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1、1.2类比推理课后训练案巩固提升一、A组1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:“mn=nm”类比得到“ab=ba”;“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)c=ac+bc”;“(mn)t=m(nt)”类比得到“(ab)c=a(bc)”;“t0,mt=xtm=x”类比得到“p0,ap=xpa=x”;“|mn|=|m|n|”类比得到“|ab|=|a|b|”;“acbc=ab”类比得到“acbc=ab”.以上式子中,类比得到的结论正确的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:正确,错误.答案:B2.下列平面图形中,与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A.三角形B.
2、梯形C.矩形D.平行四边形解析:因为平行六面体的六个面全为平行四边形,并且相对的每一对面平行且全等.类比这一性质可知平面中应类比平行四边形更合适.答案:D3.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是()A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,那么也与另一条相交B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,那么也与另一条垂直C.如果两条直线同时与第三条直线相交,那么这两条直线相交或平行D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,那么这两条直线平行答案:B4.类比三角形中的性质:(1)两边之和大于第三边(2)中位线长等于底边长的一半(3)三内角平分线交于一点可得四面体的对应性质:(1)任
3、意三个面的面积之和大于第四个面的面积(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点其中类比推理方法正确的有()A.(1)B.(1)(2)C.(1)(2)(3)D.都不对解析:以上类比推理方法都正确,需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价,方法正确结论也不一定正确.答案:C5.在以原点为圆心,半径为r的圆上有一点P(x0,y0),则圆的面积S圆=r2,过点P的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.在椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)中,当离心率e趋近于0时,短半轴b就趋近于长半轴a,此时椭圆就趋
4、近于圆.类比圆的面积公式得椭圆面积S椭圆=.类比过圆上一点P(x0,y0)的圆的切线方程,得过椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程为.解析:当椭圆的离心率e趋近于0时,椭圆趋近于圆,此时a,b都趋近于圆的半径r,故由圆的面积S=r2=rr,猜想椭圆面积S椭=ab,其严格证明可用定积分处理.而由切线方程x0x+y0y=r2变形得x0r2x+y0r2y=1,则过椭圆上一点P(x1,y1)的椭圆的切线方程为x1a2x+y1b2y=1,其严格证明可用导数求切线处理.答案:abx1a2x+y1b2y=16.在平面直角坐标系xOy中,二元一次方程Ax+By=0(A,B
5、不同时为0)表示过原点的直线.类似地:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示.解析:由方程的特点可知:平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面,“过原点”类比仍为“过原点”,因此应得到:在空间直角坐标系O-xyz中,三元一次方程Ax+By+Cz=0(A,B,C不同时为0)表示过原点的平面.答案:过原点的平面7.导学号18334027给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3-2)180,四边形的内角和为(4-2)180,五边形的内角和为(5-2)180,所以凸n边形的内角和为(n-2)180;(2)三角函数都是周期函数,y=tan x是三角函数
6、,所以y=tan x是周期函数;(3)狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的;鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的.狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物,所以,所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线互相平行;在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面,那么这两个平面互相平行.其中属于合情推理的是.(填序号)解析:根据合情推理的定义来判断.因为(1)(3)都是归纳推理,(4)是类比推理,而(2)不符合合情推理的定义,所以(1)(3)(4)都是合情推理.答案:(1)(3)(4)8.已知以下过程可以求1+2+3+n的和.因为(n+1)2-n2=2n+1,n2-(n-1
7、)2=2(n-1)+1,22-12=21+1,有(n+1)2-1=2(1+2+n)+n,所以1+2+3+n=n2+2n-n2=n(n+1)2.类比以上过程求12+22+32+n2的和.解:因为(n+1)3-n3=3n2+3n+1,n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1,23-13=312+31+1,有(n+1)3-1=3(12+22+n2)+3(1+2+3+n)+n,所以12+22+n2=13n3+3n2+3n-3n2+5n2=2n3+3n2+n6=n(n+1)(2n+1)6.二、B组1.在平面几何中有如下结论:正三角形ABC的内切圆面积为S1,外接圆面积为S2,则S1S2=14
