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1、 第一章单元质量测评 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设a，b，c分别是ABC中A，B，C所对边的边长，则直线xsinAayc0与bxysinBsinC0的位置关系是()A平行 B重合C垂直 D相交但不垂直答案C解析k1，k2，k1k21，两直线垂直故选C2在ABC中，已知a2bc0，3ab2c0，则sinAsinBsinC等于()A234 B345C458 D357答案D解析因为a2bc0，3ab2c0，所以ca，ba
2、abc357所以sinAsinBsinC357故选D3ABC的三边分别为a，b，c，且a1，B45，SABC2，则ABC的外接圆的直径为()A4 B5 C5 D6答案C解析SABCacsinB2，c4由余弦定理b2a2c22accosB25，b5由正弦定理2R5(R为ABC外接圆的半径)故选C4已知关于x的方程x2xcosAcosB2sin20的两根之和等于两根之积的一半，则ABC一定是()A直角三角形 B钝角三角形C等腰三角形 D等边三角形答案C解析由题意知：cosAcosBsin2，cosAcosBcos180(AB)cos(AB)，(cosAcosBsinAsinB)，cos(AB)1A
3、B0，AB，ABC为等腰三角形故选C5ABC中，已知下列条件：b3，c4，B30；a5，b8，A30；c6，b3，B60；c9，b12，C60其中满足上述条件的三角形有两解的是()A B C D答案A解析csinBbc，故有两解；bsinAab，故有两解；bcsinB，有一解；cbsinC，无解所以有两解的是故选A6在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a1，sinB，C，则b的值为()A1 B C或 D1答案C解析在ABC中，sinB，0B，B或，当B时，ABC为直角三角形，basinB；当B时，AC，ac1由余弦定理得b2a2c22accos3，b故选C7等腰ABC底角B的
4、正弦与余弦的和为，则它的顶角是()A30或150 B15或75C30 D15答案A解析由题意：sinBcosB两边平方得sin2B，设顶角为A，则A1802BsinAsin(1802B)sin2B，A30或150 故选A8若G是ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且abc0，则角A()A90 B60 C45 D30答案D解析由重心性质可知0，故，代入abc0中，即(ba)ca0，因为，不共线，则即故由余弦定理得cosA因为0A0，则sinA，即，由(1)可知1，所以，所以tanB419(本小题满分12分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km
5、内不能收到手机信号检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 km有一条北偏东60方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以12 km/h的速度沿公路行驶，最长需要多少时间，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？解如右图所示，考点为A，检查开始处为B，设公路上C，D两点到考点的距离为1 km在ABC中，AB1732，AC1，ABC30，由正弦定理，得sinACB，ACB120(ACB60不符合题意)，BAC30，BCAC1在ACD中，ACAD，ACD60，ACD为等边三角形，CD1605，在BC上需要5 min，CD上需要5 min最长需要5 min检查员开始收不到信号，并至少持续
6、5 min该考点才算合格20(本小题满分12分)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2b2ab(1)若，B，求sinA；(2)若4，AB边上的高为，求C解(1)由已知B，a2b2ab，综合正弦定理得4sin2A2sinA10于是sinA，0A，sinA，sinA(2)由题意可知SABCabsinCc2，得absinC(a2b22abcosC)(4ab2abcosC)，从而有sinCcosC2即sin1又C，C21(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且tanA(1)求角A的大小；(2)当a时，求c2b2的最大值，并判断此时ABC的形状
7、解(1)由已知及余弦定理，得，sinA，因为A为锐角，所以A60(2)解法一：由正弦定理，得2，所以b2sinB，c2sinC2sin(120B)c2b24sin2Bsin2(120B)44cos2Bsin2B42sin(2B30)由得30B90，所以302B30150当sin(2B30)1，即B60时，(c2b2)max6，此时C60，ABC为等边三角形解法二：由余弦定理得()2b2c22bccos60b2c2bc3bc(当且仅当bc时取等号)，b2c23，即b2c26(当且仅当bc时等号)故c2b2的最大值为6，此时ABC为等边三角形22(本小题满分12分)在海岸A处，发现北偏东45方向，距A处(1) n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？解设缉私船用t小时在D处追上走私船在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosCAB(1)2222(1)2cos1206，BC在BCD中，由正弦定理，得sinABCsinBAC，ABC45，BC与正北方向垂直CBD120在BCD中，由正弦定理，得，sinBCD，BCD30故缉私船沿北偏东60的方向能最快追上走私船