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1、探究教学的一些思考-从勾股定理的探索谈开去210013 江苏教育学院数学系 章飞勾股定理，作为平面几何有关度量的最基本定理，是世界各国初中阶段数学学习的经典内容，而且其探究方法多样，因而成为国际数学教育比较、数学课堂教学研究的热点课题。为此，本文选择该课题，以其教学设计为切入点，谈谈笔者对于命题探究教学的一些思考。1 勾股定理探究的教学设计1.1以问题为驱动，揭示学习的必要性数学源于问题，学习也是如此。正如张奠宙先生所言，“没有问题的数学教学，不会有火热的思考”。因而，问题是思维的起点，任何有效的数学教学必须以问题为起点，以问题为驱动，激发学生学习的欲望，同时也揭示知识学习的必要性，并在问题解
2、决中学习新知。勾股定理作为平面几何有关度量的最为基本定理，源于实际问题解决的需要。因而，作为勾股定理学习的第一课时，也应选择某个现实的或数学的问题情境，揭示勾股定理学习的必要性。例如，可以根据学生认知状况选择下面某个问题情境：情境a：一次强台风中，一根旗杆在离地面9米处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处。旗杆折断之前有多高？情境b：某隧道的截面是一个半径为3.6米的半圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能顺利通过该隧道吗？情境c：如图（图略），圆柱高30厘米，底面直径10厘米，一只蚂蚁沿着圆柱侧面从下底面的A处爬到上底面的B处，它怎么爬最近，最近距离是多少？情境d：等腰三角形ABC中，底边
3、BC的长为6，腰AB的长为10，你能求该三角形的面积吗?上面4个情境，侧重点各有不同。如，情境a比较现实、简单，学生易于理解，可以较快地切入教学主题，适宜认知水平一般的班级选用；而情境b则更具现实性和挑战性，学生认知水平较高的班级，可以选用该情境；情景c，具有一定的趣味性，可以激发学生的学习兴趣，但其更具挑战性，教学中可以选择该情境作为本章初始问题，但不必要求学生在本堂课求解，可以在本章学习的最后，让学生再回顾并最终解决该问题；情景d，则来自数学内部，关注了数学自身研究的需要，同时也关注了知识间的内在联系，便于整体认知。不管选择哪个情境，都离不开主题：希望通过师生的研讨，引导学生思考“直角三角
4、形中，任意两条边确定了，另外一条边也就随之确定。三条边之间确实存在一个特定的数量关系”，从而引出学生对于直角三角形中三边长度关系的探索，并点明课题：勾股定理。1.2大胆尝试猜想，问题解决的出发点转化（化归）与尝试猜测是学生研究新问题的两个最为基本的策略。如果这个新的问题和原来所学习过的某个知识存在某种显性的联系，学生一般设法将该问题转化或化归为原有问题（如将二元一次方程组转化为一元一次方程），从而获得其解；如果这个新的问题属于一个全新的知识领域，没有与其具有显性联系的先前知识准备，化归的思路将难以实现，这时，大胆尝试、猜测是学生的一个自然的选择。显然，直角三角形三边长度之间的关系（勾股定理）的
5、探索，属于后者。为此，可以设计活动：活动1：在作业纸上任意画出若干个直角三角形，测量它们各边的长度，猜测并检验三边长度之间的关系。当然，探索直角三角形三边长度之间关系时，学生一般多先思考三边长度之间的一次关系，而较难想到三边长度之间的二次关系。为此，对于学力水平一般的班级，可以直接告诉学生，“前人发现直角三角形三边长度的平方之间存在某种关系”，直接进入平方关系的探索，从而避免学生花费过多的时间于此；对于学力水平较高的班级，可以在学生发现未必存在一次关系的基础上，提请学生思考它们之间是否存在二次关系。此外，具体教学中，为了便于学生的发现，也可以要求学生绘制直角边长为整数的直角三角形，还可以设计一
