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1、考点规范练22数列的概念与表示一、基础巩固1.数列1,23,35,47,59,的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+32.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=nn+1,则1a5等于()A.56B.65C.130D.303.已知数列an满足an+1+an=n,若a1=2,则a4-a2=()A.4B.3C.2D.14.若数列an满足1an+1-1an=d(nN*,d为常数),则称数列an为调和数列.已知数列1xn为调和数列,且x1+x2+x20=200,则x5+x16=()A.10B.20C.30D.405.已知数列an满足:m,nN*,都有anam=an+
2、m,且a1=12,则a5=()A.132B.116C.14D.126.已知数列an的前4项分别是32,1,710,917,则这个数列的一个通项公式是an=.7.已知数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),则数列an的通项公式an=.8.已知数列an的通项公式为an=(n+2)78n,则当an取得最大值时,n=.9.若数列an的通项为an=(-1)n(2n+1)sinn2+1,前n项和为Sn,则S100=.10.已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1n,求a5+a6及an;(2)若Sn=3n+2n+1,求an.二、能力提升11.
3、已知数列an的通项an=nn2+90,则an的最大值是()A.310B.19C.119D.106012.已知数列an满足an+1=2an,0an12,2an-1,12anm(其中m,nN*),Sn-Sm的最大值是.考点规范练22数列的概念与表示1.B2.D解析当n2时,an=Sn-Sn-1=nn+1-n-1n=1n(n+1),1a5=5(5+1)=30.3.D解析由an+1+an=n,得an+2+an+1=n+1,两式相减得an+2-an=1,令n=2,得a4-a2=1.4.B解析数列1xn为调和数列,11xn+1-11xn=xn+1-xn=d.xn是等差数列.又x1+x2+x20=200=2
4、0(x1+x20)2,x1+x20=20.又x1+x20=x5+x16,x5+x16=20.5.A解析数列an满足:m,nN*,都有anam=an+m,且a1=12,a2=a1a1=14,a3=a1a2=18,a5=a3a2=132.6.2n+1n2+1解析数列an的前4项可分别变形为21+112+1,22+122+1,23+132+1,24+142+1,故an=2n+1n2+1.7.3n解析a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得an=3n.8.5或6解析
5、由题意令anan-1,anan+1,(n+2)78n(n+1)78n-1,(n+2)78n(n+3)78n+1,解得n6,n5.n=5或n=6.9.200解析当n为偶数时,则sinn2=0,即an=(2n+1)sinn2+1=1(n为偶数).当n为奇数时,若n=4k+1,kZ,则sinn2=sin2k+2=1,即an=-2n;若n=4k+3,kZ,则sinn2=sin2k+32=-1,即an=2n+2.故a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此S100=10048=200.10.解(1)因为Sn=(-1)n+1n,所以a5+a6=S
6、6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2.因为a1不适合式,所以an=6,n=1,23n-1+2,n2.11.C解析令f(x)=x+90x(x0),运用基本不等式得f(x)290,当且仅当x=310时等号成立.因为an=1n+90n,所以1n+90n1290,
7、由于nN*,不难发现当n=9或n=10时,an取得最大值,故an=119最大.12.15解析由已知可得,a2=235-1=15,a3=215=25,a4=225=45,a5=245-1=35,an为周期数列且T=4,a2018=a5044+2=a2=15.13.66解析由题得,这个数列各项的值分别为1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.14.2n-1解析当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,an+1=2(an-1+1).又S1=2a1-1,a1=
8、1.数列an+1是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,an+1=22n-1=2n,an=2n-1.15.解(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故bn的通项公式为bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a2a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-21232n-2+a-3.当n2时,由an+1an,可知1232n-2+a-30,即a-9.又a3,故所求的a的取值范围是-9,3)(3,+).16.10解析由an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)0得4n8,即在数列an中,前三项以及从第9项起后的各项均为负且a4=a8=0,因此Sn-Sm的最大值是a5+a6+a7=3+4+3=10.