《2020版导与练一轮复习理科数学课件：第五篇 数列（必修5） 第2节 等差数列 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版导与练一轮复习理科数学课件：第五篇 数列（必修5） 第2节 等差数列 .ppt（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第2节等差数列,考纲展示,知识链条完善,考点专项突破,知识链条完善把散落的知识连起来,知识梳理,1.等差数列的相关概念(1)定义:一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的都等于常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为_(n2,nN*,d为常数).,差,同一个,an-an-1=d,a1+(n-1)d,2.等差数列的通项公式(1)若等差数列an的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=.(2)通项的推广:an=am+d.,(n-m),2am,4.等差数列an的性质(1)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(其中m,n,p,qN*),特别地,若p+q=2m,则ap+aq=(p
2、,q,mN*).(2)若等差数列an的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,成等差数列.(3)若下标成等差数列,则相应的项也成等差数列,即ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)成等差数列.(4)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.5.等差数列的增减性与最值公差d0时为递数列,且当a10时,前n项和Sn有最值.,小,大,增,减,6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p0时,(n,an)在一次函数y=px+q的图象上,即
3、公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点.当p=0时,an=q,等差数列为常数列,此时数列的图象是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点.,【重要结论】1.等差数列an中,若am=n,an=m,则am+n=0.2.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=Sn(mn),则Sm+n=0.3.等差数列an的前n项和为Sn,若Sm=n,Sn=m,则Sm+n=-(m+n).,对点自测,B,1.在等差数列an中,若a2=4,a4=2,则a6等于()(A)-1(B)0(C)1(D)6,解析:由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=22-4=0,选B.,D,2.(20
4、18山西太原模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a2+a3+a10=9,则S9等于()(A)3(B)9(C)18(D)27,C,3.(教材改编题)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100等于()(A)100(B)99(C)98(D)97,4.在等差数列an中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取得最大值,则d的取值范围为.,5.下列说法正确的是.(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(2)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2.(3)等差数列an的单调性是由公差d决定的.(
5、4)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(5)数列an满足an+1-an=n,则数列an是等差数列.(6)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列.,答案:(2)(3)(6),考点专项突破在讲练中理解知识,考点一等差数列的基本量运算,【例1】(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;,解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.,(2)求Sn,并求Sn的最小值.,解:(2)由(1)得Sn=n2-8n
6、=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.,反思归纳,【跟踪训练1】(1)等差数列an的前n项和为Sn,若S8-S4=36,a6=2a4,则a1等于()(A)-2(B)0(C)2(D)4,(2)(2018安徽两校阶段性测试)若等差数列an的前n项和为Sn,且满足a2+S3=4,a3+S5=12,则a4+S7
7、的值是()(A)20(B)36(C)24(D)72,考点二等差数列的判定与证明,【例2】(2018贵州适应性考试)已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;,解:(1)由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.,反思归纳,等差数列的四个判定方法(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数;(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2;(3)通项公式法:得出an=pn+q(p,q是常数);(4)前n项和公式法:得
8、出Sn=An2+Bn(A,B是常数).,【跟踪训练2】已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,an0,anan+1=Sn-1,其中为常数.(1)证明:an+2-an=;,(1)证明:由题设知anan+1=Sn-1,an+1an+2=Sn+1-1,两式相减得an+1(an+2-an)=an+1,由于an+10,所以an+2-an=.,(2)是否存在,使得an为等差数列?并说明理由.,考点三等差数列的性质,【例3】(1)(2018吉林省百校联盟联考)已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25等于(),答案:(1)D,答案:(2)A,(3)设等差数列an的前n项和为Sn,若S3
9、=9,S6=36,则a7+a8+a9=.,解析:(3)由an是等差数列,得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),得到S9-S6=2S6-3S3=45,即a7+a8+a9=45.,答案:(3)45,反思归纳,一般地,运用等差数列性质可以优化解题过程,但要注意性质运用的条件,如m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,qN*).,答案:(1)D,(2)在等差数列an中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.,解析:(2)因为an是等差数列,所以a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=2
10、5,所以a5=5,a2+a8=2a5=10.,答案:(2)10,考点四等差数列的最值问题,【例4】等差数列an的首项a10,设其前n项和为Sn,且S5=S12,则Sn有最大值时,n=.,答案:8或9,反思归纳,求等差数列前n项和的最值,常用的方法:(1)利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;(2)利用性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;(3)将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.要注意an=0的情形.,【跟踪训练4】(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,当Sn最大时,n的值是()(A)5(B)6(C)7(
11、D)8,解析:(1)法一由S3=S11,得a4+a5+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据首项等于13可推知这个数列递减,从而得到a70,a80,则其前n项和取最小值时n的值为()(A)6(B)7(C)8(D)9,解析:(2)等差数列的公差为正数,则a11=-a60,所以a6+a11=a8+a9=0,据此可得a80,则其前n项和取最小值时n的值为8.故选C.,备选例题,【例1】(2018东北三校联考)已知数列an的首项为3,bn为等差数列,且bn=an+1-an(nN*),若b3=-2,b2=12,则a8等于()(A)0(B)-109(C)-181(D)121,【例2】若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列的项数为()(A)13(B)12(C)11(D)10,点击进入应用能力提升,