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1、9三角函数的简单应用内容要求1.了解三角函数是研究周期现象最重要的模型(重点).2.初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题(难点)知识点1利用三角函数模型解决实际问题在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化，而三角函数模型是刻画周期性问题的最优秀的数学模型利用三角函数模型解决实际问题的具体步骤如下：(1)收集数据，画出“散点图”；(2)观察“散点图”，进行函数拟合，当散点图具有波浪形的特征时，便可考虑应用正弦函数和余弦函数模型来解决；(3)注意由第二步建立的数学模型得到的解都是近似的，需要具体情况具体
2、分析【预习评价】求下列函数的周期(1)yAsin(x) (0)的周期是T；(2)yAcos(x) (0)的周期是T；(3)yAtan(x) (0)的周期是T.知识点2三角函数模型在物理学中的应用在物理学中，当物体做简谐运动时，可以用正弦型函数yAsin(x)来表示运动的位移y随时间x的变化规律，其中：(1)A称为简谐运动的振幅，它表示物体运动时离开平衡位置的最大位移；(2)T称为简谐运动的周期，它表示物体往复运动一次所需的时间；(3)f称为简谐运动的频率，它表示单位时间内物体往复运动的次数【预习评价】在函数yAsin(x)b(A0，0)中，A，b与函数的最值有何关系？提示A，b与函数的最大值y
3、max，最小值ymin关系如下：(1)ymaxAb，yminAb；(2)A，b.题型一已知解析式求周期最值【例1】交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E220sin来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间解(1)当t0时，E110(V)即开始时的电压为110 V.(2)T(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V.当100t，即t s时第一次取得最大值规律方法由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合三角函数的相关知识，因此明确三角函数中的每个量对应的物理中的量
4、是解答此类问题的关键【训练1】单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系为s6sin.(1)作出它的图像；(2)单摆开始摆动时，离开平衡位置多少厘米？(3)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置多少厘米？(4)单摆来回摆动一次需要多少时间？解(1)图略(2)当t0时，s6sin63，即单摆开始摆动时，离开平衡位置3 cm.(3)s6sin的振幅为6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6 cm.(4)s6sin的周期为1，所以单摆来回摆动一次需要的时间是1 s.题型二已知模型求解析式【例2】如图所示，表示电流I与时间t的关系式：IAsin(t)(A0，0)在一个周期
5、内的图像根据图像写出IAsin(t)的解析式解由图像可知A300，又T2，100.又t时，t0，100()0即，I300sin.规律方法将实际问题的“条件”与函数模型“yAsin(x)B”中A，B的意义对照，转化为数学问题是解决应用题的关键【训练2】如下图所示，是一弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式为_解析设该振子振动的函数解析式为yAsin(x)，由图可知，该振子作简谐运动的图像的平衡位置是t轴，振幅A为2，周期T2(0.50.1)0.8，所以，则y2sin.将点(0.1,2)代入，得.故该振子振动的函数解析式为y2sin.答案y2s
6、in【例3】据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)Asin(x)7来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为()A4.2万元B5.6万元C7万元D8.4万元解析由题知A2，T2(73)8，.f(x)2sin7，把x10代入得y78.4万元答案D【迁移1】例3改为问：在一年内商品价格不低于8万元的时间持续多长？解由f(x)2sin78易知有5个月的时间满足条件【迁移2】例3中当价格低于7万元时销量大增，需要安排加班生产，问何时应该开始加班？何时加班结束？解由2sin77得5x9，所以应该在5月份开始加班，
7、直到9月份加班结束规律方法三角函数的应用在生产生活中的求解框图课堂达标1一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于()A. B. C. D.解析T，所以，2，则l.答案D2.函数f(x)的部分图像如图所示，则f(x)的解析式可以是()Af(x)xsin xBf(x)Cf(x)xcos xDf(x)x解析观察图像知，函数为奇函数，排除D；又函数在x0处有定义，排除B；令x，f0，A不合适，故选C.答案C3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角(
8、)与时间t(s)满足函数关系式sin，则当t0时，角的大小及单摆频率是_解析t0时，sin，由函数解析式知单摆周期T，频率为.答案4某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos (x1,2,3，12，A0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.解析由题意得y235cos，当x10时，y23520.5.答案20.55如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时(1)求此人相对
9、于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.解(1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处这时此人所转过的角为 t t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h10sin t12(t0)(2)由10sint1217，得sint，则t. 故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.课堂小结1三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型，三角函数模型在研究物理 、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用2三角函数模型构建的步骤：(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象(2)制作散点图，选择函数模型进行拟合(3)利用三
10、角函数模型解决实际问题(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.基础过关1如图，是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至()A甲B乙C丙D丁解析该题目考察了最值与周期间的关系；相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度相差半个周期，选C.答案C2电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)(A0，0,0)的图像如图所示，则当t秒时，电流强度是()A5安B5安C5 安D10安解析由图像知A10，100，I10sin(100t)(，10)为五点中的第二个点，100.，I10sin(100t)，当t秒时，I5安答案A3若近似认为月球绕地球公转与地球绕太阳
11、公转的轨道在同一平面内，且均为正圆，又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5天(下图是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图)则月球绕地球一周所用的时间T为()A24.5天B29.5天C28.5天D24天解析由题图知，地球从E1到E2用时29.5天，月球从月、地、日一条线重新回到月、地、日一条线，完成一个周期答案B4函数y2sin的最小正周期在内，则正整数m的值是_解析T，又，8m9，且mZ，m26,27,28.答案26,27,285某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t0时，点A与钟面上标有12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表
12、示成t(s)的函数，则d_，其中t0,60解析将解析式可写为dAsin(t)的形式，由题意易知A10，当t0时，d0，得0；当t30时，d10，可得，所以d10sin.答案10sin6.如图所示，某地夏天从814时的用电量变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(0)(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；(2)写出这段曲线的函数解析式解(1)最大用电量为50万kWh，最小用电量为30万kWh.(2)观察图像可知从814时的图像是yAsin(x)b的半个周期的图像，A(5030)10，b(5030)40.148，.y10sin40.将x8，y30代入上式，又00)，f()f()，且f(x)在区间
13、(，)上有最小值，无最大值，则_.解析依题意，x时，y有最小值，sin()1，2k(kZ)8k(kZ)，因为f(x)在区间(，)上有最小值，无最大值，所以，即1时才可对冲浪者开放，cos t11，cos t0，2kt2k，kZ，即12k3t12k3，kZ.0t24，故可令中k分别为0,1,2，得0t3或9t15或21t24.在规定时间上午800至晚上2000之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午900至下午300.13(选做题)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间？解(1)如图所示建立直角坐标系，设角是以Ox为始边，OP0为终边的角OP每秒钟内所转过的角为.则OP在时间t(s)内所转过的角为t.由题意可知水轮逆时针转动，得z4sin2.当t0时，z0，得sin ，即.故所求的函数关系式为z4sin2.(2)令z4sin26，得sin1，令t，得t4，故点P第一次到达最高点大约需要4 s