6、个表格，让学生填表。有条件的学校，在学生探索三边长度之间关系时，还可以在计算机上绘制更多的直角三角形，验证或排除学生所探索的关系，甚至让学生在几何画板环境中自主地探究、猜想、排除错误猜想、验证正确猜想等。1.3操作验证猜想，确认结果的合理性基于测量结果的猜想，是难能让学生自己信服的（毕竟测量可能存在一定的误差），通过各种活动让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的。为此，可以让学生通过下面的一系列探索活动，进一步确信自己的猜想，获得勾股定理：活动2（1）：图1中，直角三角形三边长的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系？你是如何计算的？与同伴交流。对于图2的直角三角形，是否还满足这样的关系
7、呢？通过活动1，学生已经猜想出直角三角形三边长平方之间的关系式，因而作以其三边为边长的正方形是比较自然的（对于学生学力水平较高的班级，可以引导学生思考如何通过图形表示三边长的平方，从而引入活动2（1）。图1中正方形面积的计算比较容易，而计算图2中斜边上正方形的面积时，学生可能存在一定的困难，但教学中如能给学生适当的指导和一定的活动时间，学生是可以自主解决该问题的，而且这个问题解决的方案可能是多样的，如：直接数出正方形内部所包含的完整小方格的个数，而将不足一个方格的部分都算半个（结果也恰好相等，这时教师可以给予学生适当的鼓励，并进一步追问其中的道理，使得学生明确这个方法的缺陷，甚至学生可能对这个
8、方法进行完善得到方法）；将不足一个方格的部分进行适当的拼凑，以拼凑出若干个完整的小方格；将斜边上的正方形划分为若干个边长都是整数的直角三角形，再利用三角形面积公式得出其面积，如图3左图；在斜边上的正方形的各边上补一个直角三角形得到一个大的正方形，如图3右图。相信，在老师适当的指导下，学生一般都能探讨出两种方法。这样，就验证了两直角边的长是整数的情况。那么，对于直角边的长不是整数时，情况又如何呢？学生可能还存在疑虑，为此，可以根据学生具体状况，选择下面的活动2（2）或活动2（3）中某一个让学生进行探索：活动2（2）：如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数
9、量关系还成立吗？说明你的理由。活动2（3）：一般地，对于图4的直角三角形（为了便于学生寻求联系，教学中可以选择图2中某个直角三角形，直接将方格纸底纹去掉），所猜想的结论还成立吗？活动2（2）中直角边长不再是整数，可以引导学生利用更小的网格纸，从而将直角边长转化为整数(实际上，这就解决了所有有理数的情况)；活动2（3），实际上就是一般的边长为a、b的情形，由于有了活动（1）的铺垫，学生可以类似于上面、的方法算出斜边上正方形的面积（如图5、图6），从而，对学生而言，就解决了一般的直角三角形的情况，获得了勾股定理。在学生获得勾股定理后，可以介绍一些有关勾股定理的史料或趣闻（如赵爽的弦图、世界数学家大
10、会徽标、华罗庚建议用以与外星人交流的图形等），让学生感受到勾股定理之历史悠远，作为平面几何基本定理之一的意义等，揭示一定的文化价值。1.4 应用巩固获得有关命题后，固然希望在一定的应用情境中加以巩固，为此，可以让学生回过来解决原来情境中的问题，与前面形成呼应，使得整个课堂成为一个有机的整体；当然，如果时间关系或者初始情景比较难，也可以设计另外一些习题用以巩固新知。1.5课堂小结应该说，本节课值得小结的内容很多，可以引导学生小结本课所学习到的具体知识、获取知识的过程与方法、勾股定理的文化价值、学生自己在探究活动中所获得的启示甚至情感体验等。1.6课外练习课外作业的目的固然是巩固与发展本课所学的知
11、识与方法，为此设计了下面这样几个问题，读者可以体会这几道题的意图。（1）求图7等腰三角形ABC的面积。（2）在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方法验证勾股定理。看看你有哪些方法，并说说你的方法与课堂上方法之间的联系与差别。（3）图8是美国总统Garfield于1876年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它验证勾股定理吗？说一说这个方法和本节的探索方法的联系。（4）图9，方格纸上每个小方格代表一个单位面积，求四边形ABCD的面积是多少，你是怎么算的？（5）图10，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积和恰好等于最大的正方形面积，
