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1、第9课时空间几何中的平行和垂直的综合应用基础达标(水平一 )1.已知,为平面,a,b,c为直线,则下列命题中正确的是().A.a,若ba,则bB.,=c,bc,则bC.ab,bc,则acD.ab=A,a,b,a,b,则【解析】选项A中,b或b,故A错误.选项B中,b与不一定垂直,故B错误.选项C中,ac或a与c异面或a与c相交,故C错误.利用面面平行的判定定理,可知D正确.【答案】D2.已知,是两个不同的平面,m,n是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是().A.若m,=n,则mnB.若m,nm,则nC.若m,n,则mnD.若,=n,mn,则m【解析】对于A,m,=n,则mn或m与n异面,故
2、A错误;对于B,若m,nm,则n或n,故B错误;对于C,若n,则n或n,又m,所以mn,故C正确;对于D,若,=n,mn,则m可能与相交或与平行或在内,故D错误.故选C.【答案】C3.在三棱锥A-BCD中,AD与BC互相垂直,且AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是().A.若分别作BAD和CAD的边AD上的高,则这两条高所在直线异面B.若分别作BAD和CAD的边AD上的高,则这两条高长度相等C.AB=AC且DB=DCD.DAB=DAC【解析】如图,作BEAD交AD于点E,连接CE.因为ADBC,所以AD平面BEC,所以ADCE.设AB+BD=AC+CD=m,则BE2=AB2-AE2=(
3、m-AB)2-DE2,可得AB=m2-DE2+AE22m.同理,AC=m2-DE2+AE22m,所以AB=AC.故ABDACD.【答案】A4.若a,b为异面直线,则下列结论不正确的是().A.必存在平面使得a,bB.必存在平面使得a,b与所成角相等C.必存在平面使得a,b,D.必存在平面使得a,b与的距离相等【解析】选项C中,由线面垂直的性质定理知,当a,b不垂直时,不存在平面使得a,b,故错误.【答案】C5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是棱A1B1、B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=a3.若过点P、M、N的平面交上底面于PQ,点Q在CD上,则PQ
4、=.【解析】如图所示,连接AC,易知MN平面ABCD,MNPQ.又MNAC,PQAC.AP=a3,PDAD=DQCD=PQAC=23,PQ=23AC=223a.【答案】223a6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交.求证:EFBD1.【解析】如图,连接AB1,B1D1,B1C,BD.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,DD1BD=D,AC平面BDD1B1.又BD1平面BDD1B1,ACBD1.同理可证BD1B1C.又B1CAC=C,BD1平面AB1C.EFAC,EFA1D,又A1DB1C,EFB1C.又ACB1C=C,EF
5、平面AB1C,EFBD1.7.如图,ABC是正三角形,AE与CD均垂直于平面ABC,且AE=AB=2a,CD=a,F是BE的中点.求证:(1)DF平面ABC;(2)AFBD.【解析】(1)如图,取AB的中点G,连接FG,CG,则FG12AE.CD平面ABC,AE平面ABC,CDAE.又CD=12AE.FGCD.FG平面ABC,四边形CDFG是矩形,DFCG.又CG平面ABC,DF平面ABC,DF平面ABC.(2)在RtABE中,AE=2a,AB=2a,F为BE的中点,AFBE.ABC是正三角形,CGAB,DFAB.又DFFG,FGAB=G,DF平面ABE.AF平面ABE,DFAF.BEDF=F
6、,AF平面BDF.又BD平面BDF,AFBD.拓展提升(水平二)8.如图所示,在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90.将ADB沿BD折起,使平面ABD平面BCD,构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中,下列命题正确的是().A.AD平面BCDB.AB平面BCDC.平面BCD平面ABCD.平面ADC平面ABC【解析】在四边形ABCD中,ADBC,AD=AB,BCD=45,BAD=90,所以BDCD.又平面ABD平面BCD,且平面ABD平面BCD=BD,所以CD平面ABD,所以CDAB,又ADAB,ADCD=D,所以AB平面ADC,所以平面ABC平面ADC.【答
7、案】D9.设m,n,l是三条不同的直线,是一个平面,lm,则下列说法正确的是().A.若m,l,则mB.若ln,则mnC.若ln,则mnD.若mn,n,则l【解析】若lm,ln,则m与n可能平行,也可能相交或异面,故B,C都不正确;由lm,mn,可得ln,但不一定有l,故D不正确;A正确.故选A.【答案】A10.如图,在边长为4 cm的正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,M,N分别为AB,CF的中点,现沿AE,AF,EF折叠,使B,C,D三点重合,重合后的点记为B,构成一个三棱锥,则MN与平面AEF的位置关系是.【解析】如图,由题意可知,点M,N在折叠后分别是AB,BF的中点(折叠
8、后B,C两点重合),所以MNAF.因为MN平面AEF,AF平面AEF,所以MN平面AEF.【答案】平行11.如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD,E和F分别是CD和PC的中点,求证:(1)PA底面ABCD;(2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.【解析】(1)平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,PA平面PAD,PA底面ABCD.(2)ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,ABDE,且AB=DE,四边形ABED为平行四边形,BEAD.又BE平面PAD,AD平面PAD,BE平面PAD.(3)ABAD,且四边形ABED为平行四边形,BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD.PACD,且PAAD=A,PA平面PAD,AD平面PAD,CD平面PAD.又PD平面PAD,CDPD.E和F分别是CD和PC的中点,PDEF,CDEF.又BECD且EFBE=E,CD平面BEF.又CD平面PCD,平面BEF平面PCD.