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1、第六节空间向量及其运算和空间位置关系2019考纲考题考情1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。相等向量：方向相同且模相等的向量。共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。共面向量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在唯一一个R，使ab。共面向量定理：若两个向量a、b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb。空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z
2、，使得pxaybzc。2两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积ab|a|b|cosa，b。(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac。3空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b4.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。
3、平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面、的法向量分别为n、mnmnmnmnm01向量三点共线定理在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点。2向量四点共面定理在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点。 一、走进教材1(选修21P97A组T2
4、改编)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcBabcCabcDabc解析()abc。故选C。答案C2. (选修21P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_。解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)，所以(2，0,1)，(1,0,2)，2020，所以AMON。答案垂直
5、二、走出误区微提醒：忽视向量共线与共面的区别；使用数量积公式出错。3在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(2，1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是()A垂直 B平行C异面 D相交但不垂直解析由题意得，(3，3,3)，(1,1，1)，所以3，所以与共线，又AB与CD没有公共点，所以ABCD。答案B4O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且t，若P，A，B，C四点共面，则实数t_。解析因为P，A，B，C四点共面，所以t1，所以t。答案5正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为_。解析|22()22222()122212
6、2(12cos120021cos120)2，所以|，所以EF的长为。答案考点一 空间向量的线性运算【例1】 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)。解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb。(2)因为N是BC的中点，所以abababc。(3)因为M是AA1的中点，所以aabc，又ca，所以abc。进行向量的线性运算，有以下几个关键点1结合图形，明确图形中各线段的几何关系。2正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义。3平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间中仍
7、然成立。 【变式训练】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：_。(2)用，表示，则_。解析(1)()。(2)因为()，所以()。答案(1)(2)考点二 共线、共面向量定理的应用【例2】如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)。(1)向量是否与向量，共面？(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？解(1)因为k，k，所以kkk()k()kkk()(1k)k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面。(2)当k0时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当0k1时，MN不在平面ABB1A1内，又由
8、(1)知与、共面，所以MN平面ABB1A1。三点P，A，B共线空间四点M，P，A，B共面xy对空间任一点O，t对空间任一点O，xy对空间任一点O，x(1x)对空间任一点O，xy(1xy) 【变式训练】 如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点。(1)试用向量，表示；(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C。解设a，b，c，(1)由图得cbabc。(2)证明：由题图得：ab，ba，因为与无公共点。所以EGAC，又因为AC平面AB1C，EG平面AB1C，所以EG平面AB1C。又因为ac，ca，因为与无公共点，所以FGAB1
9、，又因为AB1平面AB1C，FG平面AB1C，所以FG平面AB1C，又因为FGEGG，所以平面EFG平面AB1C。考点三 利用空间向量证明平行或垂直【例3】 如图所示，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，ACBC，ACD90。(1)求证：AB平面EDC；(2)若P为FG上任一点，证明：EP平面BCD。证明(1)设a，b，c，则a，bb，c90，所以abbc0。根据向量的线性运算，得ca。由E是AB的中点，得(ac)，所以(ca)(ac)(c2a2)0，(ca)bcbab0，所以，即ABCE，即ABCD。又CECDC，所以AB平面EDC。(2)连接E
10、F，EG，因为E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，所以GECB，GECB，GFCD，GFCD，则c，b。由P为FG上任一点，设b，所以bc。又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，共面。因为EP平面BCD，所以EP平面BCD。1选取空间不共面的三个向量为基底，用基底表示已知条件和所需解决问题的过程就是将几何问题转化为向量问题的过程。2通过计算向量的数量积为0，可证明垂直问题。3要证线面平行，证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示。 【变式训练】在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E，F分别是PB，PD的中点，PAAB1，BC2。(1)求证：EF平面AB
11、CD。(2)求证：平面PAD平面PDC。证明(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)。点E，F分别是PB，PD的中点，F，E。，(1,2,0)，即EFBD。又BD平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD。(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，因为(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，所以，即APDC，ADDC。又APADA，所以DC平面PA
12、D。因为DC平面PDC，所以平面PAD平面PDC。(配合例3使用)如图所示，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图所示。(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由。解(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC，所以DEA1D，DECD，A1DDCD，且A1D，DC平面A1DC，所以DE平面A1DC，因为A1C平面A1DC，所以DEA1C。又因为A1CCD，DECDD，
13、且DE，CD平面BCDE，所以A1C平面BCDE。(2)以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(0,0,2)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2，2,0)。设平面A1BE的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0。又因为(3,0，2)，(1,2,0)，所以令y1，则x2，z，所以n(2,1，)。设CM与平面A1BE所成的角为。因为(0,1，)，所以sin|cosn，|。所以CM与平面A1BE所成角的大小为。(3)线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3。设平面A1DP的法向量为m(x1，y1，z1)，则又因为(0,2，2)，(p，2,0)，所以令x12，则y1p，z1。所以m。当且仅当mn0时，平面A1DP平面A1BE。由mn0，得4pp0，解得p2，与p0,3矛盾。所以线段BC上不存在一点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。