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1、专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1已知直线a平面，直线b平面，则“ab”是“ ”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件答案D解析“ab”不能得出“”，反之由“”也得不出“ab”故选D2 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面ABC，A1AAB2，BC1，AC， 若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()A B2C4 D2答案A解析在ABC中，AC2AB2BC25，ABBC作BDAC于D，则BD为侧视图的宽，且BD，侧视图的面积为S2故选A3平行六面体ABCDA1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为(
2、)A3 B4 C5 D6答案C解析如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条故选C 4在四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为答案B解析ABAD1，BD，ABADABAD平面ABD平面BCD，CDBD，CD平面ABD，CDAB，AB平面ACD，ABAC，即BAC90故选B5 (2018河南豫东、豫北十校测试)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种
3、三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，原为木质结构，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90度榫卯起来，若正四棱柱体的高为4，底面正方形的边长为1，则该鲁班锁的表面积为 ()A48 B60 C72 D84答案B解析复杂的图形表面积可以用三视图投影的方法计算求得；如图所示：投影面积为421210，共有6个投影面积，所以该几何体的表面积为10660故选B6如图所示，已知在多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，则该多面体的体积为(
4、)A2 B4 C6 D8答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V234故选B7 (2018湖北黄冈中学二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆(如图)现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为()A BC D2答案B解析由三视图可知，该几何体是半圆锥，其展开图如图所示，则依题意，点A，M的最短距离，即为线段AMPAPB2，半圆锥的底面半圆的弧长为，展开图中的BPM，APB，APM，在APM中，根据余弦定理有，MA22222222co
5、s84()2，MA，即蚂蚁所经过路程的最小值为，故选B8已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()A22R2 BR2CR2 DR2答案B解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得，则PO13x，圆柱的高为3R3x，所以圆柱的表面积为S2x22x(3R3x)4x26Rx，则当xR时，S取最大值，SmaxR2故选B9如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为正方形ABCD的两条对角线的交点，点F是棱AB的中点，则异面直线AC1与EF所成角的正切值为()A BC D答案D解析在正方体ABCDA1B1C1D1中，依题意知，EF
6、AD，所以异面直线AC1与EF所成角为C1AD连接C1D，因为AD平面C1CDD1，所以ADDC1，设正方体的棱长为1，则tanC1AD，所以异面直线AC1与EF所成角的正切值为故选D10(2018河北唐山第一次摸底)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2AA1，则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为()A B C D答案B解析在长方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1D，可得A1DB1C，所以异面直线A1B与B1C所成的角即为直线A1B与直线A1D所成的角，即DA1B为异面直线A1B与B1C所成的角，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ABBC2AA12，则A1BA1D，BD2
7、，在A1BD中，由余弦定理得cosDA1B故选B11在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数的值有()A0个 B1个 C2个 D3个答案C解析本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件故选C12(2019四川第一次诊断)如图，在RtABC中，ACB90，AC1，BCx(x0)，D是斜边AB的中点，将BCD沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CBAD，则x的取值范围是()A，2 B，2 C
8、(0，2) D(0， 答案D解析由题意得，ADCDBD，BCx，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DEAC，翻折后，在图2中，此时CBADBCDE，BCAD，BC平面ADE，BCAE，又E为BC中点，ABAC1，AE，AD，在ADE中：，5(舍去)，当x(0，2)时，V0，即在(0，2)上，V(x)是增函数；当x(2，5)，V0，即在(2，5)上，V(x)是减函数，所以当x2时，V(x)有最大值为144三、解答题17(2018广东华南师大附中测试二) 如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知AB2，EF1(1)求证：
9、平面DAF平面CBF；(2)设几何体FABCD，FBCE的体积分别为V1，V2，求V1V2的值解(1)证明：如图，在矩形ABCD中，CBAB，平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，CB平面ABEF，AF平面ABEF，AFCB，又AB为圆O的直径，AFBF，CBBFB，CB，BF平面CBF，AF平面CBF，AF平面DAF，平面DAF平面CBF(2)几何体FABCD是四棱锥，FBCE是三棱锥，过点F作FHAB，交AB于H平面ABCD平面ABEF，FH平面ABCD则V1ABBCFH，V2EFFHBC，418(2018厦门开学考试)如图，直三棱柱ABCABC中，ACBC5，AAAB6
10、，D，E分别为AB和BB上的点，且(1)当D为AB中点时，求证：ABCE；(2)当D在AB上运动时，求三棱锥ACDE体积的最小值解(1)证明：三棱柱ABCABC为直三棱柱，AAAB，平行四边形ABBA为正方形，D为AB的中点，故E为BB的中点，DEABACBC，D为AB的中点，CDAB三棱柱ABCABC为直三棱柱，CD平面ABBA，又AB平面ABBA，CDAB又CDDED，AB平面CDE，CE平面CDE，ABCE(2)设BEx，则ADx，DB6x，BE6x由已知可得点C到平面ADE的距离等于ABC的边AB上的高h4，V三棱锥ACDEV三棱锥CADE(S正方形ABBASAADSDBESABE)h
11、363x(6x)x3(6x)h(x26x36)(x3)227，当x3，即D为AB的中点时，三棱锥ACDE的体积有最小值1819(2018厦门质检一)如图，平面ACEF平面ABCD，四边形ABCD是菱形，ABC60，AFCE，AFAC，ABAF2，CE1(1)求四棱锥BACEF的体积；(2)在BF上有一点P，使得APDE，求的值解(1)四边形ABCD是菱形，BDAC，又平面ACEF平面ABCD平面ACEF平面ABCDAC，BD平面ABCD，BD平面ACEF在ABC中，ABC60，ABAC2，设BDACO，则可得AC2，BO，在梯形ACEF中，AFCE，AFAC，ACAF2，CE1，梯形ACEF的
12、面积S(12)23，四棱锥BACEF的体积为VSBO3(2)在平面ABF内作BMAF，且BM1，连接AM交BF于P，则点P满足APDE，证明如下：AFCE，CE1，BMCE，且BMCE，四边形BMEC是平行四边形，BCME，BCME，又在菱形ABCD中，BCAD，BCAD，MEAD，MEAD，四边形ADEM是平行四边形，AMDE，即APDE，BMAF，BPMFPA，又BM1，20(2018河南考前适应测试)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCD，BAD90，DCDA2AB2，点E为AD的中点，BDCEH，PH平面ABCD，且PH4(1)求证：PCBD；(2)线段PC上
13、是否存在一点F，使三棱锥PBFD的体积为5？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：ABCD，BAD90，EDCBAD90DCDA2AB，E为AD的中点，ABEDBADEDCDBADEHDBAADB90，DEHADB90BDEC又PH平面ABCD，BD平面ABCD，BDPH又PHECH，且PH，EC平面PEC，BD平面PEC又PC平面PEC，PCBD(2)假设线段PC上存在一点F满足题意，由(1)可知，DHEDAB，BDEC 5，ABDE，EH1，HC4，DH2，HB3PH，EC，BD两两垂直，且PHHC4，HPC45BD平面PEC，V三棱锥PBFDV三棱锥BPHFV三棱锥DPHFSPHFBDPHPFsin455PF5，PF3PC43，线段PC上存在满足条件的点F，点F的位置满足PF3