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1、反比例函数的教学分析315600 浙江省宁海县城关中学 华智明 nhhzm9 1 知识点的地位与作用反比例函数的主要内容有：反比例函数（k0）的概念、解析式、图象、性质和应用反比例函数是初中阶段学生在学习一次函数，掌握了一定的探究函数的经验和方法后，所要学习最简单、最基本的一种曲线函数，它反映了曲线函数的特点及研究函数的思维方式、研究方法和应用模式，因此学好反比例函数是进一步学习好其他曲线函数的基础、根本点；由于反比例函数在现实生活中有着广泛的应用，因此在具体的教学过程中可以利用一些生活素材，加深学生对反比例函数的理解，对比例系数现实意义的理解，拓展函数的内涵，促进函数建模思想、数形结合、对应
2、与变化等重要数学思想方法的发展，同时反过来可以利用所学的反比例函数知识解决现实生活中的问题2 教材分析与学情分析教材分析对于反比例函数的学习，可以类比一次函数（、都是常数，）的概念、解析式、图象、性质及其应用由于反比例函数与现实生活的密切联系，在引入反比例函数（k0）概念时，类比已学的一次函数概念，充分考虑概念的实际背景与形成过程，通过学生较熟悉的实际问题，让学生观察和分析实际问题中两个变量的乘积是一个不等于零的常数，使学生领会和理解反比例函数的概念，使学生对反比例函数（k0）的认识从感性认识快速上升到理性认识，增强他们对反比例函数的应用意识特别需要强调一点，与一次函数的自变量取值范围是全体实
3、数不同，反比例函数自变量的取值范围是不等于零的全体实数，对于实际问题，还须从自变量的实际意义来考虑研究反比例函数离不开对函数图象的研究一次函数的自变量是全体实数，通过学生用描点法探索获得它的图象是连续的一条直线据此经验，学生也可用描点法来探索反比例函数的图象由于反比例函数（k0）自变量的取值范围是不等于零的全体实数，图象与坐标轴没有交点，只能分布在四个象限内因此反比例函数图象是由两个不连续的分支组成的曲线，这是学生不曾遇到过的，这是本章的一个难点教材通过设置较多实际问题的反比例函数图象，让学生观察、自己描点画图、再观察类比研究变量的变化规律，探讨函数中的数与形的对应关系，便于学生掌握正确的学习
4、方法，逐步形成解决反比例函数问题的技能一次函数图象的增减性比较简单，由比例系数决定，当比例系数大于零时，函数值随着自变量的增大而增大；当比例系数小于零时，函数值随着自变量的增大而减小反比例函数（k0）图象是由两个不连续的分支组成的曲线，因此它的增减性不能笼统地说当比例系数大于零时，在图象所在的每一象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当比例系数小于零时，在图象所在的每一象限内，函数值随着自变量的增大而增大由于受一次函数图象的增减性思维定势影响，反比例函数图象的增减性又是另外一个难点运用反比例函数解决实际问题时，考虑的面比较广，需要结合反比例函数的解析式、图象和性质，有时会遇到比较复杂的问题情境
5、，不但需要结合图象特征，还要进行数学建模，如运用方程、不等式等其他数学模型解决问题，所以运用反比例函数的知识，解复杂的实际问题对部分学生来说有一定的困难，需要选择适当的方法给予引导、突破。学情分析经过一次函数的学习，学生形成了一定的数学活动经验，能灵活采用模仿、自主探索、合作交流等学习方式来研究函数；随着函数的学习，学生的思维方式、思维特点也随之改变，进一步体验了数形结合、对应与变化等数学思想和方法的应用，实现对数学认识的一次重要飞跃对反比例函数，学生也能用这种一般探究函数的思路、方式、方法来学习能应用待定系数法求反比例函数解析式；会理解一个点在图象上那么这个点的坐标满足函数解析式、点的坐标满
6、足函数解析式则这个点就在函数图象上，会用描点法画反比例函数图象；直接应用图象特征判别问题特征等，往往能根据课堂所学的概念知识，加以参阅书本知识，画出相应的函数图象解决，看不出学生对一次函数的理解程度，但随着时间的推移，随着问题情境上升到复杂情况时，就会出现对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象间的内在联系运用薄弱些，需要通过多加练、探、问、总结经验；学生在学习中遇到的困难主要表现在以下几个方面： 复杂问题情境转化为一次函数图象。结合题意理解一次函数所表达的信息。结合题意把图象信息转化为数量关系。3 教学思想与教学突破点根据学
7、生在学习中遇到的困难，反比例函数的教学思想应围绕三个方面：从数形结合理解反比例函数的概念，认识反比例函数图象；探索反比例函数解析式与图象的内在对应关系，做到有反比例函数解析式就能准确画出对应图象，有反比例函数图象，就能从图象中提取信息，求得反比例函数解析式；在具体问题情境中能运用反比例函数的有关知识和数形结合思想解决有关问题；具体教学中应对实施重点突破，以数形结合的思想，使反比例函数图象化，让学生能直观地认识反比例函数、理解反比例函数、运用反比例函数具体可落实以下几个教学突破点突破点1.培养学生及时把问题信息转化到函数图象上的能力在初学函数的过程中，需要根据题目信息画出函数图象，这是学好函数的
8、一个必要条件，也是学好函数的一个基本技能，每个学生必须要熟练经过这个门槛。例1是一普通的行程类题目，可以通过列方程解答，也可以转化为函数问题，结合函数图象解决；若采用函数方法解决，则需要结合函数图象，需要学生描出图象把问题信息反映到图象上，完成这一环节，其实是培养学生分析能力的一个有力途征。例1星期天，小强骑自行车到郊外与同学一直游玩从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时小强家与游玩地的距离是多少？妈妈出发多长时间与小强相遇？图1【说明】若纵轴为离家的路程y(千
