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1、第一章空间向量与立体几何第一章空间向量与立体几何1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(第三课时)李思李思CONTENTS04课堂总结02利用空间向量研究垂直问题03典型例题目目 录录01知识回顾01知识回顾知识回顾1.求平面法向量的步骤:(1)设法向量n=(x,y,z);(2)在平面内找两个不共线向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3);(3)建立方程组(4)解方程组:用一个未知量表示其他两个未知量,然后对用来表示两个未知量的未知量赋以特殊值(不能取0,赋值时一般尽量保证x,y,zZ,这样求得的法向量在后续的解题运算中更为简单),从而得到平面的一个法向量.1231230,
2、0;n aa xa ya zn bb xb yb z知识回顾知识回顾知识回顾02利利用空间向量研究垂直问题用空间向量研究垂直问题几何法、基底法和坐标法几何法：利用判定定理和性质定理解决问题;基底法：利用基向量进行向量运算解决问题; 坐标法：通过建系,利用向量的坐标运算解决问题.基底法和坐标法都是向量法.在解决具体问题时,要灵活选择方法,当图形垂直特征明显且坐标易求时优先选择坐标法.1.解决立体几何问题的方法利用空间向量证明线线垂直只需证明两直线的方向向量垂直即可.2.利用空间向量证明线线垂直3.利用空间向量证明线面垂直(1)基底法:先用基底分别表示直线与平面内两条相交直线的方向向量, 直线的方
3、向向量与平面内两条相交直线的方向向量的数量积分别为0。 得到线线垂直,从而得到线面垂直.(2)坐标法:建立空间直角坐标系,证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(1)利用两个平面垂直的性质定理将面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线线垂直.(2)直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.4.利用空间向量证明面面垂直03典型例题典型例题利用空间向量证明线面垂直例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC. 证明证明 证法一:设=a,=b,=c,连接BD,则=+=(+)=(+)=(+-)=(b+c-a),=+=a+b
4、.=(b+c-a)(a+b)=(b2-a2+ca+cb)=(|b|2-|a|2+0+0)=0,即EFAB1.同理,可证EFB1C.又AB1B1C=B1,AB1,B1C平面B1AC,EF平面B1AC.AB1AAADEF1EB1B F121BB11B D121AABD121AAADAB121ABAB1AAEF1AB121212EF1AB利用空间向量证明线面垂直例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC.证法二:设正方体的棱长为2a,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2a,0,0),C(0,2a,0),B1(2a,2a,2a),E(2a,
5、2a,a),F(a,a,2a),=(-a,-a,a),=(0,2a,2a),=(-2a,2a,0).=(-a,-a,a)(0,2a,2a)=-a0+(-a)2a+a2a=0,=(-a,-a,a)(-2a,2a,0)=2a2-2a2+0=0,EFAB1,EFAC.又AB1AC=A,AB1,AC平面B1AC,EF平面B1AC.EF1ABACEF1ABEFAC利用空间向量证明线面垂直例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF平面B1AC. 证法三:由证法二得=(-a,-a,a),=(0,2a,2a),=(-2a,2a,0).设平面B1AC的法向量为n=
6、(x,y,z),则即令y=1,则x=1,z=-1,n=(1,1,-1).=-an,n,EF平面B1AC.EF1ABAC10,0,n ABn AC220,220,ayazaxayEFEF利用空间向量证明线线垂直利用空间向量证明线面垂直利用空间向量证明面面垂直利用空间向量证明面面垂直空间中的探索性问题空间中的探索性问题空间中的探索性问题由题意知，AB，AD，AP两两垂直，所以以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系空间中的探索性问题04课堂总结课堂总结课堂总结1.利用空间向量研究线线垂直；2.利用空间向量研究线面垂直；3.利用空间向量研究面面垂直；4.空间中的探索性问题。谢谢大家！谢谢大家！THANK YOU FOR WATCHING