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1、课后限时集训(四十七)椭圆的定义、标准方程及其性质(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是()A.B(1，)C(1,2) D.C由题意得解得1k2.故选C.2(2018惠州二模)设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A. B.C. D.D如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OMPF2，可得PF2x轴，|PF2|，|PF1|2a|PF2|，故选D.3.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为()A. B.C. D
2、.A由题意得2a8(cm)，短轴长即2b为底面圆直径12 cm，c2 cm，e.故选A.4以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1 B.C2 D2D设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，2cb1bc1,2a222，当且仅当bc1时，等号成立故选D.5已知A(1,0)，B是圆F：x22xy2110(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1D由题意得|PA|PB|，|PA|PF|PB|PF|r2|AF|2，点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，且a，c1，b，动点P的
3、轨迹方程为1，故选D.二、填空题6(2018全国卷改编)已知椭圆C：1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为_由题意可知a244，a28，即a2.C的离心率e.7若直线x2y20经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为_y21或1令x0得y1，令y0得x2，若椭圆的一个顶点为(2,0)，则其一个焦点为(0,1)，此时椭圆方程为1.若椭圆的一个顶点为(0,1)，则其焦点为(2,0)，此时椭圆方程为y21.8已知F1，F2是椭圆的两个焦点，满足120的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_满足120的点M的轨迹是以F1F2为直径的圆，若其总在椭圆内部，则有cb，即c2b2，又b2a
4、2c2，所以c2a2c2，即2c2a2，所以e2，又因为0e1，所以0e.三、解答题9分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程(1)与椭圆1有相同的离心率且经过点(2，)；(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点解(1)由题意，设所求椭圆的方程为t1或t2(t1，t20)，因为椭圆过点(2，)，所以t12，或t2.故所求椭圆的标准方程为1或1.(2)由于焦点的位置不确定，所以设所求的椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)，由已知条件得解得a4，c2，所以b212.故椭圆方程为1或1.10.如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别
5、为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)如图，连接F1Q，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)
6、a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e.B组能力提升1.(2019湖北八校联考)如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为()A.1B.1C.1D.1C由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理，得|PF|8，由椭圆的定义，得|PF|PF|2a6814，从而a7，a249，于是b2a2c249
7、5224，椭圆C的方程为1，故选C.2(2019南昌重点中学联考)设椭圆C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点E(0，t)(0tb)已知动点P在椭圆上，且点P，E，F2不共线，若PEF2的周长的最小值为4b，则椭圆C的离心率为()A. B.C. D.A如图，连接EF1，PF1，则|EF1|EF2|，所以PEF2的周长l|PE|EF2|PF2|PE|EF1|PF2|，因为|PE|EF1|PF1|，所以PEF2的周长l|PF1|PF2|，因为|PF1|PF2|2a，所以l2a，因为PEF2的周长的最小值为4b，所以2a4b，即a2b，所以c2a2b23b2，所以cb，所以椭圆C的离心
8、率e，故选A.3设P是椭圆1上一点，M，N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为_8,12如图所示，因为两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF1|PF2|10，易知|PM|PN|(|PM|MF1|)(|PN|NF2|)2，则其最小值为|PF1|PF2|28，最大值为|PF1|PF2|212.4已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若2，求椭圆的方程解(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形，所以有OAOF2，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，其中c，设B(x，y)由2，得(c，b)2(xc，y)，解得x，y，即B.将B点坐标代入1，得1，即1，解得a23c2.又由(c，b)，得b2c21，即有a22c21.由解得c21，a23，从而有b22.所以椭圆的方程为1.