12、尝试给出两种以上的方案。2 值得研究的几个问题2.1有关命题探究课堂教学的流程上面这个案例中，探究勾股定理课堂教学的流程为：提出探究课题-大胆尝试猜测结论-进一步验证结论或者证明结论-巩固新知-小结新知。这样的流程设计是否能作为有关命题探究课堂教学的一般模式？这个问题值得探讨。2.2探索应是自然的、基于学生内在需要的部分设计者认为，在上面的探究活动中，可以省去探究活动1，直接呈现方格纸上的部分特殊直角三角形，让学生计算三边上正方形的面积，并据此获得猜想。问题是：如果学生没有借助活动1猜想出三边平方之间的关系，怎么会研究三边上正方形的面积呢？当然，如果由于课堂时间或学生学力水平等原因，真想省去活
13、动1，那也必须先明确告诉学生，“前人已经发现直角三角形三边长的平方之间存在一个特定的关系”，并引导学生思考三边长的平方如何表示，再借助方格纸进行探索。部分设计者提供（或要求学生画）的直角三角形的边长都是特殊值，如三边依次为3，4，5（6，8，10或5，12，13等），问题是：学生不禁要思考，这些数据从何而来？部分设计者让学生从事一定的图像拼摆活动（如，在一张纸上复制四个全等的直角三角形，试用它们拼出一个正方形，并计算这个正方形的面积，从中你能获得什么结论），从而发现勾股定理。确实，活动中学生可以拼出类似于图5、图6的图形，从而自己发现勾股定理。问题是，这个发现对学生而言全是无意识的，或者说是“
14、碰到的”，在未来学习、工作、考试中，没有老师的指引，学生还能“碰巧”发现其他规律吗？学生可能更为关心，老师是如何想到这个活动的。因此，探究性课堂上，课题的提出以及探究方案的设计应基于学生的内在需要，自然发生的，这样的探究性活动才是自主的，学生的学习才是主动的。否则，看似学生自己在探索，实际上，学生的探究永远在教师预设的轨道上，这样的探索并非自主的，而实是教师的一种“牵引”、改头换面的一种“提供”；在这样的探究活动中，学生甚至不知为什么要从事这样的探究活动，不知探究思路的来源，因而，在未来的学习或考查中，面临着新的探索情境，学生并不知道基本的探索方法和思路，难能发展学生的探究能力。当然，笔者并非
15、鼓吹什么东西都要求学生自主探索，但既然我们选择某个课题让学生进行自主探索，发展学生探究能力，就应基于学生自身的需要进行探究活动；如果确实该问题的探究较难，学生不具备这样的探究能力，索性直接介绍有关结论及其证明，让学生掌握“什么”与“为什么”的知识并能运用，也未尝不可。2.3探究活动是紧密联系的、层层递进的历史上关于一个命题的探究方法可能很多，要求学生依次探究这些方法，既不现实也不必要。为此，我们需要对这些方法进行梳理、归类，寻求这些方法的本质和方法间的联系，并根据学生的学力水平，思考：哪些方法可以作为对全体学生的要求，哪些方法可以供部分学有余力的学生探究，哪些方法可能在课堂上得以实现，哪些方法
16、只能让学生在课外解决等，从而选择其中某些紧密联系、层层递进的思路设计有关命题的课堂探究活动。在上面的行文中，我们已经分析了探究活动1、活动2（1）、活动2（2）、活动2（3）之间的关系，读者也可以从课外作业（2）、（3）中再次感受到各个探究活动之间的内在联系。实际上，关于勾股定理的探究，方法多多，但基本可归结为3类：1上面的拼图“算两次”；2“无字的证明”，如我国的“青朱出入图”等；3欧几里得利用等积变换的证法。对于初一、初二学生而言，欧几里得的方法较难理解，一般不介绍。那么如何处理前两种方法呢？笔者认为，应根据学生的学力水平灵活选择使用。如果学生学力水平一般，可以仅仅介绍上面的所谓“算两次”
17、的方法，让学生认识到这个结论的正确性并能灵活运用即可，要求课上或课外进一步通过图形的拼摆获得更多的感性认识，并提供一些阅读材料，让有兴趣的同学课外自主研究；如果学生学力水平较高，可以在课堂内引导学生揭示几者之间的关系，进一步探究；也可以要求学生，课外组成合作小组，收集有关资料，整理有关勾股定理证明的相关知识，并写成课题报告，与同学交流。下面，再呈现一些资料，希冀揭示一些具体方法之间的关系，感兴趣的老师可以根据学生的知识水平，设计适当的教学案例。活动3（1）：前面，通过测量、数格子和图形的割补、拼摆等方法发现，如图11两个小正方形的面积和恰好等于大正方形的面积，那么，能否将大正方形通过适当的剪切
