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1、提能拔高限时训练27 不等式的证明一、选择题0，那么 2b2 B.a+b C.abb2 2+b2|a|+|b|解析：直接法：由0ba0知abb2；间接法：取b=-1,可排除A、B、D.答案：C9对任意正实数x,y恒成立,那么正实数a的最小值为 A.8 B.6 C.4 解析：,当且仅当,即9对任意x、y恒成立,那么只需9,3,a4.答案：C3.如果a,b为非零实数,那么不等式成立的充要条件是 A.ab且ab0 B.ab且ab0C.ab,ab0或ab0 2b-ab20解析：a2b-ab20a2bab2.答案：D4.假设c1,那么以下结论中正确的选项是 A.ab B.ab C.a=b D.ab解析：
2、,.由0,知ab.答案：D5.设a,b,c,d,m,n(0,+),那么 A.pq B.pq C.pq D.p、q大小关系不定解析:.答案：A6.设x0,y0且xy-(x+y)=1,那么 A.x+y B.xyC.x+y D.xy解析：xy,1,即(x+y)2-4(x+y)-40,解得x+y或x+y.又x+y0,x+y.答案：A2+xy+y2=1且x、yR,那么n=x2+y2的取值范围是 A.0n1 B.2n3 C.n2 D.n2解析：直接法：x2+xy+y2=1xy=1-(x2+y2),又-|xy|xy|xy|，知1-(x2+y2),得出x2+y22.间接法：利用x2+xy+y2=1的对称性和边
3、界值特点，取时，,取x=-y=1时，n=2.答案：D8.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么 A.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一B.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一C.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一D.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一解析：a+b,ab,当且仅当a=b=2时取等号.c+d,c+d,当且仅当c=d=2时取等号.故c+dab,当且仅当a=b=c=d=2时取等号.答案：A9.设实数x、y满足x2+(y-1)2=1,假设对满足条件的x、y,x+y+c0恒成立,那么c的取值范围是 A.,+) B.
4、(-, C.,+) D.(-,解析：令x=sin,y=1+cos,0,2,那么x+y+c0成为sin+cos+1+c0,即c,c.答案：A10.x,yR,M=x2+y2+1,N=x+y+xy,那么M,N的大小关系是 A.MN B.MN C.M=N 解析：由2M-2N=2x2+y2+1)-2(x+y+xy)=(x-y)2+(x-1)2+(y-1)20可得出.答案：A二、填空题11.abc且a+b+c=0,那么抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的个数必为_个.解析：由可得a0,c0,=b2-4ac0,故交点必为2个.答案：212.设abc,且恒成立,那么m的取值范围是_.解析：abc,a-b0,
5、b-c0,a-c0.又.m4.答案：m413.a0且a1，P=loga(a2-a+1),Q=loga(a3-a+1),那么P与Q的大小关系是_.解析：(a3-a+1)-(a2-a+1)=a3-a2=a2(a-1).当a1时，函数y=logax是增函数.a1,a2(a-1)0.PQ.当0a1时,函数y=logax是减函数.0a1,a2(a-1)0.PQ.由，知PQ.答案：PQ14.函数y=loga(x+3)-1(a0,a1)的图象恒过定点A，假设点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，那么的最小值为_.解析：A(-2,-1),A在直线mx+ny+1=0上，得-2m-n+1=0,即2m+n=1
6、.又mn0,m0,n0.当且仅当，即,时等号成立.故的最小值为8.答案：8三、解答题15.a,b,c(0,+),且a,b,c成等比数列,求证:a2+b2+c2(a-b+c)2.证明：左边-右边=2(ab+bc-ac).a,b,c成等比数列,b2=ac.a,b,c(0,+),0.a+cb.2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)0.a2+b2+c2(a-b+c)2.16.a0,b0,a+b=1,求证:(1)8;(2)9.证明：(1).a+b=1,a0,b0,2+2=4.8(当且仅当a=b时等号成立).(2)a0,b0,a+b=1,.同理.5+4=9.9(当且仅当a=b时等号成立).数学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】a、b、x、yR+且,xy.求证:.证法一：(作差比拟法),又且a、bR+,ba0.又xy0,bxay.,即.证法二：分析法x、y、a、bR+,要证,只需证明xbya.而由0,ba0.又xy0,知xbya显然成立.故原不等式成立.【例2】设实数x、y满足y+x2=0,0a1.求证:loga(ax+ay).证明：ax0,ay0,ax+ay.,0a1,ax+ay.loga(ax+ay).