8、,推广到空间可以得到类似结论.已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1,外接球体积为V2,则V1V2等于()A.18B.19C.164D.127解析:如图,正三角形的内切圆与外接圆为同心圆,其半径分别为r1,r2,且r1r2=12,所以S1S2=r12r22=14.类比此性质知正四面体P-ABC的内切球与外接球为同心球,其球半径分别为r,R.则=V1V2=r2R3.图图如图所示,正四面体P-ABC中,过点P作PE平面ABC,则E为底面正三角形ABC的中心,球心在PE上,设为O,于是OA=OP=R,OE=r,设正四面体棱长为a,则AE=33a,PE=63a.RtAOE中有R2=63a-R2+33
9、a2,解得R=64a.所以r=63a-64a=612a,V1V2=r3R3=127.答案:D2.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a0,且a1,下面正确的运算公式是()S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.B.C.D.解析:经验证易知错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),又S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x
10、-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).综上所述,选B.答案:B3.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体,在ABCD中,有AC2+BD2=2(AB2+AD2),那么在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC12+BD12+CA12+DB12等于()A.2(AB2+AD2+AA12)B.3(AB2+AD2+AA12)C.4(AB2+AD2+AA12)D.4(AB2+AD2)解析:如图所示,四边形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四边形,从而有AC12+CA12=2(AC2+AA12),BD12+DB1
11、2=2(BD2+BB12),所以AC12+CA12+BD12+DB12=2(AC2+BD2)+4AA12=4(AB2+AD2+AA12).答案:C4.已知ABC的顶点A,B分别是离心率为e的圆锥曲线x2m+y2n=1的焦点,顶点C在该曲线上;一同学已正确地推得:当mn0时有e(sin A+sin B)=sin C.类似地,当m0,nn0时,x2m+y2n=1为椭圆,|AC|+|BC|=2m,由正弦定理知,|AC|sinB=|BC|sinA=|AB|sinC|AC|+|BC|sinB+sinA=|AB|sinC2msinA+sinB=2csinCe=cm=sinCsinA+sinBe(sin A
12、+sin B)=sin C.当m0,n(2x+3)3-x的解是.解析:不等式x3-(2x+3)(2x+3)3-x可化为x3+x(2x+3)3+(2x+3),令f(x)=x3+x,则原不等式为f(x)f(2x+3),又f(x)=3x2+10,故函数f(x)=x3+x是R上的增函数.所以x2x+3,解得x-3.答案:x-36.导学号18334028若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.由类比推理可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=.解析:将等差数列前n项和类比到等比数列前n项的积,将等差中项的“倍数”类比到等比中项的“乘方”.因为等差数列an的前n
13、项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an,所以类比可得:在等比数列bn中,若其前n项的积为Pn,则P2n-1=bn2n-1.答案:bn2n-17.若ABC的边长分别为a,b,c,其对角分别为A,B,C,那么由a=bcos C+ccos B可类比四面体的什么性质?解:在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示PAB,PBC,PCA,ABC的面积,依次表示面PAB,面PBC,面PCA与底面ABC所成二面角的大小.猜想S=S1cos +S2cos +S3cos .8.圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合;球是空间中到定点的距离等于定长的点的集合.这两个定义很相似.于是我们猜想圆与球会有
14、某些相似的性质.试将平面上的圆与空间中的球进行类比.解:圆与球在它们的生成、形状、定义等方面都具有相似的属性.据此,在圆与球的相关元素之间可以建立如下的对应关系:弦截面圆,直径大圆,周长表面积,圆面积球体积,等等.于是,根据圆的性质,可以猜测球的性质如下表所示:圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆心的连线垂直于截面与圆心距离相等的两弦相等,与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆是等圆;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于经过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心圆的周长c=d球的表面积S=d2圆的面积S=r2球的体积V=43r3