9、米)，横轴为时间x(时)，建立坐标系，则图象为如图1本题要求学生画出函数图象，再用函数方法解答，有一个非常大的一个作用，那就是通过画图让学生充分理清题中问题的每一个细节，各个量的相互关系及问题过程，能让学生做到对图象信息了如指掌，最后做到对需要解决的函数关系式及相应的量，能轻松解答。但要学生从问题情境中构画出函数图象需要有一个能力适应性的过程，需要多次训练才能培养成这种能力习惯。突破点2.培养学生分析处理图象间信息获取有效信息的能力根据图象信息联想问题情境，并进行有效处理，有助于培养学生的想象力和推理能力，大多数学生正是缺乏这方面的能力，导致在处理动态的空间图形变化时，总是得不出其中的对应量之
10、间的关系，这种能力正是教学中需要大力提倡培养的创新思维的一个发展点。例2只给一个函数图形，需要学生根据图象中的距离与时间关系，想象出问题的实际情境，再通过对每个答案进行对比想象才能作出正确判断。例2是韩老师早晨出门散步时，离家的距离(y)与时间(x)之间的函数图象，若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师散步行走的路线可能是（） yx图2【说明】本题不但需要对函数图象进行信息分析，还要对问题情境进行联想，尤其是在距离不变时的问题情境，再结合四个答案的路线进行比较导出正确答案，本题的思想是由图形想象出数学实际问题，让学生能真正做到题目图象之间的融汇贯通。突破点3.培养学生分析处理图形信息与实情结合思
11、想的能力通过对图象的观察、分析并提取图象信息，其中有时由于生活经验等原因造成从图象中获得的信息看似不合题意，需要结合题意综合思考，有助于对问题的深入理解，同时也助于提高学生的综合思维能力。如例3中的图3，可知小明家与学校间距离为1千米，而题意中线段AB说明小明是在去学校的路上，学生很容易误解，需要通过图形结合实情进行综合分析。1AB2012t(分钟)s(千米)O1016DC例3. 小明早晨从家里出发匀速步行去上学，小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校已知小明在整个上学途中，他出发后分钟时，他所在的位置
12、与家的距离为千米，且与之间的函数关系的图像如图中的折线段所示图3（1）试求折线段所对应的函数关系式；（2）请解释图中线段的实际意义；（3）请在所给的图中画出小明的妈妈在追赶小明的过程中，她所在位置与家的距离（千米）与小明出发后的时间（分钟）之间函数关系的图像【说明】对于线段的实际意义的理解，从图象角度理解往往可理解成：小明在学校等妈妈把课本送来，也可理解成小明绕着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；但由于平时训练资料中较少有类似题型，学生可能会一下子找不到对应模型，既然题意已说明小明还没到校，那么可以肯定小明是在去学校的实际路线过程上。本题不但要从图象中获取正确的信息，同
13、时还要考虑题中的问题情境，这类问题对学生的综合思考能力提高有一定的帮助。突破点4.培养学生在分析解决问题中能运用数学思想的能力解决数学问题过程中，正常会遇到复杂情境，需要合理运用数学思想方法才能理清题意、各量之间关系，同时也能增加解题说服力。例4中问解答，采用分类思想，就显得思路清晰、条理分明；但对初中生来说，最不喜欢的数学思想方法就是分类，主要原因是分类方法比较烦杂，思考过程要全面，往往把需要解决的问题要分成几类，最后还要总结，学生不习惯，也缺乏自信心，但这却是培养学生思维能力、综合解决问题能力的一个有效方法。例4.某公司专销产品，第一批产品上市40天内全部售完该公司对第一批产品上市后的市场
14、销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中图4-1中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；图4-2中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（1）试写出第一批产品A的市场日销售量与上市时间的关系式；（2）第一批产品A上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？（说明理由）3040t天60y日销售量万件图4-12040t天60y销售利润/（元/件）图4-2【说明】本题在解决第问时，有二种方法：用分类思想，考虑到不同时间段日销售量与每件产品的销售利润有所差异，因此要分时间段考虑确定日销售利润最大；总共有三个时间段020天、2030天、3040天，可分别计算这三
15、个时间段中的日销售利润最大，最后取三个时间段中的最大值即可。根据图象提取信息直接解答，在图4-1中可知，在第30天时，日销售量最大，从图4-2中可知，在2040天中每件的销售利润最大，因此可得在第30天时日销售利润最大，最大值为6060=3600万元。这二种方法解题，运用分类思想的思维要求比较高，很多学生在这方面的思维达不到要求，需要有一个训练适应过程，但分类思想最大优点是分析问题的条理比较清楚，把复杂问题拆分成几个简单问题，只需考全面就够了，这种思想能促进学生全面考虑问题、分解问题的能力的提高，促进学生思维能力的目趋成熟。在一次函数的教学过程中，其实有许多有效的教学方法，只要教师能切实了解学
16、生的思维方式，走进他们的思维，帮助他们寻找解决思维障碍中的突破点，那么学好一次函数也就不是困难的事了。9.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2x10，则y与x的函数图象是【 】（2007安徽）第12题图12如图，直线与双曲线交于A、B两点，若A、B两点的坐标分别为A，B，则与的值为（ ）A 8 B 4 C 4 D 0 (2008年山东省临沂)图6如图6，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使
