂线为轴,建立空间直角坐标系的长度为,则,设平面的一个法向量为,则,令,解得,平面的一个法向量,二面角的正弦值为19【答案】(1)见证明;(2)【解析】(1)证明:取的中点,连结、,因为,所以,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为、分别为、的中点,所以且又,所以,所以四边形为平行四边形,所以,所以平面(2)因为菱形,所以所以,两两垂直,建立空间直角坐标系,如图所示,则,所以,所以,设平面的法向量为,由,得,取,可得,平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,则,因为二面角的平面角为锐角,所以二面角的余弦值为20【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】(1)证明:平面,平面,四

13、边形是菱形,平面平面,平面平面(2)设与的交点为,以、所在直线分别为、轴,以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系(如图),则,设,则,设,设平面的法向量,求得为平面的一个法向量同理可得平面的一个法向量为,平面与平面所成的锐二面角的大小为,解得为的中点21【答案】(1)见解析;(2)【解析】(1)证明:在等腰梯形ABCD中,易知DAE为等边三角形,所以ODAE,OBAE,即在PAE中,OPAE,AE平面POB,AE平面ABCE,所以平面POB平面ABCE(2)在平面POB内作PQOB=Q,PQ平面ABCE直线PB与平面ABCE夹角为,又OP=OB,OPOB,O、Q两点重合,即OP平面ABCE,以O为原点,OE为x轴,OB为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,由题意得,各点坐标为,设平面PCE的一个法向量为,则,即,设,则,由题意得平面PAE的一个法向量,设二面角为,即二面角为的余弦值为22【答案】(1)见证明;(2)2【解析】(1)连接,菱形中,为等边三角形,又为中点,又,则,又,平面,又,平面,又平面,平面平面(2)平面平面,且交线为,平面,以为原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,则,设平面的一个法向量为,则,即,可取,又平面的法向量可取,由题意得,解得,即,又菱形的面积,四棱锥的体积为

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