18、后再拼接成两个小的正方形呢？如果这几个正方形重复的部分多一点，那可能就方便一些了!活动3（2）：如果我们将图11中的某个正方形翻折过来，就可以得到图12，大正方形和两个小正方形有很多重叠的部分。你能将两个小正方形中多出的部分剪下来，正好补到大正方形上去吗？（其答案如图13）活动3(3)：不同的翻折将得到不同的分割方法，试着多尝试几种。活动4：实际上，上面的活动可以得到我国著名的“青朱出入图”（略）。“青朱出入图”，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，真是“无字的证明”！下面我们就一起去体验一下这个“无字证明”吧！也许我们还能创造出多种多样的“无字证明”呢！（1）任作一个直角三角形
19、ABC。以其斜边AB为边向直角顶点C所在一侧作正方形ABDE；延长AC交DE于F；过E作AF的垂线EG，G为垂足；在线段BC上截取BH等于AC；过H作BC的垂线HI，交AB于I，如图14。沿这些线将正方形剪开，就得到了一副五巧板。（2）取两副五巧板，将其中的一副拼成一个以c为边长的正方形；将另一副五巧板拼成两个边长分别为a、b的正方形。（3） 你能拼出青朱出入图吗？当然可能有部分是重复的了。（4） 利用五巧板，你还能通过怎样的拼图验证勾股定理？与同伴交流。活动5：“青朱出入图”真是“无字的证明”。在印度、阿拉伯世界和欧洲也出现了一种“无字证明”方法。做法是：如图15，过较大正方形的中心，作两条
20、互相垂直的线，将其分成4份。然后，将这四个部分围在四周，小正方形填在中间，恰好得到大正方形。当然，“两条互相垂直的线”可有很多哟,你如何选择一条恰当的呢？亲自做一做，可能会有更多的收获！2.4探究需要从合情走向相对逻辑新课程加强了合情推理能力的培养，但同时也不能忽视逻辑推理的作用。“合情推理与逻辑推理往往协同作用，因而，两者是一个统一的整体，而非人为分裂的两个过程或部分” 1因此，有关命题的探究学习中，需要大胆的尝试、猜测，获得某些合情的、或然的结论，但更需要进一步让学生确信这些结论的正确性，从合情走向逻辑，从或然走向必然，这既是后续知识运用的基础，也是发展学生理性精神的要求。在上面的教学设计
21、中，活动1的测量是合情的，或然的，因为测量结果有误差；活动2（1）也是合情的，只是利用特殊数据对上面猜想结果的一个验证，不能说明一般情形的正确性；因此，有必要进一步开展活动2（2）或活动2（3），对更一般的情况进行说理，让学生感受到结论是逻辑的必然、严密的、正确可靠的。当然，这里的逻辑、严密是相对的。可能有人认为，活动2（2），只是两个直角边是有理数的情形，并非真正意义上的一般情形；活动2（3），虽然已是一般情形，但多数课堂教学中可能并没有要求学生严格地证明所拼出的图形是正方形，因而结论也不是绝对严密的。实际上，这里涉及到对逻辑性、严密性的认识问题。笔者认为，逻辑性、严密性是相对于认识主体而言
22、的。作为教学任务的一个数学结论，其认识主体是学生，因而，教学过程中，一个结论的逻辑性、严密性，并非数学科学层面上的逻辑性、严密性，并非由数学工作者评价的，而应基于课堂的教学目标和学生的实际感受。如果学生对这个结论及其探究过程深信不疑，对学生而言，该结论就是逻辑的、严密的。基于上述观点，笔者认为，通过活动2（2）、2（3），学生能够确信勾股定理的正确性，认为探究过程是严密的。类似的问题，数学学习中比比皆是。如，在引导学生发现了一些数（如2）是客观实在的，但又不是学生过去所学习的有理数的情况下，教科书或者教师将“不是有理数的数”定义为无理数，从数学科学而言是不严密的，但初中阶段的学生绝不会认为其不严密，因为在其现有认知水平下，尚不可能产生虚数的概念。因此，对初中学生而言，这样的定义是合理的。本文从勾股定理的探索出发讨论了命题探究教学设计的一些思考，但教学设计只是课前的一个预设，而真正的课堂教学并非能完全预设的。实际的课堂教学中，需要处理好预设与生成的关系，根据学生课堂状况生成更为恰当的探究活动，实施更为有效的教学。参考文献：1章飞 初中阶段几何改革的争议分析与策略思考，时代数学学（教研版）2005年9、10合期P44-46