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1、第十节变化率与导数、导数的计算2019考纲考题考情1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或yxx0，即f(x0) 。(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)。(3)函数f(x)的导函数称函数f(x) 为f(x)的导函数。2导数公式及运算法则(1)基本初等函数的导数公式(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)。f(x)
2、g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)。(g(x)0)。(3)复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。1求导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axlna相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cosx)sinx。2f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0。3曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其
3、正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 一、走进教材1(选修22P19B组T2改编)曲线yx311在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A9 B3C9 D15解析因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1,12)处的切线方程为y123(x1)。令x0，得y9。故选C。答案C2(选修22P3例题改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_m/s，加速度a_m/s2。解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8。
4、答案(9.8t6.5)9.8二、走近高考3(2018全国卷)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_。解析yaex(ax1)ex，则f(0)a12，所以a3。答案34(2017全国卷)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_。解析因为y2x，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率为ky|x1211，所以切线方程为y2x1，即yx1。答案yx1三、走出误区微提醒：混淆平均变化率与导数的区别；不用方程法解导数求值；导数的运算法则运用不正确。5函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为_，在x2处的导数为_。解析函数f(x)x2在区间1,2上的平均变化率为3。因为f(x)2x，所
5、以f(x)在x2处的导数为224。答案346已知f(x)x23xf(2)，则f(2)_。解析因为f(x)2x3f(2)，令x2，得f(2)2，所以f(x)x26x，所以f(2)8。答案87已知f(x)x3，则f(2x3)_，f(2x3)_。解析f(x)3x2，所以f(2x3)3(2x3)2，f(2x3)(2x3)33(2x3)2(2x3)6(2x3)2。答案3(2x3)26(2x3)2考点一 导数的运算微点小专题方向1：已知函数解析式求函数的导数【例1】求下列各函数的导数：(1)yx；(2)ytanx；(3)y2sin21；(4)yln(12x)。解(2)先变形：y，再求导：y。(3)先变形：
6、ycosx，再求导：y(cosx)(sinx)sinx。(4)设u12x，ylnu，则yln(12x)是由ylnu与u12x复合而成，所以yxyuux(lnu)(12x)(2)。1正确运用导数公式。2求导之前先对函数进行化简，减小运算量。 方向2：抽象函数求导【例2】已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)lnx，则f(2)_。解析因为f(x)x23xf(2)lnx，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2)43f(2)3f(2)，所以f(2)。答案先对函数求导，再赋值，如本题先求导，再令x2，即可求f(2)。 【题点对应练】1(方向1)已知函数f(x)exlnx
7、，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_。解析由题意得f(x)exlnxex，则f(1)e。答案e2(方向2)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)lnx，则f(1)()Ae B1C1 De解析由f(x)2xf(1)lnx，得f(x)2f(1)。所以f(1)2f(1)1，则f(1)1。故选B。答案B考点二 导数的几何意义微点小专题方向1：已知切点求切线方程【例3】(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax。若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x ByxCy2x Dyx解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数
8、，所以f(x)f(x)，所以(x)3(a1)(x)2a(x)x3(a1)x2ax，所以2(a1)x20，因为xR，所以a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。解法一：因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以f(1)f(1)0，所以(1a1a)(1a1a)0，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。解法二：易知f(x)x3(a1)x2axxx2(a1)xa，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)x2(a1)xa为偶函
9、数，所以a10，解得a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx。故选D。答案D解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x0，y0)处的切线的斜率kf(x0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解。解决这类问题的关键是抓住切点。 方向2：未知切点，求切线方程【例4】曲线f(x)x32x22过点P(2,0)的切线方程为_。解析因为f(2)23222220，所以点P(2,0)不在曲线f(x)x32x22上。设切点坐标为(x0，y0)，且x0，则所以消去y0，整理得(x01) (x3x01)0，解得x01或
10、x0(舍去)或x0(舍去)，所以y01，f(x0)1，所以所求的切线方程为y1(x1)，即yx2。答案yx2求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标满足的方程解出切点坐标，进而写出切线方程。 方向3：取值范围问题【例5】(2019开封市定位考试)已知函数f(x)lnx，k4，)，曲线yf(x)上总存在两点M(x1，y1)，N(x2，y2)，使曲线yf(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1x2的取值范围为()A. B.C. D.解析f(x)1(x0，k4)，由题意知，f(x1)f(x2)(x1，x20且x1x2)，即11，化简得4(x1x2)x1x2，而x1
11、x22，所以4(x1x2)对k4，)恒成立，令g(k)k，则g(k)10对k4，)恒成立，故g(k)在4，)上单调递增，所以g(k)g(4)5，所以，所以x1x2，故x1x2的取值范围为。故选B。答案B利用导数的几何意义求参数的基本方法：利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围。 【题点对应练】1(方向1)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于()A2 B1C1 D2解析依题意知，y3x2a，则解得所以2ab1。故选C。答案C2(方向2)已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，1)，并
12、且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析因为点(0，1)不在曲线yf(x)上，所以设切点坐标为(x0，y0)。又因为f(x)1lnx，所以解得所以切点坐标为(1,0)，所以f(1)1ln11，所以直线l的方程为yx1，即xy10。故选B。答案B3(方向3)若点P是函数yexex3x图象上任意一点，且在点P处切线的倾斜角为，则的最小值是_。解析由导数的几何意义，知kyexex3231，当且仅当x0时等号成立。即tan1，0，)。又x，tank0，所以的最小值是。答案混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误【典例】若存在过点O(0,0)的直线
13、l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值。【错解】因为点(0,0)在曲线yx33x22x上，所以点O为切点，因为y3x26x2，所以y|x02，所以直线l的方程为y2x，由得x22xa0，依题意知44a0，故a1。【剖析】求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况。【正解】易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上。(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x。由得x22xa0，依题意，44a0，得a1。(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，ky|xx03x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx。由得x2xa0，依题意，4a0，得a。综上，a1或a。