17、一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.(2007四川资阳)15如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 3/2 (2008年福州市)xyOP1P2P3P41234（第15题）22.（本小题满分10分）(2008年杭州市)为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系为（为常数）。如图所示，据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关
18、系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？25（本小题满分7分）实际运用如图，奥运圣火抵达某市奥林匹克广场后，沿图中直角坐标系中的一段反比例函数图象传递动点表示火炬位置，火炬从离北京路10米处的点开始传递，到离北京路1000米的点时传递活动结束迎圣火临时指挥部设在坐标原点（北京路与奥运路的十字路口），为少先队员鲜花方阵，方阵始终保持矩形形状且面积恒为10000平方米（路线宽度均不计）（1）求图中反比例函数的关系式（不需写出自变量的取值范围）；（2）当鲜花方阵的周长为
19、500米时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）；（3）设，用含的代数式表示火炬到指挥部的距离；当火炬离指挥部最近时，确定此时火炬的位置（用坐标表示）(江苏省镇江市2008)（火炬）yMxNATBO奥林匹克广场北京路鲜花方阵（指挥部）奥运路25（1）设反比例函数为（1分）则，（2分）（3分）（2）设鲜花方阵的长为米，则宽为米，由题意得：（4分）即：，解得：或，满足题意此时火炬的坐标为或（5分）（3），在中，（6分）当时，最小，此时，又，且24（本题满分10分）(2008年江苏省宿迁市)如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)在直线上是否存在
20、一点，使，若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由第24题21（9分）如图，一次函数的图象经过第一、二、三象限，且与反比例函数图象相交于两点，与轴交于点，与轴交于点，且点横坐标是点纵坐标的2倍（1）求反比例函数的解析式；OxyACDB（21题图）（2）设点横坐标为，面积为，求与的函数关系式，并求出自变量的取值范围(四川内江市2008)21、（2008广州）（12分）如图8，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点（1）根据图象，分别写出A、B的坐标；（2）求出两函数解析式；（3）根据图象回答：当为何值时，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值图828（本小题满分10分）已知与是反比例函数
21、图象上的两个点（1）求的值；（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（常州市2007年）（第28题）22(本题满分10分) (山东省日照市 2008)（1）探究新知：ABDC图 1如图1，已知ABC与ABD的面积相等， 试判断AB与CD的位置关系，并说明理由 （2）结论应用： xOyNM图 2EFxN 如图2，点M，N在反比例函数（k0）的图象上，过点M作MEy轴，过点N作NFx轴，垂足分别为E，F 试证明：MNEF xOyDM图 3N 若中的其他条件不变，只改变点M，N 的位置如图3所示，请判断 MN与EF是否平行
22、 24如图，点A（m，m1），B（m3，m1）都在反比例函数的图象上 xOyAB（1）求m，k的值； （2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形， 试求直线MN的函数表达式 （ 威海市2008） xOyABM1N1M2N2解：（1）由题意可知，解，得 m3 3分 A（3，4），B（6，2）； k43=12 4分 （2）存在两种情况，如图： 当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴上时，设M1点坐标为（x1，0），N1点坐标为（0，y1） 四边形AN1M1B为平行四边形， 线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的（也可
23、看作向下平移2个单位，再向左平移3个单位得到的）由（1）知A点坐标为（3，4），B点坐标为（6，2）， N1点坐标为（0，42），即N1（0，2）； 5分M1点坐标为（63，0），即M1（3，0） 6分设直线M1N1的函数表达式为，把x3，y0代入，解得 直线M1N1的函数表达式为 8分当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，设M2点坐标为（x2，0），N2点坐标为（0，y2） ABN1M1，ABM2N2，ABN1M1，ABM2N2， N1M1M2N2，N1M1M2N2 线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称 M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2） 9分设直线M2N2的函数表达式为，把x-3，y0代入，解得， 直线M2N2的函数表达式为 所以，直线MN的函数表达式为或 11分（3）选做题：（9，2），（4，5） 2分9